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1、高考数学试题的解题的思维策略1.解题思维策略的概念及意义所谓数学解题的思维策略，就是在发现和运数学知识、方法、思想、技巧，解决数学问题的过程中所采取的总体思路，是解题中带有原则性的思想方法，是为了实现解题目标而采取的方针运用它，能提高解题的效率、增强解题的艺术、培养创新能力2.研究解题思维策略的必要性“学习数学就意味着解题” 而学生在解题中缺少的又往往是解题的思维策略，我们经常可以看到这样的现象，有的学生虽然已经具备了足够的数学知识、掌握了相应的数学方法，但他们仍然不知如何运用，仍然不能有效地解决问题，造成这样的情况的原因实际上是学生对解题缺少思维策略，以至不假思索地采取某种方法或解题途径、或
2、总是在各种可能的解题途径与方法之间徘徊不定，而对自己在干什么，为什么这样干缺乏明确的认识；或在沿着某一解题途径走下去时，往往不能对自己目前的处境作出清醒的评估，并由此作出调整（是继续走下去，还是另寻他途） ，而却却是“一条道上走到黑” ， “不撞南墙不回头” ，直至最终陷入僵局因此，研究如何增强数学的解题策略意识就显得很有必要教师要在解题教学中重视解题的思维策略的教学，用解题的思维策略去提醒学生“不要只埋头走路，要抬头看路” ， “还要常回头看看” 看到：数学解题思维策略是以全局性的指导意义而有别于具体的解题的思想、方法和技巧；它是解题思路、思想转化为解题操作的桥梁，是从主体面对问题的把握和处
3、理过程中通过观察弄清问题本质，抓住问题特征，进行广泛联想，凭借已有知识经验，作出直观判断，选择总体思路或入手的方向原则，它层次高，适用广，它从一个新的层面上体现了选择的智慧和组合的艺术它远比一般的思想、方法技巧的传授教学要难的多，学生要理解、掌握和运用它更需要有一个相当长的过程，但一旦掌握就是质的飞跃，也将受益终身，因此，需要教师作出不懈的努力同时，我们又应看到：数学界与数学教育界正在探索创立中国数学教育学派之路，拥有十几亿人口，有几千年教育史的中国，理应有能力创立具有中国特色的数学教育的思想体系这一艰巨任务是一大系统工程，是需要教材编写、教学研究、课堂教学、考试评价，师资培训等方面的专家、学
4、者和教师的研究协作的事业，生动的实践需要有理论的指导，宏伟的理论需要有实践的支撑新的教学思想应由实践中来，上升为理论，再反回去指导实践数学解题的思维策略的研究与教学，正是体现了这一充满活力的认识过程，它是建立具有中国特色的数学教育思想体系的重要组成部分3.解题思维策略实施的途径实施解题的思维策略就是明确解决问题的总体方向，它主要体现在思维起点和方法的选择两个方面，能否实施合适的思维策略与观察问题的角度及联想范围的广狭、深浅、经验等方面有关下面结合实际，具体谈谈解题策略的操作问题3.1 存细审题，快速分辩，择优确定解题方法是实施解题策略的前提解题的第一步工作是审题，弄清解题目标，并根据题情实施相
5、应的解题策略，许多时候常因题情不清、方法不当而导致解题失败因此，仔细审题，快速分辩，择优确定解题方法是实施解题策略的前提xyPOQ例已知椭圆 ，直线 ： 1624yxl182yx是 上一点，射线 OP 交椭圆于，又点在 OP 上且满足l当在 上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么2ORPQ l曲线(1995 年全国高考压轴题)解题的策略分析：本题是求动点 的轨迹方程，即找到关于 的等),(yxyx,式，可以用一般法来解，即设点 ， ， ，再布立方程),Q),(Rx组来解但必须看到这里有 ， ， 六个末知量，这样，所立的方yx,Q,Ryx程组中不下五个方程，因此，即使可解，也该暂缓，看有否别
6、的方法？从条件知，这是一个与长度与角度有关的问题，故可用参数法求解比2ORPQ较简单但不要就此停步，再看是否还有别的方法？的确，用极坐标法来解将会显得更简捷在分辩了方法间的优劣之后，策略层面的问题已经解决，但仍不要大意，要继续细心分辩，因为在选择极坐标法来解后，还有个极点选在原点还是在椭圆左焦点的问题，它关系到极坐标方程是用统一式还是用互化式的问题，这是一个学生用极坐标法来解时常常难以选择这里考虑到都是从原点出发的线段长度，故选用以坐标原点为极点来解，即ORPQ,不用统一式而用互化式这样，分辩清了，方法、运算和要运用的知识也就自然择优而定了解：以原点为极点，OX 轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的
7、极坐标方程为 ，222sincosab22483incos直线极坐标方程为 43i因点，在同一射线上，故可设它们的坐标分别为，则由题意得 ，12(,),(,)21228sincos243sincos由条件 ，即 ，将上两式代入得：2ORPQ 21(0) sics22483incos即 ， 226n4o(0)3两边同乘以 ，即化为直角坐标方程 ， 2346xyxxO整理得 ，由 知 不同时为22(1)()153xy0,xy所以，点的轨迹是以（，）为中心，长，短轴长分别为 ，且长轴与 轴平行的椭圆，并去掉原点210,3x3.2 抓题眼，看特征，捕捉有用的特征信息是实行快速解题策略的突破口：在许多数
8、学问题中,无论是题设、结论，还是整体结构、数值、图象都表现出或隐含着某种“特征”.解题时,若能善于观察和捕捉这些特征,常会使我们在一开始解题时就找准思维起点，再加上科学思维和合理运算、推理.常能缩短解题长度,使问题的解决得干净利落、简洁明了. 例 2（2000 年春季高考试题）已知函数 y 的图象如图， 1 2)(xf dcxba23则（）（） （-，0） （B） （0，1） （C） （1，2） （D）bb（2，+）b解题的策略分析：由图象过特殊点的特征，可得以下式子： =0， 即 =0；)(fd =0， 即 + + + =0；1abc =0， 即 8 +4 +2 + =0；)2(f d =x
9、cx23 );2(1x当 （-，0）（1，2）时， 0，有 0，即 - + -f)1(fab0c当 （0，1）（2，+）时， 0，有 0 ，即 0x )(xf)3(f巧妙合理地运用以上式子，即可得到多种简捷解法如：解法由、，解得 ，又由知 0， 故选baab（） 解法由，解得 ， 故选（） b解法由，比较同次项系数，得 ，又知0， 故选（） ab解法由，取特殊函数 ，得 ，故选)(xf1)(2;xb（） 事实上，很多抽象的数量关系，一旦转化为具体的图象问题，则思路与方法便从图形中直观地显示出来，反之抓住给出的图象的特殊点，特殊位置，常会使我们在一开始解题时就找准思维起点，优化解题，有助于快速解
10、题例 3在ABC 中， ，求证：这个三角形是直角三角形CsinconBAsi解题的策略分析：观察条件中等式的特征，可发现和的地位相当，故不可能是直角，因而只要通过在已知等式消去、，来证明是直角即可 （这是策略层面的，以下是具体操作） ，CsinBAcosin2cos2iBA2cosinsincoC即 ，因 ，所以 2siinCi又因 ，所以 ，得 ，即 si 2si 2C42所以ABC 是直角三角形多么干净利落，关键是在解题的策略分析中抓住了条件中、的特征，找到了突破口3.3 以退为进，进退自如，是辩证思维在解题策略中的体现 “以退求进”是人们常用的辩证思维方法与思维策略，数学解题中的“退”就
11、是把一个较为复杂的问题“退”到最简单、最原始的问题，把这个最简单最原始的问题想通了、想透了，不仅可以进，而且可以来一个飞跃华罗庚曾说过：“先足够地退到我们容易看清的地方，认识透了钻深了，然后再上去” 例求证： mnC01nkmnCn!)2(思维的策略分析：这是一个组合数的证明题，不少同学对这类问题常望而生畏，不知如何入手运用“以退求进” 的思维策略就是退一步想，先把退回到一个组合问题中，即从 个不同元素中取出 个不同元素的kmnC k取法种数 就是当 ， 时的和，于是我们就将kmnk0 n退回到它的原始的状态，即从 个不同白球与 个不同黑球中任取mnnkC0出 个球的不同取的种数则等式右边可变
12、为 ，即从 个不同元素中取出nC2个不同元素的取法种数它们之间的等量关系是显然的3.4 目标导航，灵活转化，是数学家处理问题时惯用的思维策略客观事物在不断地运动变化，事物之间在互相转化反映在数学上的转化策略就是从已知条件出发，联想已经学过的知识、方法，盯着目标设法实施有效的转化，在条件和结论之间架起一座合理化归的桥梁事实上，解题的过程就是从题目的条件不断向解题目标变形、靠近的过程因此，用解题目标给自己的解题思路导航是最为自然不过的，对灵活转化也是最为有效的但是，缺乏经验的解题者往往会失去目标或者不善于用目标给自己的思路导航因此，利用目标导航，进行灵活转化是让解题思路来得自然的重要途径在解题的过
13、程中“聪明的人从结果开始” （波利亚语） “数学家们也往往不是对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直到把它转化成能够得到解决的问题” （ 匈牙利数学家路莎彼得语） 事实上，并非所有的问题只要一审题，就来了正确的思路，许多问题的思路都是对问题的条件和结论的不断转化中化出来的因此，要学习掌握这种把新问题归结为已经解决的问题是数学家们处理问题时惯用的思维策略，做一个“聪明的人” 例设 ， ， ，且 求证： xyxy2xy3 y34思维的策略分析与解答：在条件没有直接的目标式：“ ”，所以要用xy转化策略 ，由（ ） （ ）（ ） （ ） ，xyxy22得 将 配方产生目标22 2xy“ ”xy不
14、妨设 ，有 （ 即 tt2)yx2txy2txy再将 向目标“ ”转化，自然想到 （ xyxy 2)(4） ，于是，有 ，即 ，解得 2t42t2ttt3如何证明 ，则又是一个解题目标事实上，由 ， 知， ，即 ，而 ，xy2txy2ttt例 6求方程 的整数解13x思维的策略分析与解答：因为是求整数解（解题目标） ，所以 、 应为整xy数，由方程可知 也应是整数x ， 13212xxy从而，分母 只能是，即 ，代入原1xx方程可得其整数解是 xxx yyy这里，解题思路来得自然流畅，正是由于目标导航运用3.5 “常”“变”正确定位，是实施灵活解题策略的高明之举一个问题常含有好几个量，这些量是“常量” 、 “参量”或“变量” ，它们的定位往往不是绝对的。定位不同，解题途径与所采用的思想方法也就不同，处理好量的定位问题，不但为函数方程思想的应用开辟新的途径，给解题带来极大的简便，而且能培养学生的创新思维。例 7实数 、 、 满足条件 （ ） （ ）abc3a ，b
