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1、最新资料 名师资料欢迎下载！ 专题 15 利用导数证明多元不等式 【热点聚焦与扩展】 利用函数性质、导数证明不等式，是导数综合题常涉及的问题，多元不等式的证明则是导数综合题的一个 难点，其困难之处是如何构造、转化合适的一元函数，本专题拟通过一些典型模拟习题为例介绍常用的处 理方法 . 1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作： （1）利用条件粗略确定变量的取值范围 （2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用 2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个n元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代 数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序 3、证明多元不
2、等式通常的方法有两个 （1）消元：利用条件代入消元 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元 （2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证 明不等式 （3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法. 【经典例题】 例 1【 2018 届四川省资阳市高三4 月模拟（三诊） 】已知函数ln p Fxpx x （其中0p） （1）当 1 2 p时，判断F x零点的个数k； （2）在（ 1）的条件下，记这些零点分别为1,2, i x ikL，求证： 12 111 4 k xxx L 【答案】 (1) 见解析 ;(2) 见解析
3、. 【解析】试题分析： （1）先求导数，再求导函数零点，根据零点列表分析导函数符号，进而确定函数单调 性，再根据零点存在定理确定函数零点个数，（2）先根据零点条件化简得 21 1 122 ln0 2 xx x x xx ，令 1 2 x t x ， 则 12 21 ln 11 4 1 tt xxt ，利用导数研究函数211 lnftttt单调性，根据单调性得 10f tf，即证得结论. 试题解析：（ 1）由题知x0， 1 lnln2 2 Fxx x ， 最新资料 名师资料欢迎下载！ 所以 22 1121 (0) 22 x Fxx xxx ，由0Fx得 1 2 x， 当 x 1 2 时，0Fx，
4、F x为增函数；当0x 1 2 时，0Fx，F x为减函数， 所以 min 1 =12ln21ln40 2 FxF ， 而 11 2044ln20 48 FF ， 所以 12 21 ln 11lnln 2 111 tt ttt xxttt ， 下面证明 1 ln 2 1 tt t ，其中 1 1 16 t， 即证明1 ln21ttt，设211 lnf tttt， 则 1 1lnftt t ，令 1 1lnu tt t ，则 22 111 0 t ut ttt ， 所以u t为增函数，即 1 1lnftt t 为 1 ,1 16 增函数， 故10ftf，所以211 lnf tttt为 1 ,1
5、16 减函数， 于是211 ln10f ttttf，即211 lnttt 最新资料 名师资料欢迎下载！ 所以有 1 ln 2 1 tt t ，从而 12 11 4 xx 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数h xfxg x. 根据差函数导函数符 号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般 思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函 数. 例 2【 2018 届四川省蓉城名校高中高三4 月联考】已知函数 x fxxexR. （1）求函数fx的单调区间和极值； （2）若
6、2 1 21 2 g xfxa xx有两个零点，求实数a的范围； （3） 已知函数h x与函数fx的图象关于原点对称，如果 12 xx， 且 12h xh x ， 证明： 12 2xx. 【答案】（1）见解析；（2）,0； （3）见解析 . x, 1 1 1, fx 000 fx递减 1 e 递增 函数fx的增区间为1,，减区间为, 1；函数fx在1x处取的极小值 1 1f e ， 无极大值 . （2）由 2 1 21 2 x g xxea xx，则1 x gxxea， 最新资料 名师资料欢迎下载！ 当0a时， x g xxe，易知函数g x只有一个零点，不符合题意， 零点，不符合题意， 当
7、1 a e 时，在, 1和ln , a上0gx，g x单调递增， 在1,lna上0gx，g x单 调递减 . 又 1 10g e ，所以函数g x至多一个零点，不符合题意， 当 1 a e 时，0gx，函数在xR上单调递增，所以函数g x至多一个零点，不符合题意， 综上，实数a的取值范围是,0. （3）由 x h xfxxe，1 x hxex，令0hx，解得1x，当x变化时，hx， h x的变化情况如下表： x,1 1 1, hx 000 h x递增 1 e 递减 由 12 xx，不妨设 12 xx，根据 12 h xh x结合图象可知 1 1x， 2 1x， 令2F xh xhx，1,x，则
8、 22 11 xx Fxxee，1x，220 x， 22 10 x e，则0Fx，F x在1,单调递增，又10F，1x时， 10F xF，即当1x时，2h xhx，则 11 2h xhx， 又 12 h xh x， 21 2h xhx， 因 1 1x， 1 21x， 21 ,2,1xx， h x在,1 最新资料 名师资料欢迎下载！ 上是增函数， 21 2xx， 12 2xx得证 . 点睛：本题主要考查的知识点是导数的综合运用，利用导数求出函数的单调区间和极值较为简单，分类讨 论由函数零点求参数的取值范围需要注意分类的情况，在证明不等式成立时构造新函数，利用函数的单调 性证明，这里的证明方法可以
9、作为此类题目的参考模板加以应用. 例 3【2017 天津， 理 20】设aZ，已知定义在R上的函数 432 ( )2336f xxxxxa在区间(1,2)内 有一个零点 0 x，( )g x为( )f x的导函数 . （）求( )g x的单调区间； （）设 00 1,)(,2mxxU，函数 0 ( )( )()()h xg xmxf m，求证： 0 () ()0h m h x； （）求证：存在大于0 的常数A，使得对于任意的正整数,p q，且 00 1,)(,2, p xx q U满足 04 1 | p x qAq . 【答案】（ 1）增区间是(, 1)， 1 (,) 4 ，减区间是 1 (
10、1,) 4 . （2） （3）证明见解析 当x变化时，( ),( )gxg x的变化情况如下表： x (, 1) 1 ( 1,) 4 1 (,) 4 ( )g x+ - + ( )g x 所以，( )g x的单调递增区间是(, 1)， 1 (,) 4 ，单调递减区间是 1 ( 1,) 4 . 最新资料 名师资料欢迎下载！ （III）证明：对于任意的正整数 p，q，且 00 1)(, ,2 p xx q U， 令 p m q ，函数 0 ( )( )()()hgmxxxmf. 由（ II ）知，当 0 1),mx时，( )h x在区间 0 (,)m x内有零点； 当 0 (,2mx时，( )h
11、x在区间 0 (),xm内有零点 . 所以( )h x在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为 1 x，则 110 ()()()()0 pp hgxf q x q x. 由（ I ）知( )g x在1,2上单调递增，故 1 0( )()12( )gxgg， 于是 432234 04 1 ()|()| | 2336| | ()( )(2)2 pp ff ppp qp qpqaqqq x qg xggq . 因为当1 2,x时，( )0g x，故( )f x在1,2上单调递增， 所以( )f x在区间1,2上除 0 x外没有其他的零点，而 0 p x q ，故()0 p f q . 又因为p，q，a
12、均为整数，所以 432234 |2336|pp qp qpqaq是正整数， 从而 432234 |2336|1pp qp qpqaq. 最新资料 名师资料欢迎下载！ 所以 04 1 | 2 | ( ) p x qgq . 所以，只要取( )2Ag，就有 04 1 | p x qAq . 【名师点睛】判断( )g x的单调性，只需对函数求导，根据( )g x的导数的符号判断函数的单调性，求出单 调区间，有关函数的零点问题，先利用函数的导数判断函数的单调性，了解函数的图象的增减情况，再对 极值点作出相应的要求，可控制零点的个数. 例 4【 2018 届青海省西宁市高三下学期一模】已知函数 1x f
13、xe ax （0,0ax）在1x处的切线 与直线120180exy平行 . （1）求a的值并讨论函数yfx在,0 x上的单调性； （2）若函数 1 1g xfxxm x （m为常数）有两个零点 12 ,x x（ 12 xx） 求实数m的取值范围； 求证： 12 0 xx 【答案】（1）见解析；（2）2m；见解析 . 1 11fee a ，1a. 2 22 11 x x x e fxe xx 令 2 1 x h xx e， 则 2 2 x hxxxe , 2x时，0hx；2,0 x时，0hx. 则h x在, 2上单调递增，在2,0上单调递减 . 最新资料 名师资料欢迎下载！ 在,0 x时， 2
14、4 210h xh e ， 即,0 x时，0fx， 函数fx在,0 x上单调递减 . （2）由条件可知，1 x g xexm， 则1 x gxe g x在,0上单调递减，在0,上单调递增； 令2 xx m xeex（0 x） 则20 xx m xee， 00m xm 即 12 g xgx 又g x在,0上单调递减， 12 xx，即 12 0 xx 点睛：一般涉及导数问题中的证明，可考虑构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性，极值，最值等 问题，往往可解决此类证明题，本题就是构造函数后，利用导数确定其单调性，再根据 12 g xgx， 确定自变量的大小关系，从而求证不等式成立. 例 5【 20
15、18 届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知函数 2 1 x fxxex 最新资料 名师资料欢迎下载！ （1）求fx在 1 ,1 4 上的最小值； （2） 若 x g xfxaex， 当g x有两个极值点 1212 ,()x xxx时， 总有 2 21 21 x eg xtxe， 求此时实数t的值 【答案】（1）1； （ 2）e 【解析】试题分析： （1）对函数求导，由于不能因式分解，但是能观察出零点，进一步求二阶导可知导函 数单调，所以导函数只有唯一零. （2）由 2 21 x gxxxae，所以方程 2 210 xxa有两 个不同的实根 12 ,x x，通过韦达定理把待证不等式消去 1
16、x，再分离参数t ，可解 . 试题解析：（） 2 211 x fxxxe， 2 41 x fxxxe 21 ,1 ,410 4 xxx , 0fx fx在 1 ,1 4 单调递增，又00f 根据题意，方程 2 210 xxa有两个不同的实根 1212 ,x xxx， 所以2a，且 12 2xx， 12 1x xa， 12 1xx 由 2 21 21 x eg xtxe 可得 22 2 21 121 xx e xaetxe，又 2 22 1xax， 12 2xx 所以上式化为 22 2 210 xx xe et e 对任意的 2 1x恒成立 （I ）当 2 0 x时，不等式 22 2 210 xx xe et e 恒成立，tR； 最新资料 名师资料欢迎下载！ （II ）当 2 1,0 x时， 22 210 xx e et e恒成立，即 2 2 2 1 x x e e t e 令函数 2 22 2 21 21 11 x xx e e h xe ee ，显然，h x是R上的
