第四节正态总体的置信区间

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1、第四节 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、 分布、F 分布以及标准正态分布 扮演了重2)1,0(N要角色.本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形:1. 单正态总体均值(方差已知 )的置信区间;2. 单正态总体均值(方差未知 )的置信区间;3. 单正态总体方差的置信区间;4. 双正态总体均值差(方差已知 )的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知但相等 )的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间. 注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为 的置1信区间, 其区

2、间长度在所有这类区间中是最短的.分布图示 引言 单正态总体均值（方差已知）的置信区间 例 1 例 2 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 例 3 例 4 单正态总体方差的置信区间 例 5 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 例 6 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间 例 7 例 8 双正态总体方差比的置信区间 例 9 内容小结 课堂练习 习题 6-4 内容要点一、单正态总体均值的置信区间(1)设总体 其中 已知, 而 为未知参数, 是取自总体 X 的一),(2NX2nX,21个样本. 对给定的置信水平 , 由上节例 1 已经得到 的置信区间1,2/2/ nuXnu二、单正态总体均值的

3、置信区间(2)设总体 其中 , 未知, 是取自总体 X 的一个样本.),(2NX2n,21此时可用 的无偏估计 代替 , 构造统计量2S,nXT/从第五章第三节的定理知 ).1(tS对给定的置信水平 , 由1,1)(/)(2/2/ ntXntP即 ,1)()1(2/2/ nStXnStXP因此, 均值 的 置信区间为1.)(,)(2/2/ tt三、单正态总体方差的置信区间上面给出了总体 的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正均 值 态总体的方差 进行区间估计.2设总体 其中 , 未知, 是取自总体 X 的一个样本. 求方差),(NX2nX,21的置信度为 的置信区间. 的无偏估

4、计为 , 从第五章第三节的定理知,21S,)(2n对给定的置信水平 , 由 ,1)()1( ,)()(2/12/ 2/2/1 nSnSP于是方差 的 置信区间为21 )(,)(2/12/而方差 的 置信区间 .)(,)(2/12/ nSnS四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。设 是总体 的容量为 的样本均值, 是总体 的容量为 的样本X),(21N1nY),(2N2n均值, 且两总体相互独立, 其中 已知.2因 与 分别是 与 的无偏估计, 从第五章第三节的定理知Y12),10

5、(/)()(21nYX对给定的置信水平 , 由 ,/)()(2/212 uP可导出 的置信度为 的置信区间为21 ., 212/212/ nuYXnuYX五、双正态总体均值差的置信区间(2)设 是总体 的容量为 的样本均值, 是总体 的容量为 的样本),(21N1 ),(2N2n均值, 且两总体相互独立, 其中 , 及 未知.从第五章第三节的定理知12).2(/)()(121ntnSYXTw其中 .21212nSw对给定的置信水平 , 根据 t 分布的对称性, 由,1)2(|1/ nTP可导出 的 置信区间为21 .1)2()(,)2()( 212/211/ nSntYXSntYX ww六、双

6、正态总体方差比的置信区间设 是总体 的容量为 的样本方差, 是总体 的容量为 的样本21S),(21N12S),(2N2方差, 且两总体相互独立, 其中 未知. 与 分别是 与 的无偏估计, 从211第五章第三节的定理知 ),(2121nFSF对给定的置信水平 , 由1 ,1),(),( 212/212/ nP , 2212/21212/ SnFSF可导出方差比 的 置信区间为21/ .),(,),( 212/2112/ n例题选讲单正态总体均值（方差已知）的置信区间例 1(E01) 某旅行社为调查当地一旅游者的平均消费额, 随机访问了 100 名旅游者, 得知平均消费额 元. 根据经验, 已

7、知旅游者消费服从正态分布, 且标准差 元, 求80x 12该地旅游者平均消费额 的置信度为 95%的置信区间.解 对于给定的置信度 ,9501,025./查标准正态分布表 将数据 ,6.025.u,1n,8x,1,96.u代入 计算得 的置信度为 95%的置信区间为 即在已知 情形nx2/ ),4267( 12下, 可以 95%的置信度认为每个旅游者的平均消费额在 77.6 元至 82.4 元之间. 例 2 设总体 其中 未知, 为其样本.),(2NX.42nX,1(1) 当 时, 试求置信度分别为 0.9 及 0.95 的 的置信区间的长度 .16n (2) n 多大方能使 的 90%置信区

8、间的长度不超过 1?(3) n 多大方能使 的 95%置信区间的长度不超过 1?解 (1) 记 的置信区间长度为 A, 则)/()/( 2/2/ nuXnuX ,2/nu于是当 时, %901,65.165.1当 时, 59/(2) 欲使 即 必须 于是, 当 时, ,1,12/nu )2(/un%901即 即 至少为 44 时, 的 90%置信区间的长度不超过 1.,)65.2(n,4n(3) 当 时，类似可得%9.62注: 由(1)知, 当样本容量一定时, 置信度越高, 则置信区间长度越长, 对未知参数的估计精度越低. 在置信区间的长度及估计精度不变的条件下, 要提高置信度, 就须加大样本

9、的容量以获得总体更多的信息.,n单正态总体均值（方差未知）的置信区间例 3(E02) 某旅行社随机访问了 25 名旅游者, 得知平均消费额 元, 子样标准差80x元, 已知旅游者消费额服从正态分布, 求旅游者平均消费额 的 95%置信区间.12s 解 对于给定的置信度 ),05.%(9,639.2)4()1(05.2/tnt将 代入计算得 的置信度为 95%的置信区间为,80x,s,25n,639.40.t即在 未知情况下, 估计每个旅游者的平均消费额在 75.05 元至 84.95 元之,5.7(),9.4间, 这个估计的可靠度是 95%.注: 与例 1 相比, 在标准差 未知时, 用样本的

10、标准差 给出的置信区间偏差不太大.S例 4 (E03) 有一大批袋装糖果 . 现从中随机地取 16 袋, 称得重量( 以克计)如下:506 508 499 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求总体均值 的置信水平为 0.95 的置信区间.解 ,95.01,025./,1n,135.2)(05.t由给出的数据算得 可得到均值 的一个置信水平为 0.95 的置,7.3x.26s信区间为 即),1/20.615.7.503().1507,4.(这就是说, 估计袋装糖果重量和均值在 500.4 克

11、与 507.1 克之间, 这个估计的右信程度为 95%. 若以此区间内任一值作为 的近似值, 其误差不大于(克)61./20.6135.2这个误差估计的可信程度为 95%.单正态总体方差的置信区间例 5 (E04) 为考察某大学成年男性的胆固醇水平, 现抽取了样本容量为 25 的一样本, 并测得样本均值 样本标准差 . 假定所论胆固醇水平 与 均,186x12s ),(2NX2未知. 试分别求出 以及 的 90%置信区间.解 的置信度为 的置信区间为./)1(2/nstx按题设数据 查表得 ,1.0,86x,12s,5n,7109.)5/.0t于是 即,6.4/79./)(2/ nst .9,

12、8.1(的置信度为 置信区间为1 .)(,)(12/12/ nSnS查表得 于是, 置信下限和置信上限分别为85.3,4.36)25(2/1.0/1.0 ,7.9./ ,0.1./42所求 的 90%置信区间为).8015,4.(双正态总体均值差（方差已知）的置信区间例 6 (E05) 2003 年在某地区分行业调查职工平均工资情况: 已知体育、卫生、社会福利事业职工工资 (单位: 元) 文教、艺术、广播事业职工工资 (单位: 元)X);218,(NY从总体 中调查 30 人, 平均工资 1272 元, 求这两大类行业职工平均工资之),27,(N差的 99%的置信区间.解 由于 故 查表得,9

13、.01,0. ,576.20.u又 ,251n,3,28,27,18x,y于是 的置信度为 99%的置信区间为 即两大类行业职工平均工 ,96.,.40资相差在 之间, 这个估计的置信度为 99%.96.40.1双正态总体均值差（方差未知）的置信区间例 7 (E06) A, B 两个地区种植同一型号的小麦. 现抽取了 19 块面积相同的麦田, 其中9 块属于地区 A, 另外 10 块属于地区 B, 测得它们的小麦产量(以 kg 计) 分别如下:地区 A: 100, 105, 110, 125, 110, 98, 105, 116, 112;地区 B: 101, 100, 105, 115, 1

14、11, 107, 106, 121, 102, 92.设地区 A 的小麦产量 地区 B 的小麦产量 , , , 均未知. ),(21NX )(2NY12试求这两个地区小麦的平均产量之差 的 90%置信区间.21解 由题意知所求置信区间的两个端点分别为 .1)()( 221/ nSntXw由 查表得 按已给数据计算得,1.0,9n,102,7396.1)(2/1.0t,9x,6y,8/5s,/02s,682)1()(12nsssw ,24.w于是置信下限为 ,59.31094.739.)069( 置信上限为 ,.26.8.1)( 故均值差 的 90%的置信区间为21).59,.3(例 8 为比较 I, II 两种型号步枪子弹的枪口速度 , 随机地取 I 型子弹 10 发, 得到枪口速度的平均值为 , 标准差 , 随机地取 II 型子弹 20 发, 得到枪口)/(501smx)/(10.sms速度的平均值为 标准差 假设两总体都可认为近似地服从正态.4962 .2分布. 且由生产