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1、風險管理學報 第五卷 第二期 2003 年 7 月 Journal of Risk Management Vol.5 No.2 July 2003 pp.195- 214 風險值的風險之探討 以台灣加權股價指數和新台幣對美元匯率為例* Estimation of the Risk in Value at RiskThe Cases of Taiwan Weighted Stock Index and TWD/USD Exchange Rate 張揖平 *(Yi-Ping Chang) 洪明欽*(Ming-Chin Hung) 吳一芳 *(Yi-Fang Wu) 摘 要 自巴賽爾銀行監理委員會提
2、議以風險值來決定銀行支撐其交易部位的適足資 本，風險值能否準確的計算成為銀行能否正確評估自有資本而避免破產的關鍵。然 而風險值的估計難免存在誤差，為描述此誤差，Jorion (1996) 指出一般文獻所探討的 風險值未曾考慮到樣本的變異，因此計算出的風險值應該是一個信賴區間的型式， 這即是風險值的風險 。本文除整理文獻上已有的方法外，亦提出新的衡量風險值 的風險之方法，並由台灣加權股價指數報酬率及新台幣對美元匯率報酬率之實證資 料，比較各方法的優劣。 關鍵詞：風險值、風險值的風險、信賴區間。 Abstract Value at Risk (VaR) has become the standar
3、d tool used by many financial institutions to measure market risk. However, a VaR estimator may be affected by sample variation or estimation risk. Accordingly, the concept of risk in Value at Risk introduced by Jorion (1996) should be concerned. That is, we should cautiously look at the VaR and bet
4、ter use it with its confidence interval. After surveying several existing procedures, we propose a new way to measure the risk in Value at Risk in this paper. We compare their performances through empirical works and find that the new method provides better accuracy and robustness in the estimation
5、of the risk in VaR. Keywords: Value at Risk, Risk in Value at Risk, Confidence Interval. * 作者感謝國科會計畫 NSC 91- 2118- M- 031- 002 的補助研究和兩位匿名評審的意見。 * 東吳大學商用數學系教授, Professor, Department of Business Mathematics, Soochow University, Taipei, Taiwan. * 東吳大學商用數學系副教授, Associate Professor, Department of Busines
6、s Mathematics, Soochow University, Taipei, Taiwan. * 東吳大學商用數學系碩士, Master, Department of Business Mathematics, Soochow University, Taipei, Taiwan. 風險值的風險之探討以台灣加權股價指數和新台幣對美元匯率為例 196 1. 前言 近年來，為因應經濟環境日益國際化與自由化的變遷，大多數的金融 機構改採行多樣化的投資，如：票券、證券、外匯及各種衍生性商品等交 易，以擴大獲利來源。由於許多新興的金融工具的產生，緣由於分散風險 的目的，卻被不當的操作以增加獲利，
7、但相對的，也必須承擔其背後隱藏 過高槓桿比例的風險，如 1995 年初，有 233 年歷史的英國霸菱 (Barings) 銀行，因交易員不當的操作日經 225 指數，而將銀行的百年基業付之一 炬；此外，美國加州橘郡 (Orange Country) 和寶鹼公司 (P 簡稱 VaR) 內部模型來提撥適當的自有資本，藉以因應其所面對的 風險，而內容規定銀行須符合最低資本適足率以涵蓋信用風險 (credit risk) 以及市場風險 (market risk)，風險值的觀念便廣為市場上所運用。 一般文獻的研究，多數均在不同之資產報酬率模型假設下，探討風險 值之點估計 (point estimatio
8、n)，有關風險值之介紹及相關理論可參考 J.P. Morgan (1996)、Duffie 與 Pan (1997)、Jorion (2000) 和 Penza 與 Bansal (2001) 等。風險值一般指在未來的特定時間長度和信賴水準 )%1 (100 (或稱風險水準 ) 下，所計算出資產報酬率的市場風險，或是此一資產 報酬率可能發生的最大損失。Hull 與 White (1998) 提出風險值的定義 為： 我們有 )%1 (100 的信心在未來 m 天內的損失不會超過 Y 元 ，其中 Y 即為風險值。令 t X 表示資產在時間 t 時之價值， t R 表 示資產在時間 t 時之報酬率，
9、則在連續複利的假設下 ).ln()ln(ln 1 1 = = tt t t t XX X X R 本文以下為方便起見，假設在時間 t 時資產價值為 1 元，則未來一天的 風險值可由風險值定義和資產報酬率模型求得。在信賴水準 1 下，時 間 t 預測時間 1+t 時，以零 (with respect to 0) 為基準之風險值 t VaR 定義為 ,)( 1 = = aR aR aRI * i * i i 如果 如果 則)( aF為)(aF之 不 偏 (unbiased)估 計 值 。 令 * )( * )1(n RRL， 因 為 niRF i =)( * )( ，因此定義 * )(i R為ni
10、/ )5 . 0( 經驗分配位數(empirical quantile)， 則 * )( * ) 1( , , n RRL 之 的經驗分位數 )( HS q可以定義為 * )1( * )( )( )1 ( + += mm HS wRRwq, 其中 5 . 0+=nm，表示高斯函數，5 . 0+=mnw。因此 t VaR 之估計 值 )( HS t aRV為 )()( HSHS t qaRV =, 由於)(aF可由經驗分配函數)( aF估計，故此方法又稱為經驗分配法。 Jorion (1996)曾利用歷史模擬法計算風險值。 此外，Jorion (1996)由下列漸近 (asymptotic) 結
11、果得到 t VaR 的 )%100(1 * 近似信賴區間。依據 Sen與 Singer (1993) 之定理 4.3.2，令f 為 * i R之機率密度函數，若f在 q 連續且0)( qf，則當n時， , )( )1 ( , 0) ( 2 )( t D t HS t VaRf NVaRaRVn 其中 D 表示分配收斂 (converge in distribution)。因此當 n 時， t PHS t VaRaRV )( , 其中 P 表示機率收斂 (converge in probability)。依據 Slutsky 定理， 可以得到當 n 時， ) 1 , 0( ) ()1 ( ) (
12、 )(2 )( N aRVf VaRaRVn D HS t t HS t . 風險管理學報 第五卷 第二期 2003 年 7 月 201 因此，若f為已知，則 t VaR之)%100(1 * 近似信賴區間 )( 1 HS I為 + = 2)(2 )( 2)(2 )()( 1 ) ( )1 ( , ) ( )1 ( z aRVnf aRVz aRVnf aRVI HS t HS t HS t HS t HS . Jorion (1996)亦指出若風險值信賴水準1變大時， )( 1 HS I之區間估計長度 會較大，此外，Kupiec (1995)亦指出由於 )( HS t aRV之變異數常較大，因
13、此 )( 1 HS I 較缺乏效率，但好處是較容易計算。 一般而言，報酬率 t R 常具有高峰、厚尾或偏斜的現象，且 t R 之分配 亦不容易知道，若f為未知，本文提出以核估計法 (kernel method)之無母 數方法估計f。定義)(af之核估計量 (kernel estimator) )( af為 , 1 )( 1 * = = n i i h Ra k nh af 其中)(uk稱為核函數 (kernel function)，一般要求)(uk為對稱0之函數，而 常用之核函數包括 Biweight 核函數和 Gaussian核函數等，可參考表 1，h 稱為帶寬 (bandwidth)。在
14、Gaussian核函數下，依據 Simonoff (1996)之表 3.2，建議h取為 0 h ，亦即 , n h 51 0 3 4 = (2) 而在其他核函數下，需要對(2)式 0 h 乘上一個乘數(multiplier)，可參考表 1 的乘數 ，例如在 Biweight 核函數下， 0 h 為 , 3 4 623. 2 51 0 = n h 其中為未知，一般以過去n期之資產報酬率的樣本標準差估計，如(1)式。 表 1 各種不同核估計法，所對應之)(uk及其 0 h 對應之乘數表 kernel )(uk 乘數 Biweight ) 1|(|)1 ( 16 15 22 uIu 2.623 Ga
15、ussian 2/2/1 2 )2( u e 1 風險值的風險之探討以台灣加權股價指數和新台幣對美元匯率為例 202 此外，在一些條件下 (Silverman, 1978)，可以證明當n時， 0| )()( |sup P a afaf, 因此，若f為連續函數，當n時， ),1 , 0( ) ( / )1 ( ) ( )( )( N aRVf VaRaRVn D HS t t HS t 因此，若f為未知，本文提出 t VaR 之)%1 (100 * 近似信賴區間 )( 2 HS I為 . ) ( )1 ( , ) ( )1 ( 2)(2 )( 2)(2 )()( 2 + = z aRV f n aRVz aRV f n aRVI HS t HS t HS t HS t HS (3) 為方便起見，若使用 Biweight 與 Gaussian兩種核函數估計量來估計f，由 此得到 t VaR 之)%1 (100 * 近似信賴區間，分別以 )( 2 HS Biwe I 與 )( 2 HS Gauss I 表示。 2.3 參數型固定波動率模型法之風險值計算及其區間估計 對任何t，假設資產在時間t時之報酬率 t R 的模型為 tt aR +=, 其中 t a 為具有累積分配函數)(aF之 i.
