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1、【备战2013高考数学专题讲座】第2讲：填空题解法探讨填空题与选择题一样，也是一种客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍、跨度大、知识覆盖面广、考查目标集中，形式灵活，答案简短、明确、具体，评分客观、公正、准确等。是高考数学中的一种重要题型。与选择题比较，它没有选项作为参考；与解答题比较，它不要求写出推理及运算过程，只要求给出准确结果即可。在全国各地高考数学试卷中，填空题约占总分的1015，因此掌握填空题的解法，快速、准确地解答好填空题是夺取高分的关键之一。笔者将填空题的解法归纳为直接推演法、特殊元素法、图象解析法、待定系数法、等价转化法、分类讨论法、探索规律法七种，下面通过2012年
2、全国各地高考的实例探讨这七种方法。一、直接推演法：直接推演法，又称综合法，由因导果法，是解填空题的一种常用方法，也是一种基本方法。它的解题方法是根据填空题的题设条件，通过应用定义、公理、定理、公式等经过计算、变形、推理或判断，得出正确的结论。直接推演法解题自然，运用数学知识，通过综合法，直接得出正确答案。使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。典型例题：例1：（2012年上海市理4分）若是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】。【考点】直线的方向向量，直线的倾斜角与斜率的关系，反三角函数的表示角。【解析】设直线的倾斜角
3、为，则。例2：（2012年上海市理4分）计算： （为虚数单位）.【答案】。【考点】复数的运算。【解析】将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可：。例3：（2012年四川省理4分）设全集，集合，则 。【答案】【考点】集合的运算。【解析】，集合，。例4：（2012年北京市理5分）已知，若同时满足条件：，则m的取值范围是 【答案】。【考点】简易逻辑，函数的性质。【解析】由得。 条件，当时，。 当时，不能做到在时，所以舍去。 作为二次函数开口只能向下，且此时两个根为。 为保证条件成立，必须。 又由条件的限制，可分析得出时，恒负。 就需要在这个范围内有得正数的可能，即4应该比两根中小的那个大。
4、 由得， 当时，解得交集为空集，舍去。 当时，两根同为24，舍去。当时，。综上所述，。例5：（2012年上海市理4分）已知是奇函数，且，若，则 .【答案】【考点】函数的奇偶性。【解析】函数为奇函数，即又，。例6：（2012年辽宁省理5分）已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为 。【答案】4。【考点】利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法。【解析】点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8，2。由得，。过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2。过点P，Q的抛物线的切线方程分
5、别为。联立方程组解得。点A的纵坐标为4。例7：（2012年江苏省5分）函数的定义域为 【答案】。【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得。例8：（2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 【答案】9。【考点】函数的值域，不等式的解集。【解析】由值域为，当时有，即， 。 解得，。不等式的解集为，解得。例9：（2012年辽宁省理5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 。【答案】38。【考点】由几何体的三视图求面积。【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体在中间挖去了一个
6、等高的圆柱，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，所以该几何体的表面积为长方体的表面积加圆柱的侧面积再减去圆柱的底面积，即为。例10：（2012年全国大纲卷理5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为 。【答案】56。【考点】二项式定理中通项公式的运用。【解析】利用二项式系数相等，确定的值，然后进一步借助于通项公式，分析项的系数。根据已知条件可知。的展开式的通项为，令，。系数为。例11：（2012年全国课标卷理5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小
7、时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 【答案】。【考点】正态分布，概率。【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布，三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为。超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率。 该部件的使用寿命超过1000小时的概率为。例12：（2012年天津市理5分）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校.【答案】18，9。【考点】分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算。【分析】分层抽样也叫按比例抽
8、样，由题知学校总数为250所，应从小学中抽取，中学中抽取。例13：（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 【答案】。【考点】等比数列，概率。【解析】以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，3，9，-27，其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8， 从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。二、特殊元素法：特殊元素法的解题方法是在有些填空题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关，在解决这类解答题，可以考虑从取值范围内选取某一个特殊的值，代入原命题进行验证，从而确定答案。典型例题：例1：（2012
9、年四川省理4分）记为不超过实数的最大整数，例如，。设为正整数，数列满足，现有下列命题：当时，数列的前3项依次为5,3,2；对数列都存在正整数，当时总有；当时，；对某个正整数，若，则。其中的真命题有 _。（写出所有真命题的编号）【答案】。【考点】真命题的判定，对高斯函数的理解，数列的性质，特殊值法的应用，基本不等式的应用。【解析】对于，若，根据 当n=1时，x2=3, 同理x3=。 故正确。对于，可以采用特殊值列举法：当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2x2k=1, x2k+1=1,此时数列从第二项开始为2，1，2，1，不成立。故错误。对于，由的定义知，而为正整数，故，且是整
10、数。对于两个正整数、，当为偶数时；当为奇数时，不论是偶数还是奇数，有。和都是整数，。又当时，成立。当时，。故正确。对于，当时， ，即。，即，解得。由，。故正确。综上所述，真命题有 。例2：（2012年浙江省理4分）设，若时均有，则 【答案】。【考点】特殊元素法，偶次幂的非负数性质。【解析】时均有，应用特殊元素法，取，得。例3：（2012年浙江省理4分）若将函数表示为，其中，为实数，则 【答案】10。【考点】导数的应用，二项式定理。【解析】对等式：两边连续对x求导三次得：，再运用特殊元素法，令得：，即。或用二项式定理，由等式两边对应项系数相等得。例4：（2012年全国大纲卷理5分）三棱柱中，底面
11、边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为 。【答案】。【考点】斜棱柱中异面直线的角的求解。【解析】用空间向量进行求解即可：设该三棱柱的边长为1，依题意有， 则， ，而。 。例5：（2012年浙江省理4分）在中，是的中点，则 【答案】。【考点】平面向量数量积的运算。【解析】此题最适合的方法是特殊元素法：如图，假设ABC是以ABAC的等腰三角形，AM3，BC10，由勾股定理得ABAC。则cosBAC，。例6：（2012年湖南省文5分）如图，在平行四边形ABCD中 ，APBD，垂足为P，且 ，则= .【答案】18【考点】平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算。【解析】此题最适合的方法是
12、特殊元素法：假设平行四边形ABCD是特殊的平行四边形菱形，则与共线，。=36=18。三、图象解析法：图象解析法的解题方法是解填空题的一种常用方法，它是根据数形结合的原理，先画出示意图，再观察图象的特征作出选择的方法。对于一些具有几何背景的数学题，如能构造出与之相应的图形进行分析，则能在数形结合，以形助数中获得形象直观的解法。典型例题：例1：（2012年全国大纲卷理5分）若满足约束条件，则的最小值为 。【答案】。【考点】线性规划。【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点（3，0）时，目标函数最大，当目标函数过点（0，1）时最小。例2：（2012年上海市理4分）已知
13、函数的图象是折线段，其中、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 .【答案】。【考点】函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法。【解析】根据题意得到，得到。的图象如图1，（）的图象如图2。易知，（）的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同，只是开口方向及顶点位置不同，封闭图形与全等，面积相等，故所求面积即为矩形的面积。若用定积分求解，则。例3：（2012年天津市理5分）已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 .【答案】。【考点】函数的图像及其性质，利用函数图像确定两函数的交点。【分析】函数，当时，当时，综上函数。作出函数的图象，要使函数与有两个不同的交点，则直线必须在蓝色或黄色区域内，如图，此时当直线经过黄色区域时，满足，当经过蓝色区域时，满足，综上实数的取值范围是。例4：（2012年福建省理4分）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b设，且关于x的方程恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是 【答案】。【考点】新定义，分段函数的图象和性质，分类讨论和数形结合思想的应用。【解析】根据新运算符号得到函数为， 化简得：。如图，作出函数和的图象，如果有三个不同的实数解，即直线与函数f(x)的图象有三个交点，如图，（1）当直线过抛物线的顶点或时，有两个交点；（2）当直线中时，有一个交点
