《2020中考数学专题复习：二次函数与特殊三角形问题(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020中考数学专题复习：二次函数与特殊三角形问题(含答案)（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020 中考数学 三轮培优冲刺二次函数与特殊三角形问题（含答案） 1.已知抛物线过A(2，0)，B(0，2)，C(3 2， 0)三点一动点 P 从原点出发以1 个单位 / 秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点 A 作直线 BP的垂线交y 轴于点 Q，设点 P 的运动时间为t 秒 (1)求该抛物线的解析式； (2)当 BQ1 2AP 时，求 t 的值； (3)随着点 P 的运动，抛物线上是否存在一点M，使 MPQ 为等边三角形？若存在，请直 接写出 t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由 解： (1)设抛物线的解析式为yax2bxc(a 0)， 抛物线经过A(2，0)，B(0，2
2、)，C(3 2，0)三点， 4a2bc0 c2 9 4a 3 2bc0 ，解得 a 2 3 b 1 3 c2 ， 抛物线的解析式为y 2 3x 21 3x2. (2)如解图 ，当 t2 时，点 Q 在点 B 下方， 第 1 题解图 AQPB， BOAP， AOQBOP90 ， PAQPBO， AOBO2， AOQ BOP(ASA) ， OQOPt ，BQBOOQ2t，APAOOP2t， BQ 1 2AP, 2 t 1 2(2t)，解得 t 2 3； 如解图 ，当 t2 时，点 Q 在点 B 上方， 第 1 题解图 同理可证 AOQ BOP， OQOPt，BQOQBO t2，APAOOP 2t，
3、 BQ 1 2AP，t2 1 2(2t)，解得 t6. 综上，当t 2 3或 6时， BQ 1 2AP. (3)存在，当t3 1时，抛物线上存在点M(1，1)，当 t333时，抛物线上存在点 M(3， 3) 【解法提示】 由(2)知 OPOQ， OPQ 是等腰直角三角形， MPQ 是等边三角形， 点 M 在线段 PQ 的垂直平分线上， 由于直线 PQ 的垂直平分线为直线yx， 又 点 M 在抛物线上， 联立抛物线与直线y x可得 , y x y 2 3x 21 3x 2 ，解得 x1 y1 或 x 3 y 3. M(1，1)或 (3， 3) 当 M(1，1)时，如解图 ，过点 M 作 MD x
4、 轴于点 D， 第 1 题解图 则有 PD |1 t|，MP 21(1t)2t22t2，PQ22t2， MPQ 是等边三角形， MPPQ， MP 2 PQ2 即 t22t22t2，解得 t1 31，t231(舍去 )； 当 M(3， 3)时，如解图 ，过点 M 作 MEx 轴于点 E， 第 1 题解图 则有 PEOEOP3t，ME3，PQ 2 2t2， MP 2 (3t)232t26t18， MPQ 是等边三角形， MPPQ，即 MP 2 PQ2， t 26t18 2t2，解得 t13 3 3，t2 333(舍去 )， 综上所述，当t31 时，抛物线上存在点M(1，1)，使得 MPQ 是等边三
5、角形；当t 333 时，抛物线上存在点M(3， 3)，使得 MPQ 是等边三角形 2.如图，已知抛物线yax2bxc(a 0) 的对称轴为直线x 1，且经过A(1， 0)， C(0， 3)两点，与 x 轴的另一个交点为B. (1)若直线 ymx n经过 B，C 两点，求抛物线和直线BC 的解析式； (2)在抛物线的对称轴x 1 上找一点M，使点 M 到点 A 的距离与到点C 的距离之和最小， 求点 M 的坐标； (3)设点 P 为抛物线的对称轴x 1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点P的坐 标 第 2 题图 解： (1)由题意得 b 2a 1 abc 0 c3 ，解得 a 1 b 2
6、 c3 ， 抛物线的解析式为y x22x3. 对称轴为直线x 1，抛物线经过A(1，0)， B(3，0) 设 BC 的解析式ymxn， 把 B(3，0)，C(0，3)分别代入 ymx n得 3m n0 n 3 ，解得 m1 n3 ， 直线 BC 的解析式为yx3； (2)如解图，连接MA， 第 2 题解图 MAMB， MAMCMBMC. 使 MAMC 最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴x 1 的交点 设直线 BC 与对称轴x 1 的交点为M，把 x 1 代入直线yx3，得 y2. M(1， 2); (3)设 P(1，t)，B(3，0)，C(0，3)，BC218， PB2(13) 2t24
7、t2， PC2(1)2(t3)2t2 6t 10. 若 B 为直角顶点，则BC2PB 2PC2，即 184t2t26t10，解得 t 2； 若 C 为直角顶点，则BC2PC2PB 2，即 18t26t104t2，解得 t 4； 若 P 为直角顶点，则PB2PC2BC 2，即： 4t2t26t1018，解得 t1 317 2 ， t2 317 2 . 综上所述，满足条件的点P 共有四个，分别为：P1(1， 2)，P2(1，4)，P3(1， 317 2 )，P4(1， 317 2 ) 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc 经过点 A(0， 6)和点 C(6，0) (1)求抛物线的解析式
8、； (2)若抛物线与x 轴的负半轴交于点B，试判断 ABC 的形状； (钝角三角形、直角三角形、 锐角三角形 ) (3)抛物线上是否存在点P，使得 PAC 是以 AC 为底的等腰三角形？若存在，请求出所有 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 3 题图 解： (1)将 A、C 两点坐标代入yx2bxc， 得 366bc 0 c 6 ，解得 b 5 c 6 ， 抛物线的解析式为yx25x6； (2)当 y0 时，则有 x25x60， (x1)(x6)0， 解得 x1 1，x26(舍)， B(1，0) 由两点之间的距离公式可得：BC 2(1)6249，AC2(60)2 0(6)272，AB2
9、(10)20(6)237， AB 2BC2AC2， ABC 为锐角三角形 (3)存在满足条件的点，使得PAC 为等腰三角形 理由：如解图，过线段AC 的中点 M，作 AC 的垂直平分线交抛物线于点P，直线 MP 与 抛物线必有两个交点都是满足条件的点P， 第 3 题解图 A(0， 6)， C(6，0)， 点 M 的坐标为 (3， 3)， kAC= 0( 6) 1 60 ，kMP=-1， 设直线 MP 的解析式为y=-x+m， 将 M（3， -3）代入得 -3=-3+m，即 m=0， 即直线 MP 的解析式为y x， 联立 y x yx25x6 ，解得 x1210 y110 2 或 x2210
10、y2 210 ， 点 P 的坐标为 (210，102)或(210， 210) 4.如图，抛物线yx2bxc与 x 轴交于 A、B两点， B点坐标为 (3，0)，与 y轴交于点 C(0，3) (1)求抛物线的解析式； (2)点 P在 x 轴下方的抛物线上，过点P 的直线 yxm 与直线 BC 交于点 E，与 y轴交于 点 F，求 PEEF 的最大值； (3)点 D 为抛物线对称轴上一点当BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求点D 的 坐标 解： (1)由题意得 323b c0 c3 ，解得 b 4 c3 ， 抛物线的解析式为y x2 4x3； (2)如解图 ，过点 P 作 PGCF 交
11、CB 与点 G， 第 4 题解图 由题可知，直线BC 的解析式为y x3， OCOB3， OCB45 . 同理可知 OFE45 ， CEF 为等腰直角三角形， PGCF， GPE 为等腰直角三角形， F(0，m)， C(0， 3)， CF3m， EF 2 2 CF 2 2 (3 m), PE 2 2 PG， 设 P(t，t 24t3)(1t3), 则 G(t， t3)， 点 P 是直线 yxm 与抛物线的交点，t24t3tm， 则 PE 2 2 PG 2 2 (t3 tm) 2 2 (m2t3)， PEEF 2 2 (3m) 2 2 (m2t3) 2 2 (2t2m6)2(t m 3)2(t2
12、4t) 2(t2)2 4 2， 当 t2 时， PEEF 最大，最大值为42； (3)由(1)知对称轴x2，设点 D(2，n)，如解图 . 第 4 题解图 当 BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论： ()D 在 C 上方 D1位置时，由勾股定理得CD 2 1BC2BD 2 1， 即(20)2(n3) 2(3 2)2(32)2(0 n)2 ，解得 n 5； ()D 在 C 下方 D2位置时，由勾股定理得BD 2 2BC 2CD2 2， 即(23)2(n0) 2(3 2)2(20)2(n 3)2 ，解得 n 1， 综上所述，当 BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，D
13、为(2，5)或(2， 1) 5.如图，抛物线yax22axc(a 0) 与 y 轴交于点C(0，4)，与 x 轴交于点 A、B，点 A 的坐标为 (4，0) (1)求该抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为N，在 x 轴上找一点K，使 CKKN 最小，并求出点K 的坐标； (3)若平行于x轴的动直线l 与该抛物线交于点P，与直线AC 交于点 F，点 D 的坐标为 (2， 0)问：是否存在这样的直线l，使得 ODF 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由 第 5 题图 解： (1)抛物线经过点C(0，4)，A(4，0)， 0816 4 ca-a c ，解得 1 - 2
14、4 a= c= ， 抛物线的解析式为y 1 2x 2x4； (2)由 y 1 2x 2x41 2(x 1) 29 2可求得抛物线顶点坐标为 N(1， 9 2)， 如解图 ，作点 C 关于 x 轴的对称点C (0， 4)，连接 CN 交 x 轴于点 K，则点 K 即为所 求， 第 5 题解图 设直线 CN 的解析式为ykxb(k 0) ，把 C、N 两点坐标代入可得， 4 2 9 -b bk ，解得 4 2 17 -b k ， 直线 CN 的解析式为y 17 2 x 4， 令 y0，解得 x 8 17， 点 K 的坐标为 ( 8 17，0)； (3)存在要使 ODF 是等腰三角形，需分以下三种情
15、况讨论： 当 DODF 时， A(4，0)，D(2，0)， ADODDF2， 在 RtAOC 中， OAOC4， OAC45 ， DFA OAC 45 ， ADF 90 . 此时，点 F 的坐标为 (2，2)； 令 1 2x 2x4 2，解得 x11 5，x215. 此时，点 P 的坐标为 (15，2)或(15，2)； 当 FO FD 时，如解图 ，过点 F 作 FM x 轴于点 M. 第 5 题解图 由等腰三角形的性质得：OM1 2OD1， AM3， 在等腰直角 AMF 中， MF AM3， F(1，3) 令 1 2x 2x4 3，解得 x11 3，x213. 此时，点 P 的坐标为 (13
16、，3)或(13，3)； 当 ODOF 时， OAOC4，且 AOC90 ， AC42，点 O 到 AC 的距离为2 2. 而 OFOD222， 在 AC 上不存在点使得OFOD2. 此时，不存在这样的直线l，使得 ODF 是等腰三角形 综上所述，存在这样的直线l，使得 ODF 是等腰三角形，所求点P 的坐标为 (15，2) 或(15，2)或(13，3)或(13， 3) 6.如图 ，抛物线y 1 3x 2bx8与 x 轴交于点 A( 6，0)，点 B(点 A 在点 B 左侧 )， 与 y 轴交于点C，点 P 为线段 AO 上的一个动点，过点P 作 x 轴的垂线l 与抛物线交 于点 E，连接 AE、EC. (1)求抛物线的表达式及点C 的坐标； (2)连接 AC 交直线 l 于点 D，则在点 P 运动过程中，当点D 为 EP 中点时，求 S ADPSCDE； (3)如图 ，当 ECx 轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使 AEG 是以 AE为直角边的直角
