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1、 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 1有限元程序设计谷谷 音音福州大学土木工程学院福州大学土木工程学院2012梁单元，静力问题梁单元，静力问题 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam21. 介绍介绍.框架结构，例如桁架、桥梁框架结构，例如桁架、桥梁受弯构件受弯构件 flexural elements 梁梁轴力构件轴力构件 axial elements 杆杆平面梁单元平面梁单元 plane beam element 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设
2、计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam32. 经典梁单元经典梁单元 (Bernoulli-Euler) Beam平面梁假设平面梁假设 Plane-beam-assumption中面法线在变形后仍保持和中面垂直的直法线假设中面法线在变形后仍保持和中面垂直的直法线假设小变形理论小变形理论One-variable beam theory几何关系几何关系物理关系（应力应变关系）物理关系（应力应变关系）梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面，并仍垂直于变形后的轴线，只
3、是横截面绕某一轴旋转了一个角度。面绕某一轴旋转了一个角度。 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam4平衡方程平衡方程边界条件边界条件ororwherek 曲率曲率M, Q 弯矩，剪力弯矩，剪力I 惯性矩惯性矩 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam5最小势能原理最小势能原理典型典型 C 1 连续问题连续问题通常梁分析中常用通常梁分析中常用2节点节点Hermite单元单元 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程
4、有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam6其中其中引入变形到最小引入变形到最小 P , 得到得到 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam7Pj 集中荷载集中荷载;Mj 弯矩力偶。弯矩力偶。e.g. 对于均匀分布荷载对于均匀分布荷载 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam83. 铁木辛柯梁理论铁木辛柯梁理论对剪切变形的影响对剪切变形的影响3.1 理论理论只考虑剪切变形只考虑剪切变形变形后
5、轴线切向与变形前轴线之间的转角变形后轴线切向与变形前轴线之间的转角 ( x). 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam9其中其中 (x) 为只考虑梁弯曲理论中的线性单元转角为只考虑梁弯曲理论中的线性单元转角.假设假设 : 截面上均匀分布剪应变截面上均匀分布剪应变弯曲产生的位移：弯曲产生的位移：( x) 相应给出沿着中线剪切角相应给出沿着中线剪切角 xz 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam10内部力内部力其中假设其中假
6、设 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam11实际上实际上xz采用以下形式：采用以下形式：其中变量与其中变量与z相关。相关。为了确定截面的不均匀剪应力分布，引入因素为了确定截面的不均匀剪应力分布，引入因素k修正剪应力：修正剪应力： 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam12其中其中k为与截面及泊松比为与截面及泊松比相关的函数相关的函数,可从弹性理论推导得到可从弹性理论推导得到假设变形场的整体势能为：假设变形场的整体势能为
7、： 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam13 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam14o铁木辛柯梁单元铁木辛柯梁单元采用两个独立变量采用两个独立变量3.2 离散公式离散公式挠度挠度 w截面曲率，不考虑剪切截面曲率，不考虑剪切每个单元的节点数量每个单元的节点数量Lagrange插值函数插值函数 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam
8、15 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam16 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam17o挠度与转动采用了同阶的插值表示式。挠度与转动采用了同阶的插值表示式。odw/dx 与与不同阶，因此，泛函中的第二项不同阶，因此，泛函中的第二项中的中的dw/dx-的积分，对于柔性梁（的积分，对于柔性梁（l/n 趋于趋于无穷大时）会被严重放大。无穷大时）会被严重放大。o除非除非是常数（没有弯曲变形），否则，是常数（没有弯曲变形），
9、否则， dw/dx-不会为零。这种现象称为不会为零。这种现象称为剪切闭锁剪切闭锁。 shear-locking 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam18几种方法避免产生剪切闭锁几种方法避免产生剪切闭锁o减缩积分减缩积分n数值积分采用比精确积分要求少的积分点数数值积分采用比精确积分要求少的积分点数o假设剪切应变假设剪切应变o替代插值函数替代插值函数举例说明举例说明 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beamo这种高斯积分阶数
10、低于被积函数所有项次精确积分所需要阶数的积分方案称之为减缩积分。实际计算表明：采用缩减积分往往可以取得较完全积分更好的精度。这是由于： 精确积分常常是由插值函数中非完全项的最高方次要求，而决定有限元精度的是完全多项式的方次。这些非完全的最高方次项往往不能提高精度，反而可能带来不好的影响。取较低阶的高斯积分，使积分精度正好保证完全多项式方次的要求，而不包括更高次的非完全多项式的要求，其实质是相当用一种新的插值函数替代原来的插值函数，从而一定情况下改善了单元的精度。19 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beamo
11、 基于最小位能原来基础上建立的位移有限元，其解答具有下限性质。即有限元的计算模型具有较实际结构偏大的整体刚度。选取缩减积分方案将使有限元计算模型的刚度有所降低，因此可能有助于提高计算精度。 另外，这种缩减积分方案对于泛函中包含罚函数的情况也常常是必须的，用以保证和罚函数相应的矩阵的奇异性（见相应教程），否则将可能导致完全歪曲了的结果。 20 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam21 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Bea
12、m22Timoshenko 梁梁 （采用精确积分）（采用精确积分） 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam23采用缩减积分采用缩减积分 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam24 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam25结构离散结构离散 取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点
13、。相邻两节点间的杆件段是单元。节的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节点编号时力求点编号时力求单元两端点号差最小。单元两端点号差最小。 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam26坐标系坐标系 有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并且局部坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样，且局部坐
14、标系每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元刚度矩阵相同。同类型单元刚度矩阵相同。XYPxyxy 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam27 杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型。它们都只有类型。它们都只有2个节点个节点i、j。 约定：约定：单元坐标系的原点置于节点单元坐标系的原点置于节点i；节点；节点i到到j的的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。轴的正向。 y轴、轴、z轴都与轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。轴
15、垂直，并符合右手螺旋法则。 对于梁单元，对于梁单元， y轴和轴和z轴分别为横截面上的两个惯轴分别为横截面上的两个惯性主轴。性主轴。xyzij 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam28平面桁架杆单元（平面桁架杆单元（2D LINK1）空间杆单元（空间杆单元（3D LINK8）平面刚架，平面刚架，BEAM3空间梁单元空间梁单元(BEAM4) 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam292-D Elastic Beamthre
16、e degrees of freedom at each node Ansys 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam30BEAM3 is a uniaxial element with tension, compression, and bending capabilities BEAM23 2-D Plastic Beama uniaxial element with tension-compression and bending capabilities This element allows a d
17、ifferent unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam BEAM54 2-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam31 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam323-D E
18、lastic BeamBEAM4 is a uniaxial element with tension, compression, torsion, and bending capabilities. six degrees of freedom at each node BEAM24 3-D Thin-walled BeamThe element has plastic, creep, and swelling capabilities in the axial direction as well as a user-defined cross-section. This element a
19、llows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam BEAM44 3-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam33 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Be
20、am34 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam35BEAM1883-D Linear Finite Strain BeamBEAM188 is suitable for analyzing slender to moderately stubby/thick beam structures. This element is based on Timoshenko beam theory. Shear deformation effects are included.This element is well
21、-suited for linear, large rotation, and/or large strain nonlinear applications. 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam36 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam37BEAM1893-D Quadratic Finite Strain BeamBEAM189 is a quadratic (3-node) beam element in 3-
22、D. For a description of the low-order beam, see BEAM188. 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam38 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam39有限元程序设计方法简介有限元程序设计方法简介程序基本框图程序基本框图1、输入基本数据（结构描述）、输入基本数据（结构描述）：（1）控制数据：如结点总数、单元总数、约束条件总数等；（2）结点数据：如结点编号、结点坐标、约束条件
23、等；（3）单元数据：如单元编号、单元结点序号、单元的材料特性、几何特性等；（4）载荷数据：包括集中载荷、分布载荷等。开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam402、单元分析 （1）各单元的bi,ci(i,j,m) ， 面积A；（2）应变矩阵B，应力矩阵S；（3）单元刚度矩阵k；（4）单元等价载荷列向量F。开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解
24、方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束3、系统分析、系统分析（1）整体刚度矩阵K的组装；（2）整体载荷列阵P的形成；K的存储；约束引入；求解的存储；约束引入；求解 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam41u总刚存贮o全矩阵存贮法：不利于节省计算机的存贮空间，很少采用。Ki,jo对称三角存贮法：存贮上三角或下三角元素。o半带宽存贮法半带宽存贮法 ：存贮上三角形（或下三角形）半带宽以内的元素 。o一维压缩存贮法一维压缩存贮法 ：半带宽存贮中仍包含了许多零元素。存贮每一行的第一个非零元素到主对角线元素。
25、 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam42等带宽形式等带宽形式UBWUBW行行 号号1 IR N1列列 号号JC行行 号号1 IR N1JC-(IR-1)方阵形式方阵形式（1 1）半带宽存贮法）半带宽存贮法 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam43方阵存贮和半带宽存贮地址关系方阵存贮和半带宽存贮地址关系存贮方式存贮方式行号行号列号列号方阵存贮方阵存贮IRJC等带宽存贮等带宽存贮IRJC-IR+1u 半带宽计算：设结构
26、单元网格中相邻结点编号的最半带宽计算：设结构单元网格中相邻结点编号的最大差值是大差值是d，则最大半带宽为，则最大半带宽为UBW：u结点编号：欲使最大半带宽结点编号：欲使最大半带宽UBW最小，必须注最小，必须注意结点编号方法，使直接联系的相邻节点的最大点意结点编号方法，使直接联系的相邻节点的最大点号差最小。号差最小。 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam44举例B = 2(4-1+1) = 8B = 2(6-1+1) = 12Advantages of 2D Storage1)Space-saving; 2
27、)Easy to be computerizedDisadvantages of 2D StorageEnormous storage is required when local bandwidth is large. 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam45例：计算下图半带宽。结点数N=91，总刚K中的元素总数为： 82（912）（91 2 ）=33124最大半带宽UBW=(7+1) 2=16，半带宽存储矩阵元素总数为182 16=2912，约方阵元素的8.8%。 福州大学研究生课程有限元程序设计福州
28、大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam46（2） 变带宽存贮变带宽存贮（一一维压缩存贮）维压缩存贮） 等带宽存贮虽然已经节省了不少内存，但认真等带宽存贮虽然已经节省了不少内存，但认真研究半带宽内的元素，还有相当数量的零元素。在研究半带宽内的元素，还有相当数量的零元素。在平衡方程求解过程中，有些零元素只增加运算工作平衡方程求解过程中，有些零元素只增加运算工作量而对计算结果不产生影响。如果这些零元素不存、量而对计算结果不产生影响。如果这些零元素不存、不算，更能节省内存和运算时间，采用变带宽存贮不算，更能节省内存和运算时间，采用变带宽存贮可以实现（
29、也称一维数组存贮）可以实现（也称一维数组存贮） 。变带宽存贮编程。变带宽存贮编程技巧要求较高，程序较长。技巧要求较高，程序较长。 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam47对对 称称u方阵形式的刚度矩阵方阵形式的刚度矩阵KUBW=4顶顶 线线顶线以上零元素无须存贮，仅顶线以下元素。顶线以上零元素无须存贮，仅顶线以下元素。 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam48124610121618MAXA 22u一维数组一维数组A
30、存贮刚度矩阵存贮刚度矩阵K 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam49 变变带带宽宽存存贮贮：按按列列存存贮贮方方式式。从从左左到到右右，逐逐列列存存放放；对对每每一一列列，先先存存主主对对角角线线元元素素，然然后后由由下下而而上上顺顺序序存存放放，直直到到顶顶线线下下第第一一个个元元素素为为止止。为为避避免免混混淆淆，我们把存贮我们把存贮K的一维数组称为的一维数组称为A。 实实现现变变带带宽宽存存贮贮的的关关键键问问题题是是：总总刚刚中中元元素素Kij在在一一维维数数组组A中中的的地地址址是是什什么么？为
31、为此此，需需要要知知道道主主元元Kii在在A中的位置和相应列高中的位置和相应列高hi。u主主元元位位置置：采采用用一一个个一一维维数数组组MAXA存存主主元元在在A中中位置。位置。 MAXA =1,2,4,6,10,12,16,18，22。u列高列高hj：第：第j行的左带宽。行的左带宽。 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam50 从从第第j列列的的主主对对角角线线元元素素起起到到该该列列上上方方第第一一个个非非零零元元素素为为止止，所所含含元元素素的的个个数数称称为为第第j列列的的列列高高，记记为为hj
32、；如如果果把把第第j列列上上方方第第1个个非非零零元元素素的的行行号号记记为为mj，则则第第j列的列高为列的列高为 hj = j - mj + 1其实，其实，hj就是第就是第j行的左带宽，因而必有行的左带宽，因而必有 UBW= max(hj) j=1,2, ,N 利利用用节节点点位位移移信信息息数数组组ID （去去约约束束后后节节点点位位移移自自由由度度编编码码），可可容容易易地地确确定定刚刚度度矩矩阵阵K任任何何一一列列的的列列高。高。 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam51123416783452x
33、Y例：求图示框架结构例：求图示框架结构h7=?。 利用利用ID数组得各单元的连接数组数组得各单元的连接数组LM（假定小号为（假定小号为i）（1）ID数组数组节节点号：点号：1 2 3 4按列，遇按列，遇1变变0，遇，遇0加加1。 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam52 连接数组：连接数组： 1号单元：号单元： LM=0, 0, 1, 0, 0, 2 2号单元：号单元： LM=0, 0, 2, 3, 4, 5 3号单元：号单元： LM=3, 4, 5, 6, 7, 8 4单元：单元： LM=0, 0, 1
34、, 6, 7, 8123416783452xY1 2 3 4 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam53 a) 如果如果 ID（i, j ) = 0则表明则表明j号节点第号节点第i个自由度受有约束。个自由度受有约束。 b) 如果如果 ID( i, j ) 0则则j号节点第号节点第i个自由度不受约束。并且，个自由度不受约束。并且， j号节点第号节点第i个位移分量在非约束节点位移列向量个位移分量在非约束节点位移列向量 f 中的序号就中的序号就是是: ID( i, j ) 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学
35、研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam54u主元主元在一维数组在一维数组A中的地址中的地址 数组数组MAXA的长度是的长度是K的行或列数加的行或列数加1（N+1）。）。 K的的任任何何一一个个主主对对角角元元在在一一维维数数组组A中中的的地地址址：第第j列列主主对对角角线线元元素素Kjj在在一一维维数数组组A中中的的地地址址等等于于前前(j-1)列的列高之和加列的列高之和加1，即，即 确确定定第第j列列列列高高的的办办法法是是：从从1号号单单元元起起，对对所所有有单单元元逐逐个个进进行行检检查查。其其中中，与与7号号位位移移分分量量同同在在一一个
36、个连连接数组中的接数组中的最小非零号码最小非零号码就是就是m7。显然有。显然有 m7 = 1 第第7列的列高为：列的列高为：h7 = j - mj + 1 =7 1 + 1 = 7 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam55 MAXA(j) = h1 + hj-2 - hj-1 + 1 =（h1 + hj-2 + 1）+ hj-1 = MAXA（j - 1）+ hj-1因为永远有因为永远有 MAXA(1)= 1， MAXA(2)= 2故计算主元地址的公式可写为故计算主元地址的公式可写为 MAXA(j+1)=
37、 MAXA(j)+ hj （2-1）式中，式中， j = 2，3，N； hj刚度矩阵刚度矩阵K第第j列的列高。列的列高。一维数组一维数组A的总长度的总长度(S) ，即刚度矩阵，即刚度矩阵K按变带宽存贮按变带宽存贮的总存贮量的总存贮量 S = MAXA(N+1)- MAXA(1) 福州大学研究生课程有限元程序设计福州大学研究生课程有限元程序设计 Chapter 5 Bernoulli-Euler Beam56uKi,j在一维数组在一维数组A中的地址中的地址 记记Ki,j在一维数组在一维数组A中的地址为中的地址为AIJ。则由下图可知，。则由下图可知， A I J = MAXA J + J I （2-2） 其中，其中，I = mj，mj+1，J。图图5-12j列列第第i 行行顶线下顶线下第第j列列MAXA(J)(j-i)个个元素元素AIJ第第j 行行A中地址中地址Kj,jKi,jKmj,jK中地址中地址mj
