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1、问题问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是面所成角的度数是3030，为使出水口的高度为，为使出水口的高度为35m35m，那么需要准备多长的水管？，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在这个问题可以归结为，在RtABC中，中，C90，A30，BC35m，求，求ABABC 分析：分析：情情境境探探究究在上面的问题中，如果使出水口的高度为在上面的问题中，如果使出水口的高度
2、为50m，那么需要准备多长的水管？，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30，那，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于都等于ABC50m30mB C 即在直角三角形中，当一个锐角等于即在直角三角形中，当一个锐角等于45时，不时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于斜边的比都等于 如图，任意画一个如图，任意画一个RtABC，使使C90，A45，计算，计算A的对边与斜边的比的对边与斜边的比 ，你，
3、你能得出什么结论？能得出什么结论？ABC综上可知，在一个综上可知，在一个RtABC中，中，C90，当，当A30时，时，A的对边与斜边的比都等于的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当，是一个固定值；当A45时，时，A的对边与的对边与斜边的比都等于斜边的比都等于 ，也是一个固定值，也是一个固定值. 一般地，当一般地，当A 取其他一定度数的锐角时，它取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 这就是说，在直角三角形中，当锐角这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数的度数一定时，不管三角形的大小如何，一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与的
4、对边与斜边的比也是一个固定值斜边的比也是一个固定值任意画任意画RtABC和和RtABC，使得，使得CC90，AA，那么，那么 与与 有什么有什么关系你能解关系你能解释一下一下吗？探究探究ABCABC 如图，在如图，在RtABC中，中，C90，我们把锐角，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做的对边与斜边的比叫做A的正弦的正弦（sine），记住），记住sinA 即即例如，当例如，当A30时，我们有时，我们有当当A45时，我们有时，我们有ABCcab对边对边斜边斜边在图中在图中A的对边记作的对边记作aB的对边记作的对边记作bC的对边记作的对边记作c 正正 弦弦 函函 数数例例1 如图，在如图，在RtAB
5、C中，中，C90，求，求sinA和和sinB的值的值ABC34 例例 题题 示示 范范ABC135(1)(2)例例2、如图，在、如图，在ABC中，中， AB=BC=5，sinA=4/5，求，求ABC 的面积。的面积。1.在平面直角平面坐标系中在平面直角平面坐标系中,已知点已知点A(3,0)和和B(0,-4),则则sin OAB等于等于_2.在在RT ABC中中, C=900,AD是是BC边上的边上的中线中线,AC=2,BC=4,则则sin DAC=_.3.在在 RT ABC中中, 则则sin A=_.ACBABCDE3.已知在已知在RT ABC中中, C=900,D是是BC中中点点,DE AB
6、,垂足为垂足为E,sin BDE=AE=7,求求DE的长的长.三角函数符号最早的使用三角函数符号最早的使用19491949年年至至今今，由由于于受受前前苏苏联联教教材材的的影影响响，我我国国数数学学书书籍籍中中“cotcot”改改为为“ctgctg”，“tantan”改改为为“tgtg”，其其余余四四个个符符号号均均未未变变。这这就就是是为为什什么么我我国国市市场上流行的进口函数计算器上有场上流行的进口函数计算器上有“tantan”而无而无“tgtg”按键的缘故。按键的缘故。小资料sine(sine(正弦正弦) )一词始于阿拉伯人雷基奥蒙坦。他是十五世纪西欧数学界的领导一词始于阿拉伯人雷基奥蒙
7、坦。他是十五世纪西欧数学界的领导 人物，他于人物，他于14641464年完成的著作年完成的著作论各种三角形论各种三角形，15331533年开始发行，这是一年开始发行，这是一 本纯三角学的书，使三角学脱离天文学，独立成为一本纯三角学的书，使三角学脱离天文学，独立成为一门数学分科。CosineCosine（余余弦弦）及及cotangentcotangent（余余切切）为为英英国国人人根根日日尔尔首首先先使使用用，最最早早在在16201620年伦敦出版的他所著的年伦敦出版的他所著的炮兵测量学炮兵测量学中出现。中出现。Secant(Secant(正割正割) )及及tangenttangent（正切）（
8、正切）为丹麦数学家托马斯为丹麦数学家托马斯劳克首创，最早见于劳克首创，最早见于他的他的圆几何学圆几何学一书中。一书中。CosecantCosecant（余余割割）一一词词为为锐锐梯梯卡卡斯斯所所创创。最最早早见见于于他1596年出版的宫廷乐章一书。16261626年年，阿尔贝特，阿尔贝特格洛德最早推出简写的三角符号格洛德最早推出简写的三角符号: :“sinsin” , ,“tantan” , ,“secsec”. .16751675年年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：“coscos”，“cotcot”，“csccsc”。便直到。便直到17481748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来。年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来。
