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1、一、数与式的运算必会的乘法公式【公式 1】 cabcbacb2)(22证明： 2)()()(aacabcc222等式成立【例 1】计算： 22)31(x说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列【公式 2】 (立方和公式)322)(baba证明: 33223( babb 说明:请同学用文字语言表述公式 2.【例 2】计算： （2a+b） （4a 2-2ab+b2）=8 a 3+b3【公式 3】 (立方差公式)32)(bab1计算（1） （3x+2y） （9x 2-6xy+4y2）=（2） （2x-3 ） （4x 2+6xy+9）=（3） =)91641(3m（4） （a+b） （a
2、 2-ab+b2） （ a-b） （a 2+ab+b2）=2利用立方和、立方差公式进行因式分解 （1）27m 3-n3=（2）27m 3- n3=8（3）x 3-125=（4） m6-n6=【公式 4】 3322()abab【公式 5】 3【例 3】计算：（1） （2）)416)(2m )410251)( 2nmnm（3） （4）162aa2 yxyx说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构（2）为了更好地使用乘法公式，记住 1、2、3、4、20 的平方数和1、2、3、4、10 的立方数，是非常有好处的【例 4】已知 ，求 的值0x3x说明：本题若先
3、从方程 中解出 的值后，再代入代数式求值，则计算较2烦琐本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意整体代换法本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举【例 5】已知 ，求 的值0cba11()()()abccab说明：注意字母的整体代换技巧的应用【例 6】设 ，求 的值23,xy3xy说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量二、因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的 变形在分式运算、解方程及各种恒等变形
4、中起着重要的作用是一种重要的基本技能因式分解的方法较多，除了初中 课本涉及到的提取公因式法和公式法 (平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法( 立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等（一）、公式法【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) (2) 38x 30.1257b分析： (1)中， ，(2) 中 230.15,()说明：(1) 在运用立方和(差) 公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则 ；(2) 在运用立方和(差) 公式分解因式时，338(2)ab()nab一定要看准因式中各项的符号【例 2】分解因式：(1) (2) 3481b76ab（二)
5、、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如 既没有公式可用，也没有公因式可以提man取因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组1分组后能提取公因式【例 3】把 分解因式 2105axybx2分组后能直接运用公式【例 4】把 分解因式 2【例 5】把 分解因式 28xyz（三）拆、添项法【例 6】分解因式 324一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3)
6、如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法( 如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 327a38m3278x2把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 34xy3nxy 232()yy3把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 22672245mn4把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 54310axax2126nnab 2()9x(4) (5) 2286y7()5()5把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 23ax32841xx256xy(4) (5) (6) 41yy434a
7、bab631(7) 2()()xx6已知 ，求代数式 的值,23ab227证明：当 为大于 2 的整数时， 能被 120 整除n534n练 习8已知 ，求证： 0abc3230acba三、一元二次方程根与系数的关系【例 1】已知实数 、 满足 ，试求 、 的值xy210xyxy四、一元高次方程的解法含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数大于 2 的整式方程叫做一元高次方程。一元高次方程的解法通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的，转换为一元一次方程或一元二次方程，从而求出一元高次方程的解。【例 1】 解方程 （1）x 3+3x2-4x=0 （2）x 4-13x2+36=0解方程（1）x
8、3+5x2-6x=0（2） （x 2-3x） 2-2（x 2-3x）-8=0五、三元一次方程组的解法举例1）三元一次方程组的概念：三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是 1，并且一共有三个方程。注：（1）“未知项” 与“ 未知数 ”不同。（2）每个方程不一定都含有三个未知数。它的一般形式是 未知项的系数不全为零，其中每一个方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数。2）解三元一次方程组的基本思想方法是：【例 1】 解方程组练 习 【例 2】 解方程组1. 解下列三元一次方程组1） 2） 3） 2已知 ，且 x+y+z=24，求 x、y、z 的值。3代数
9、式 ax2+bx+c 在 x 为 1，-1，2 时，它的值分别是-6，-8，-11，求：a，b，c 的值； 当 x=-4 时，求代数的值。*4已知 2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且 xyz0求： 的值。*5已知 且 xyz0，求 x：y：z *6用 100 元恰好买了三种笔共 100 支，其中金笔每支 10 元，铂金笔每支 3 元，圆珠笔每支 05 元，试问三种笔各买了多少支？六、简单的二元二次方程组的解法举例（1）二元二次方程及二元二次方程组观察方程 ，此方程的特点：含有两个未知数；是整式方程；含有未知数的项的最高次数是 2.练 习 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高
10、次数是 2 的整式方程叫做二元二次方程.二元二次方程的一般形式是： （a、b、c 不同时为零）.其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项.定义：二元二次方程组即有两个未知数且未知数的最高次数为二次的方程组由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如： 都是二元二次方程组.（2）二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。由一个二
11、元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.【例 1】 解方程组 例 2解方程组 )2(107xy*1. 解方程组 5043322yx*2. 解方程组 43122yx3
12、. 解方程组 25xy七、平面上任意两点间距离1、数轴上任意两点间距离： |ABx例 1. 已知数轴上三点 、 、 的坐标分别为 4、-2、-6.AC求 、 、|B|解： 6|4)2(| |)2(6| 10|)6(4| C2、平面上任意两点间距离：在直角坐标系内，已知两点 、 ，,(1yxP,2yx则212121 )()(| yxP例 2. 在直角坐标系内，已知两点 、 ，求这两点间距离 .4,6A),(B|AB解： 172)(2)6(| 2AB1、已知数轴上两点 、 坐标分别为 、 ，求 、 两点间距离 ：1x2 |1） 、 2） 、8x2 532x3） 、 *4） 、41ba1b2、求连结下列两点的线段的长度：1） 、 2） 、 3） 、 4） 、)0,6(A),(B)0,6(A)2,(B),(A)1,5(B),3(A)1,2(B5） 、 6） 、)4.6,8A)2.7,8(B)2,3(A)23,(B
