《北京四中2014届九年级数学总复习专练：实数--知识讲解(基础)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京四中2014届九年级数学总复习专练：实数--知识讲解(基础)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中考总复习：实数知识讲解 （基础）【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用. 【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类： 正 整 数 自 然 数整 数 零有 理 数 有 限 小 数 或 无 限 循 环 小 数负 整 数实 数 正 分 数分 数 负 分 数正 无 理 数无 理 数 无 限 不
2、 循 环 小 数负 无 理 数2.按性质符号分类：正 整 数正 有 理 数正 实 数 正 分 数正 无 理 数实 数 零 负 整 数负 有 理 数负 实 数 负 分 数负 无 理 数有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如 nm（m，n 是整数 n0） ”的数叫有理数无理数：无限不循环小数叫无理数实数：有理数和无理数统称为实数要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如 是无理数， 24、等都是无理数，而不是分数；（2）构造型：如 2.10100100010000（每两个 1 之间依次多一个 0）就是一个无限不循环的小数；（3）根式型： 3256、都是一些开方开不尽的数；（4）三角函
3、数型：sin35、tan27、cos29等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代 数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数0 的相反数是 0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于 0.a、b 互为相反数 a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0可用式子表示为： )0(a （2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数用式
4、子表示：若 a 是实数，则|a|0要点诠释 ：若 ,a则 0、-,则 0、-ab表示的几何意义就是在数轴上表示数 a 与数 b 的点之间的距离.3.倒数（1)实数 ()的倒数是 a1；0 没有倒数；（2)乘积是 1 的两个数互为倒数a、b 互为倒数 1ab.4.平方根（1)如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根a（a0 ）的平方根记作 a（2)一个正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根a（a0）的算术平方根记作 5.立方根如果 x3=a，那么 x 叫做 a 的立方根一个正数有一个正的立方
5、根；一个负数有一个负的立方根；0 的立方根仍是 0考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数 a、b， 若 a-b0ab；a-b=0 a=b；a-bb，bc，则 ac.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果 ab
6、0， a 2b2 ab ba；或利用倒数转化：如比较 417与 15.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大 .考点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数满足运算律：加法的交换律 a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)2.减法减去一 个数等于加上这个数的相反数3.乘法两
7、数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0乘法运算的运算律：（1）乘法交换律 ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律 a(b+c)=ab+ac4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值 相除0 除以任何一个不等 于 0 的数都得05.乘方与开方（1)求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a n所表示的意义是 n 个 a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数
8、，负数的奇次幂是负数（2)正数和 0 可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和 0 都可以开立方（3)零指数与负指数 011()().paa、 要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算这三级运算的顺序是三、二、一如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位一个近似数，从左边第一个不是0 的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用a10 n（其中 1 10，n 为
9、整数）的形式记数的方法叫科学记数法要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于 1 时，用科学记数法写成 a10n，其中 1 a10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去 1；（2）当要表示的数的绝对值小于 1 时，用科学记数法写成 a10 ，其中 1 10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零） .【典型例题】类型一、实数的有关概念1 （1）a 的相反数是 15，则 a 的倒数是_（2）实数 a、b 在数轴上对应点的位置如图所示: 则化简 2()ab =_0 ab（3） （泉州市）去年泉州市林业用地面积约为 10200000 亩，用科学
10、记数法表示为约_【答案】 （1）5 ； （2）-a-b； （3）1.0210 7亩.【解析】 （1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于 0，互为倒数的两个数乘积等于 1 来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知： 20 | 0 ()|().abababab， ， ， ，（3）考查科学记数法的概念.【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解举一 反三：【变式】据市旅游局统计，今年“五一”小
11、长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到 8.55 亿元，用科学记数法可以表示为（ ）A8.5510 6 B8.5510 7 C8.5510 8 D8.5510 9【答案】C.类型二、实数的分类与计算2下列实数 27、sin60、 3、 02、3.14159、- 9、 27、 8中无理数有（ ）个A1 B2 C3 D4【答案】C. 【解析】无理数有 sin60、 、 8.【点评】对实数进行分类不能只看表面 形式，应先化简，再根据结果去判断举一反三：【高清课程名称： 实数 高清 ID 号： 369214关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 1】【变式】在 ,30cos,2)3(,48
12、,1.30,45tan712,01. 513.0%,中，哪些是有理数? 哪些是无理数?【答案】 0.,(),5tan71,1.%都是有理数；8,cos3,2.,都 是无理数.3计算：计算： |2)3()21)(00 【答案与解析】 20120()()3)|4、【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0 指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算举一反三：【高清课程名称：实数 高清 ID 号：369214关联的位置名称（播放点名称）：经典例题 8-9】【变式 1】计算： .45sin8)1.3()202 【答案】 74、；【变式 2】计算： 12043201【
13、答案】设 n=2001，则原式= )()(nn123)(2n（把 n2+3n 看作一个整体）= )n=n2+3n+1=n(n+3)+1=20012004+1=4010005.类型三、实数大小的比较4比较下列每组数的大小：（1） 7与 154 （2）a 与 1（a0）【答案与解析】（1） 0174， 5041，而 与 5可以很容易进行比较得到：0，所以 1741；（2）当 a1 时，a ；当 a= 1时，a= a.【点评】 （1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可 以利用倒数关系比较； （2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们
14、知道，0 没有倒数，1 的倒数等于它本身，这样数轴就被这 3 个数分成了 4 部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把 a1的值看成是关于a 的反比例函数，把 a 的值看成是关于 a 的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.举一反三：【变式】比较下列每组数的大小：（1） 87和 51 （2） 5和 23【答案】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小， 40， ， 7185，所以 7185.（2） 2074，37438，因为 08，所以 252.类型四、平方根的应用5已知：x ，y 是实数， 234690xy，若 axy-3x=y
15、，则实数 a 的值是_.【答案】 14.【解析】 23690xy，即 234(3)0xy两个非负数相加和为 0，则这两个非负数必定同时为 0， 4，(y-3) 2=0， x= ， y=3又axy-3x=y， a=43()1xy.【点评】此题考查的是非负数的性质.类型五、实数运算中的规律探索6细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题21223,14,SS S1S2S3S4S5O A1A2A3A4A5A611111（1）请用含有 n（n 是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出 OA10的 长；（3）求出 S12+ S22+ S32+ S102的值.【答案与解析】（1）由题意可知，图形满足勾股定理， 2,nn（2）因为 OA1= ，OA 2= ，OA 3= ，所以 OA10= 0（3）S 12+ S22+ S32+ S102= 2)10()()()
