椭圆的定义及其标准方程

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1、椭圆的定义及其标准方程胶南职业中专 丁学福一、教材分析 (一)教材所处的地位、内容和作用 本节内容是椭圆的定义及其标准方程，是在学习了曲线与方程、求曲线的方程以及曲线的交点之后展开的，它是继续学习椭圆的几何性质和双曲线、抛物线的定义和几何性质的基础。因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。 （二）教学目标 1、知识目标：A 识记： 记住椭圆的定义； 区分椭圆的两种类型的标准方程及其对应的图形；能根据 a、b、c 的值写出椭圆的标准方程。 B 理解：理解椭圆的焦点、焦距的意义；会推导椭圆的标准方程；能掌握 a、b、c 之间的

2、关系，会由其中的两个求出第三个。C 掌握：学会运用定义法、待定系数法和数形结合等方法解题 2、能力目标： 培养学生建立适当坐标系的解析法解题能力。 巩固与发展学生的定义法解题、待定系数法解题和数形结合的解题能力。 3、情感目标：培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。 （三）教学重点、难点 1、教学重点： 椭圆的定义； 椭圆标准方程的形式与图形、焦点坐标的对应关系；根据条件求椭圆的标准方程。 2、教学难点： 椭圆标准方程的推导； 应用标准方程的形式与图形、焦点坐标对应关系解题。 二、学生情况分析 在学习椭圆之前，学生对曲线与方程有了一定的了解；基本能运用求曲线方程的一般方法求

3、曲线的方程。椭圆是常见的图形，学生对椭圆已有一定的感性认识，例如：行星的运动轨迹等等。 三、教学过程 （一）复习 同学们，前一段时间我们重点学习了求曲线的轨迹方程的两种方法，提问：方法一是基本法，其求动点轨迹的一般步骤是什么？；方法二是待定系数法，其解题步骤又是什么？（说明：通过回忆性质的提问，明示这节课所要学的内容与原来所学知识之间的内在联系，并为后面椭圆的标准方程的推导及用待定系数法求椭圆方程作好准备。 ） （二）引入 我们曾经运用方法一成功地推导出了圆的标准方程，今天我们又要运用这种方法继续研究一种特殊曲线的方程。现在先看一个实例问题（演示行星运行的轨道） ，请同学们注意观察地球绕太阳运

4、转的轨迹形状象什么？ （进一步使学生明确学习椭圆的重要性和必要性，借助地理模型的直观性，使学生印象加深，以便更好地掌握椭圆的形状。 ） （三）新授： 1、引导学生发现椭圆的定义： 根据地球绕太阳运转的事例思考：提问：点满足什么条件运动时形成的轨迹是椭圆呢？让学生进行分组讨论。(平面内两个定点分别是 F1 和 F2，且该两点之间的距离是 2c，点 M是平面内任意一点，M 到两点 F1 和 F2 的距离之和是 2a，显然 2a2c) 提问：满足上述条件的点 M 是否只有一个点呢？根据学生的回答画点，然后连线，看来并不是只有一个点满足条件，而是有无数个点都满足条件。如果继续旋转就可以得到满足条件的所

5、有的点。让我们来看一看最终可以得到什么图形?(是一个椭圆) 提问：有什么办法可以更好的画椭圆的图象呢？让学生在讨论后尝试动笔画一个椭圆。教师在黑板上根据定义画一个椭圆。 2、师生共同归纳概括椭圆的定义： 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用 2c 表示） 。 3、椭圆的定义的再认识： 提问：在椭圆的定义中为什么要满足 2a2c？去掉这个条件可不可以呢？先让学生思考，讨论。 正面直接解决这个问题，显然比较难，这时我们常采用“正难则反”的思考策略。而其反面是：（1）当 2a=2c 时，到两定点

6、距离等于定长的点的轨迹是什么？（2）当 2a2c 时，到两定点距离等于定长的点的轨迹是一个椭圆：（2）当 2a=2c 时，到两定点距离等于定长的点的轨迹是一条线段；（3）当 2a2c 时，到两定点距离等于定长的点的轨迹不存在。这恰是同学们今后运用定义解题时应当注意的。2、不论M 如何移动，三角形 MF1F2 的周长恒为定值，等于 2a+2c. 4、学生推导椭圆的标准方程的过程： 提问：如何求轨迹的方程？（引导学生推导椭圆的标准方程）推导中注意： （1） 、推导方程的方法- 求曲线方程的一般方法（用对称法建立坐标系） （2） 、推导方程的难点- 方程的化简 （要抓住“怎样消去方程中的根式”这一关

7、键问题，演算虽较繁，也能迎刃而解） （3）推导方程的做法-以学生分组探索为主、老师点拨为辅完成 （4）如果焦点在 轴上，则焦点为 F1（0， ） 、F2 （0,c） ，这时只要将方程中 ， 互换就可得到它的方程 板书：椭圆的标准方程的推导过程。 椭圆的标准方程： 5、椭圆的标准方程的再认识： （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是 1。 （2）椭圆的标准方程中三个参数 a、b、c 满足 a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数 a、b、c 的值。 （见练习 1） （4）椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小来确定。 （5）椭圆的标准方程是由三个参数 a、b

8、、c 及焦点位置唯一确定，即只要知道三个参数a、b、c 的值，就可以写出椭圆的标准方程。因此我们需要求椭圆的标准方程时，应该运用待定系数法（其步骤是：先设方程、再求参数、最后写出方程） ，其关键是求 a、b 的值。6、例题精析 （让学生自己动手） 例 1、 （1）求出满足 a=4,b=1，焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程。 （2）求出满足 a=4,c= ，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程。 例 2、平面内两个定点的距离是 8，写出到这两个定点的距离的和是 10 的点的轨迹方程 例 3、已知 DABC 的周长为 36，求 DABC 的顶点 C 的轨迹方程。 7、例题点评： 例 1 补充说明： 注

9、意椭圆的标准方程的形式书写，大家应熟练掌握两种形式的标准方程。 例 2 补充说明： 1、我们是把焦点建立在 x 轴上从而解决了问题，问可不可以把焦点建立在 y 轴上呢？ 2、把焦点建立在 x 轴上或 y 轴上，这是问题的两种不同的解法，而不是两种情况，我们在解题时只需选择其中之一即可。 3、理解椭圆的定义，熟练地掌握椭圆方程的推导方法（尤其是建立坐标系的方法）是解决本题的关键。 例 3 补充说明： 1、充分利用椭圆的定义使本题的解法巧妙，计算简单。否则若设动点坐标再求轨迹方程时，则方法会比较复杂。 2、注意三个参数 a、b、c 应满足关系式：a2=b2+c2 3、注意曲线方程的完备性。 （四）

10、课堂练习 1、形成性练习 （1） 指出下列椭圆中 a、b、c 的值，并说出焦点所在的坐标轴 （2） 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则 的取值范围是2、巩固性练习 （1） 已知椭圆 上一点 P 到一个焦点的距离为 3，则 P 到另一个焦点的距离是（ ） A 2 B 3 C 5 D 7 （2） 椭圆 的焦距为 2，则 m 的值为（ ） A 5 B 3 C 3 或 5 D 6 （3）已知 DABC 的周长为 36，AB 边长为 10，求 DABC 顶点 C 的轨迹方程 3、发展性练习 已知 P 是椭圆 上一点，其中 F1，F2 为其焦点，且 DF1PF2=600，求三角形 F1PF2 的面积。（五）小结：（先由学生归纳，教师根据情况补充。 ） 本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: 椭圆的定义中, 椭圆的标准方程中,焦点的位置看 , 的分母大小来确定 、 、 的几何意义 （六） 、作业布置 P80：3、4（1） （3）