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1、第 5 章 参数估计1. 从一个标准差为 5 的总体中抽出一个容量为 40 的样本,样本均值为 25。(1) 样本均值的抽样标准差 等于多少?x(2) 在 95%的置信水平下,允许误差是多少?解:已知总体标准差 =5,样本容量 n=40,为大样本,样本均值 =25,x(1)样本均值的抽样标准差 = = =0.7906x405(2)已知置信水平 1 =95%,得 =1.96,/2Z于是,允许误差是 E = =1.960.7906=1.5496。n/22.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额,在为期 3 周的时间里选取 49 名顾客组成了一个简单随机样本。(3) 假定总体标准差为 15 元,
2、求样本均值的抽样标准误差;(4) 在 95%的置信水平下,求允许误差;(5) 如果样本均值为 120 元,求总体均值 95%的置信区间。解:(1)已假定总体标准差为 =15 元,则样本均值的抽样标准误差为 = = =2.1429xn4915(2)已知置信水平 1 =95%,得 =1.96,/2Z于是,允许误差是 E = =1.962.1429=4.2000。n/2(3)已知样本均值为 =120 元,置信水平 1 =95%,得 =1.96,x/2Z这时总体均值的置信区间为 =1204.2=n/2Z14.58可知,如果样本均值为 120 元,总体均值 95%的置信区间为(115.8,124.2)元
3、。3.某大学为了解学生每天上网的时间,在全校 7500 名学生中采取不重复抽样方法随机抽取 36 人,调查他们每天上网的时间,得到下面的数据(单位:小时): 3.3 3.1 6.2 5.8 2.3 4.1 5.4 4.5 3.24.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.32.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.54.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5求该校大学生平均上网时间的置信区间,置信水平分别为 90%、95% 和 99%。解:计算样本均值 :将上表数据复制到 Excel 表中,并整理成一列,点击最后数据
4、下x面空格,选择自动求平均值,回车,得到 =3.316667,x计算样本方差 s:删除 Excel 表中的平均值,点击自动求值其它函数STDEV 选定计算数据列确定确定,得到 s=1.6093也可以利用 Excel 进行列表计算:选定整理成一列的第一行数据的邻列的单元格,输入“(a7-3.316667)2” ,回车,即得到各数据的离差平方,在最下行求总和,得到:=90.652i( x-)再对总和除以 n-1=35 后,求平方根,即为样本方差的值s= = =1.6093。1n2i( -) 90.653计算样本均值的抽样标准误差:已知样本容量 n=36,为大样本,得样本均值的抽样标准误差为 = =
5、 =0.2682xns361.09分别按三个置信水平计算总体均值的置信区间: 置信水平为 90%时:由双侧正态分布的置信水平 1 =90%,通过 2 1=0.9 换算为单侧正态分布的置信水平 =0.95,查单侧正态分布表得 =1.64,/Z计算得此时总体均值的置信区间为=3.31671.640.2682=n/2sxZ3.756289可知,当置信水平为 90%时,该校大学生平均上网时间的置信区间为(2.87,3.76)小时; 置信水平为 95%时:由双侧正态分布的置信水平 1 =95%,得 =1.96,/2Z计算得此时总体均值的置信区间为=3.31671.960.2682=n/2sxZ3.847
6、910可知,当置信水平为 95%时,该校大学生平均上网时间的置信区间为(2.79,3.84)小时; 置信水平为 99%时:若双侧正态分布的置信水平 1 =99%,通过 2 1=0.99 换算为单侧正态分布的置信水平 =0.995,查单侧正态分布表得 =2.58,/2Z计算得此时总体均值的置信区间为=3.31672.580.2682=n/2sxZ4.0876可知,当置信水平为 99%时,该校大学生平均上网时间的置信区间为(2.62,4.01)小时。4. 从一个正态总体中随机抽取容量为 8 的样本,各样本值分别为:10,8,12,15,6,13,5,11。求总体均值 95%的置信区间。解:(7.1
7、,12.9)。5.某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离,抽取了由 16 个人组成的一个随机样本,他们到单位的距离(公里)分别是:10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2求职工上班从家里到单位平均距离 95%的置信区间。解:(7.18,11.57)。6. 在一项家电市场调查中,随机抽取了 200 个居民户,调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占 23%。求总体比率的置信区间,置信水平分别为 90%和95%。解:已知样本容量 n =200,为大样本,拥有该品牌电视机的家庭比率 p =23%,拥有该品牌电视机的家庭比率的抽样标准误差
8、为= = =2.98%p(1)0.237双侧置信水平为 90%时,通过 2 1=0.90 换算为单侧正态分布的置信水平=0.95,查单侧正态分布表得 =1.64,/Z此时的置信区间为 =23%1.642.98%=(1)pn/2 27.89%1可知,当置信水平为 90%时,拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为(18.11%,27.89%)。双侧置信水平为 95%时,得 =1.96,/2Z此时的置信区间为 =23%1.962.98%=(1)pn/ 28.40%1759可知,当置信水平为 95%时,拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为;(17.16%,28.84%)。7.某居民小区共有居
9、民 500 户,小区管理者准备采取一项新的供水设施,想了解居民是否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了 50 户,其中有 32 户赞成,18 户反对。(1)求总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间,置信水平为 95%;(2)如果小区管理者预计赞成的比率能达到 80%,应抽取多少户进行调查?解: 已知总体单位数 N=500,重复抽样,样本容量 n =50,为大样本,样本中,赞成的人数为 n1=32,得到赞成的比率为 p = = =64%13250(1)赞成比率的抽样标准误差为 = =6.788%(1)n.64由双侧正态分布的置信水平 1 =95%,得 =1.96,/2Z计算得此时总体户数中赞成该项改
10、革的户数比率的置信区间为= 64%1.966.788%=()pn/2Z7.304%569可知,置信水平为 95%时,总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间为(50.70%,77.30%)。(2)如预计赞成的比率能达到 80%,即 p=80%,由 =6.788%,即 =6.788%(1)pn0.82n得样本容量为 n = = 34.72 取整为 35,2.(67%)即可得,如果小区管理者预计赞成的比率能达到 80%,应抽取 35 户进行调查。8.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本,它们的均值和标准差如下表:来自总体 1 的样本 来自总体 2 的样本4n7n2.531x 4.32x896s
11、 01s(1) 求 2190%的置信区间;(2) 求 95%的置信区间。解:(1.86,17.74);(0.19,19.41)。9.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本,它们的均值和标准差如下表:来自总体 1 的样本 来自总体 2 的样本251x 23x6s 0s(1)设 021n,求 2195%的置信区间;(2)设 , 2,求 2195%的置信区间;(3)设 21, 1,求 95%的置信区间;(4)设 ,, 2,求 2195%的置信区间;(5)设 021n, 1,求 95%的置信区间。解:(1)21.176;(2 )23.986;(3)23.986;( 4)23.587;(5)23.3
12、64。10.下表是由 4 对观察值组成的随机样本:配对号 来自总体 A 的样本 来自总体 B 的样本1 2 02 5 73 10 64 8 5(1)计算 A 与 B 各对观察值之差,再利用得出的差值计算 d和 s;(2)设 1和 2分别为总体 A 和总体 B 的均值,构造 )(2195%的置信区间。解:(1) , ;(2)1.754.27。75.d63.ds11.从两个总体中各抽取一个 5021n的独立随机样本,来自总体 1 的样本比率为%401p,来自总体 2 的样本比率为 %3p。(1)构造 190%的置信区间;(2)构造 295%的置信区间。解:(1)10% 6.98%;(2)10%8.
13、32%。12.生产工序的方差是共需质量的一个重要度量。当方差较大时,需要对共需进行改进以减小方差。下面是两部机器生产的袋茶重量(克)的数据:机器 1 机器 23.45 3.22 3.90 3.22 3.28 3.353.20 2.98 3.70 3.38 3.19 3.303.22 3.75 3.28 3.30 3.20 3.053.50 3.38 3.35 3.30 3.29 3.332.95 3.45 3.20 3.34 3.35 3.273.16 3.48 3.12 3.28 3.16 3.283.20 3.18 3.25 3.30 3.34 3.25构造两个总体方差比 2195%的置信
14、区间。解:(4.06,14.35)。13.根据以往的生产数据,某种产品的废品率为 2%。如果要求 95%的置信区间,若要求允许误差不超过 4%,应抽取多大的样本?解:已知总体比率 =2%=0.02,由置信水平 1-=95%,得置信度 =1.96,允许误差 /2ZE 4%即由允许误差公式 E= 整理得到样本容量 n 的计算公式:/2Znpn= = = =47.05962()E/P2()/1-2E/(1-)20.9846由于计算结果大于 47,故为保证使“”成立,至少应取 48 个单位的样本。14.某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验,标准差大约为120 元,现要求以 95
15、%的置信水平估计每个购物金额的置信区间,并要求允许误差不超过20 元,应抽取多少个顾客作为样本?解:已知总体标准差 =120,由置信水平 1-=95%,得置信度 =1.96,允许误差 E x/2Z20即由允许误差公式 E= 整理得到样本容量 n 的计算公式:/2Znxn= =138.29762()E/xZ2()01.96由于计算结果大于 47,故为保证使“”成立,至少应取 139 个顾客作为样本。15.假定两个总体的标准差分别为: 12, 5,若要求误差范围不超过 5,相应的置信水平为 95%,假定 21n,估计两个总体均值之差 21时所需的样本容量为多大?解: 57。 16.假定 21n,允许误差 05.E,相应的置信水平为 95%,估计两个总体比率之差时所需的样本容量为多大?解: 769。