《中考数学之存在性问题解题策略》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学之存在性问题解题策略（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题 04 相切的存在性问题解题策略 专题攻略 一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形 解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二 步分类列方程，第三步解方程并 验根 第一步在罗列三要素R、r、d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x 的式子 表示第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况 二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形 解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R 和 d，第二步列方程，第三步解方程并验根 第一步在罗列两要素R 和 d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x 的式子表
2、示第二步列方程，就是根据直线与圆相切时dR 列方程 例题解析 例 1如图 1-1，已知抛物线yx21 与 x 轴相交于A、B 两点 （1）有一半径为r 的 P，且圆心 P 在抛物线上运动，当P 与两坐标轴都相切时，求半径r 的值； （2）半径为1的 P 在抛物线上，当点P 的纵坐标在什么范围内取值时，P 与 y 轴相离、相交？ 图 1-1 例 2如图 2-1， ABC 中， BCAC5，AB8，CD 为 AB 边上的高如图2-1，A 在原点处，点B 在 y 轴的正半轴上，点C 在第一象限若A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1 个单位长的速度运动，则点 B 随之沿 y 轴下滑，并带动ABC 在平
3、面上滑动如图2-2，设运动的时间为t 秒，当 B 到达原点时停止 运动当以点C 为圆心、 CA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值 图 2-1 图 2-2 例 3如图 3-1，A(5,0)，B( 3,0)，C(0, 3)，四边形 OADC 是矩形点P 从点 Q(4,0)出发，沿 x 轴向 左以每秒1个单位 长的速度运动，以PC 为半径的 P 随点 P 的运动而变化，当P 与四边形ABCD 的边 （或边所在的直线）相切时，求运动时间t 的值 图 3 -1 例 4如图 4-1，已知抛物线ymx2bxc(m0)经过 A(1, 0)、B(3,0)两点，顶点为P，与 y 轴交于 点 D C 的直径为
4、A、B，当 m 为何值时，直线PD 与 C 相切？ 图 4-1 例 5如图 5-1，在梯形ABCD 中， ABC90， ADBC，AB8，BC 18， 5 4 sinBCD ，点 P 从点 B 开始沿 BC 边向终点C 以每秒 3 个单位的速度移动，点Q 从点 D 开始沿 DA 边向终点A 以每秒 2 个单位的速度移动，设运动时间为t秒 如果 P 的半径为6， Q 的半径为4，在移动的过程中，试探索： t为何值时 P 与 Q 外离、外切、相交？ 图 5-1 例 6如图 6-1，Rt ABC 中， ACB90， AC4 厘米， BC3 厘米， O 为 ABC 的内切圆 （1）求 O 的半径； （
5、2）动点 P 从点 B 沿 BA 向点 A 以每秒 1 厘米的速度匀速运动，以P 为圆心， PB 为半径作圆设点 P 运动的时间为t 秒，若 P 与 O 相切，求t 的值 图 6-1 例 7如图 7-1，已知直线l： 4 4 3 yx与 x 轴、 y 轴分别交于点A、B， O 的半径为1，点 C 是 y 轴正半轴上的一点，如果C 既与 O 相切，也与直线l 相切，求圆心C 的坐标 图 7-1 例 8如图 8-1，已知在等腰 ABC 中，ABAC5，BC6，点 D 为 BC 边上一动点 （不与点B 重合）， 过点 D 作射线 DE 交 AB 于点 E， BDE A，以点 D 为圆心， DC 的长
6、为半径作D设 BDx （1）当 D 与边 AB 相切时，求x 的值； （2）如果 E 是以 E 为圆心， AE 的长为半径的圆，当D 与 E 相切时，求x 的值 图 8-1 例 9如图 9-1，一个 RtDEF 的直角边DE 落在 AB 上，点 D 与点 B 重合，过A 点作射线AC 与斜 边 EF 平行，已知AB12，DE4，DF 3如图 9-2，点 P 从 A 点出发，沿射线AC 方向以每秒2 个单 位的速度运动，Q 为 AP 的中点同时RtDEF 沿着 BA 方向以每秒1 个单位的速度运动，当点D 运动到 点 A 时，两个运动都停止在运动过程中，是否存在以点Q 为圆心的圆与RtDEF 的
7、两条直角边所在直 线都相切？若存在，求运动时间t，若不存在，说明理由 图 9-1 图 9-2 参考答案 例 1 【解析】（ 1）如果 P 与两坐标轴都相切，那么圆心P 到两坐标轴的距离相等画直线y x 和 y x，四个圆心P 就都找到了，如图1-2，图 1-3其实求半径r，只需一个图就可以了，P 的半径为r |x| 5+1 2 或 51 2 （2）要判断 P 与 y 轴相离、 相交，先找到临界位置P 与 y 轴相切， 此时 x1 或 x 1如图 1-4， 可以想象，当圆心P 在 x 轴下方时， P 与 y 轴相交，此时1yP0；当圆心 P 在 x 轴上方时， P 与 y 轴相离，此时yP0 图
8、 1-2 图 1-3 图 1-4 例 2 【解析】这道题讲一下画图策略，答案就在图形中 （1）如图 2-3，画 x 轴，取点A；作 CAx 轴，且 CA5；以 CA 为半径画 C，以 A 为圆心， 8 为 半径画弧，产生点B 如图 2-4，过点 B 画 y 轴在 RtAOB 中，已知AB 和 1，求得 OAt4.8 （2）如图 2-5，先画 y 轴和点 B，产生点A 后再画 x 轴求得 OAt6.4 图 2-3 图 2-4 图 2-5 例 3 【解析】我们先根据“dr”讲解题策略 如图 3-2，动点 P 到切线 BC 的所有垂线段中，哪条等于半径PC？此时 P(3, 0)，t 1 如图 3-3
9、，动点 P 到 切线 DC 的所有垂线段中，半径PC 是哪条？此时P(0, 0)， t4 如图 3-4，动点 P 到切线 AD 的距离就是PA，PA 与半径 PC 相等，点P 在 AC 的垂直平分线上，此时 在 RtPCO 中，由勾股定理解得AP3.6，所以 QP5.4，t5.4. 图 3-2 图 3-3 图 3-4 我们再灵活应用“圆的切线垂直于经过切点的半径”画图，答案就在图形中 如图 3-5，经过切点C 画切线 BC 的垂线，与x 轴的交点就是P(3, 0) 如图 3-6，经过切点C 画切线 DC 的垂线，与x 轴的交点就是P(0, 0) 如图 3-7，已知圆上两点A 和 C，画 AC
10、的垂直平分线，与x 轴的交点就是P 图 3-5 图 3-6 图 3-7 例 4 【解析】由ym(x1)(x3)，可得 D(0,3m)，P(1,4m) C 的半径为2，切线 PD 随 m 变化 如图4-2，先假设切点为E，那么 CPE PDF 由sinCPE sinPDF，得 CEPF CPPD 解方程 2 21 4 1 m m ，得 3 3 m所以当 3 3 m时，直线PD 与 C 相切 事实上，此时直线PD 与 C 相切于点 D， PCD30（如图4-3） 图 4-2 图 4-3 例 5 【解析】对于P，R6；对于 Q，r4圆心距 dPQ 怎么表示呢？ 如图 5-2，PQ2QH 2PH2 8
11、2 (125t)2 当两圆外切时，由dRr 10，得 d2102 解方程 82(12 5t)2 102，得 t1.2（如图 5-3） ，或 t3.6（如图 5-4） 现在，我们想象两圆的运动过程，从外离到外切、相交，再到外切，外离，然后写出结论：当0t 1.2 和 3.6t6 时，两圆外离；当1.2t3.2 时，两圆相交 图 5-2 图 5-3 图 5-4 例 6 【解析】如图6-2， O 的半径 r1（厘米） 对于 O，r1；对于 P，Rt；圆心距dOP 在 RtPOH 中解决（如图6-3） 由 OP2OH 2PH212(2t)2，得 dOP 2 45tt 当 P 与 O 外切时，由dRr，
12、得 2 451ttt解得 2 3 t（如图 6-4） 当 P 与 O 内切时，由d|Rr|，得 2 45|1|ttt解得 t2（如图 6-5） 图 6-2 图 6-3 图 6-4 图 6-5 例 7 【解析】先确定C 与直线 l 相切，再解方程C 与 O 相切 如图 7-2，过点 C 作 CDAB，垂足为D设 BC5m，半径 CD3m 对于 O，r1；对于 C，R3m；圆心距dOC OBBC4 5m 当两圆外切时，Rrd解方程3m145m，得 3 8 m 此时 17 (0,) 8 C （如图 7-3） 当两圆内切时，Rrd解方程3m145m，得 5 8 m 此时 7 (0,) 8 C （如图
13、7-4） 图 7-2 图 7-3 图 7-4 例 8 【解析】如图8-2，ABAC 和 BDE A，隐含了 ABC DBE ，DBDEx （1）如图 8-3，当 D 与边 AB 相切时， dr，解 DH DC 就可以了 解方程 4 6 5 xx，得 10 3 x （2）对于 D，RDC6 x；对于 E，rAE ABBE 6 5 5 x； 圆心距 dDEDBx 当两圆外切时，由dRr，得 6 (6)(5) 5 xxx解得 55 16 x （如图 8-4） 当两圆内切时，由dRr，得 6 (6)(5) 5 xxx解得 5 4 x（如图 8-5） 图 8-2 图 8-3 图 8-4 图 8-5 例
14、9 【解析】这道题目我们讲画图的策略注意到AQBDt 如图 9-3，画 CAM CAB；在射线AM 上取一点D，过点 D 作 AM 的垂线；画直角的平分线产 生 点 Q；在点 D 右侧截取DBAQ 作 QHAM 于 H，以 QH 为半径的 Q 符合题意 由 QHDH ，得 39 12 55 tt解得 t5 过点 D 画直角的平分线还有图9-4 的情形，此时DH 9 12 5 t 解方程 93 12 55 tt，得 t10 从上面的过程我们可以体验到，画图与点P 无关，与 DEF 无关我们去伪存真，A 的大小确定， 以 D 为顶点构造直角，作直角的平分线产生点Q，截取得到点B 就可以了 图 9-4 图 9-5
