《高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性 一 平行线等分线段定理创新应用教学案 新人教A版选修4-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性 一 平行线等分线段定理创新应用教学案 新人教A版选修4-1（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一 行线等分线段定理对应学生用书P11平行线等分线段定理(1)如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(2)用符号语言表述：已知abc，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A、B、C(如图)，如果ABBC，那么ABBC.说明(1)定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的一组特殊的平行线；它是由三条或三条以上的平行线组成的(2)“相等线段”是指在“同一条直线”上截得的线段相等2平行线等分线段定理的推论文字语言图形语言符号语言推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边在ABC中，若ABBB，BC平行于BC交AC于点C，则ACCC推论2经过
2、梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰在梯形ABCD中，ADBC，若AEEB，EF平行于BC交DC于F点，则DFFC对应学生用书P1平行线等分线段定理例1已知如图，直线l1l2l3l4，l，l分别交l1，l2，l3，l4于A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，ABBCCD.求证：A1B1B1C1C1D1.思路点拨直接利用平行线等分线段定理即可证明直线l1l2l3，且ABBC，A1B1B1C1.直线l2l3l4且BCCD，B1C1C1D1，A1B1B1C1C1D1.平行线等分线段定理的应用非常广泛，在运用的过程中要注意其所截线段的确定与对应，分析存在相等关系的线段，并会运用相等线段来进行
3、相关的计算与证明1已知：如图，l1l2l3，那么下列结论中错误的是()A由ABBC可得FGGHB由ABBC可得OBOGC由CE2CD可得CA2BCD由GHFH可得CDDE解析：OB、OG不是一条直线被平行线组截得的线段答案：B2如图，已知线段AB，求作线段AB的五等分点作法：如图，(1)作射线AC；(2)在射线AC上依任意长顺次截取ADDEEFFGGH；(3)连接HB；(4)过点G，F，E，D分别作HB的平行线GA1，FA2，EA3，DA4，分别交AB于点A1，A2，A3，A4.则A1，A2，A3，A4就是所求的五等分点证明：过点A作MNHB，则MNDA4EA3FA2GA1HB.又ADDEEF
4、FGGH，AA4A4A3A3A2A2A1A1B(平行线等分线段定理)平行线等分线段定理推论1的运用例2如图，在ABC中，AD，BF为中线，AD，BF交于G，CEFB交AD的延长线于E.求证：AG2DE.思路点拨 证明在AEC中，AFFC，GFEC，AGGE.CEFB，GBDECD，BGDE.又BDDC，BDGCDE.故DGDE，即GE2DE，因此AG2DE.此类问题往往涉及平行线等分线段定理的推论1的运用，寻找便于证明三角形中线段相等或平行的条件，再结合三角形全等或相似的知识，达到求解的结果3.如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE平行于AB交BC于E，AD6，求BE的长解：因为四
5、边形ABCD是平行四边形，所以OAOC，BCAD.又因为ABDC，OEAB，所以DCOEAB.又因为AD6，所以BEECBCAD3.4已知：AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.求证：AFAC.证明：如图，过D作DGBF交AC于G.在BCF中，D是BC的中点，DGBF，G为CF的中点即CGGF.在ADG中，E是AD的中点，EFDG，F是AG的中点即AFFG.AFAC.平行线等分线段定理推论2的运用例3已知，如图，梯形ABCD中，ADBC，ABC90，M是CD的中点，求证：AMBM.思路点拨解答本题应先通过作辅助线构造推论2的应用条件证明过点M作MEBC交AB于点E，A
6、DBC，ADEMBC.又M是CD的中点，E是AB的中点ABC90，ME垂直平分AB.AMBM.有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算5若将本例中“M是CD的中点”与“AMBM”互换，那么结论是否成立？若成立，请给予证明解：结论成立证明如下：过点M作MEAB于点E，ADBC，ABC90，ADAB，BCAB.MEAB，MEBCAD.AMBM，且MEAB，E为AB的中点，M为CD的中点6已知：如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A，B，C，D，O；求证：ADBC.证明：ABC
7、D的对角线AC，BD交于O点，OAOC，OBOD.AAa，OOa，CCa，AAOOCC.OAOC.同理：ODOB.ADBC.对应学生用书P3一、选择题1梯形ABCD中，ABCD，E，F分别是AD，BC的中点，且EF2 cm，则ABCD等于()A1 cmB2 cmC3 cm D4 cm解析：由梯形中位线定理知EF(ABCD)，ABCD4 cm.答案：D2如图，AD是ABC的高，E为AB的中点，EFBC于F，如果DCBD，那么FC是BF的()A.倍 B.倍C.倍 D.倍解析：EFBC，ADBC，EFAD.又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点，即BFFD.又DCBD，DCBF.FCFDDCBF
8、DCBF.答案：A3梯形的中位线长为15 cm，一条对角线把中位线分成32两段，那么梯形的两底长分别为()A12 cm18 cm B20 cm10 cmC14 cm16 cm D6 cm9 cm解析：如图，设MPPN23，则MP6 cm，PN9 cm.MN为梯形ABCD的中位线，在BAD中，MP为其中位线，AD2MP12 cm.同理可得BC2PN18 cm.答案：A4梯形的一腰长10 cm，该腰和底边所形成的角为30，中位线长为12 cm，则此梯形的面积为()A30 cm2 B40 cm2C50 cm2 D60 cm2解析：如图，过A作AEBC，在RtABE中，AEABsin 305 cm.又
9、已知梯形的中位线长为12 cm，ADBC21224(cm)梯形的面积S(ADBC)AE52460 (cm2)答案：D二、填空题5如图所示，已知abc，直线m、n分别与a、b、c交于点A、B、C和A、B、C，如果ABBC1，AB，则BC_.解析：直接利用平行线等分线段定理答案：6.如图，在ABC中，E是AB的中点，EFBD，EGAC交BD于G，CDAD，若EG2 cm，则AC_；若BD10 cm，则EF_.解析：由E是AB的中点，EFBD，得EGADFD2 cm，结合CDAD，可以得到F、D是AC的三等分点，则AC3EG6(cm)由EFBD，得EFBD5(cm)答案：6 cm5 cm7如图，梯形
10、ABCD中，ADBC，E为AB的中点，EFBC，G是BC边上任一点，如果SGEF2 cm2，那么梯形ABCD的面积是_cm2.解析：因为E为AB的中点，EFBC，所以EF为梯形ABCD的中位线，所以EF(ADBC)，且EGF的高是梯形ABCD高的一半，所以S梯形ABCD4SEGF428(cm2)答案：8三、解答题8已知ABC中，D是AB的中点，E是BC的三等分点(BECE)，AE、CD交于点F.求证：F是CD的中点证明：如图，过D作DGAE交BC于G，在ABE中，ADBD，DGAE，BGGE.E是BC的三等分点，BGGEEC.在CDG中，GECE，DGEF，DFCF.即F是CD的中点9如图，先
11、把矩形纸片ABCD对折后展开，并设折痕为MN；再把点B叠在折痕线上，得到RtAB1E.沿着EB1线折叠，得到EAF.求证：EAF是等边三角形证明：因为ADMNBC，AMBM，所以B1EB1F.又因为AB1EB90，所以AEAF，所以B1AEB1AF.根据折叠，得BAEB1AE，所以BAEB1AEB1AF30，所以EAF60，所以EAF是等边三角形10.已知：梯形ABCD中，ADBC，四边形ABDE是平行四边形，AD的延长线交EC于F.求证：EFFC.证明：法一：如图，连接BE交AF于O，四边形ABDE是平行四边形，BOOE.又AFBC，EFFC.法二：如图，延长ED交BC于点H，四边形ABDE是平行四边形，ABED，ABDH，ABED.又AFBC，四边形ABHD是平行四边形ABDH.EDDH.EFFC.法三：如图，延长EA交CB的延长线于M，四边形ABDE是平行四边形，BDEA，AEBD.又ADBC.四边形AMBD是平行四边形AMBD.AMAE.EFFC.
