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1、第 5 章 参数估计1. 从一个标准差为 5 的总体中抽出一个容量为 40 的样本，样本均值为 25。（1） 样本均值的抽样标准差 等于多少？x（2） 在 95%的置信水平下，允许误差是多少？解：已知总体标准差 =5，样本容量 n=40，为大样本，样本均值 =25，x（1）样本均值的抽样标准差 = = =0.7906x405（2）已知置信水平 1 =95%，得 =1.96，/2Z于是，允许误差是 E = =1.960.7906=1.5496。n/22.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期 3 周的时间里选取 49 名顾客组成了一个简单随机样本。（3） 假定总体标准差为 15 元，
2、求样本均值的抽样标准误差；（4） 在 95%的置信水平下，求允许误差；（5） 如果样本均值为 120 元，求总体均值 95%的置信区间。解：（1）已假定总体标准差为 =15 元，则样本均值的抽样标准误差为 = = =2.1429xn4915（2）已知置信水平 1 =95%，得 =1.96，/2Z于是，允许误差是 E = =1.962.1429=4.2000。n/2（3）已知样本均值为 =120 元，置信水平 1 =95%，得 =1.96，x/2Z这时总体均值的置信区间为 =1204.2=n/2Z14.58可知，如果样本均值为 120 元，总体均值 95%的置信区间为（115.8，124.2）元
3、。3.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校 7500 名学生中采取不重复抽样方法随机抽取 36 人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）： 3.3 3.1 6.2 5.8 2.3 4.1 5.4 4.5 3.24.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.32.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.54.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为 90%、95% 和 99%。解：计算样本均值 ：将上表数据复制到 Excel 表中，并整理成一列，点击最后数据
4、下x面空格，选择自动求平均值，回车，得到 =3.316667，x计算样本方差 s：删除 Excel 表中的平均值，点击自动求值其它函数STDEV 选定计算数据列确定确定，得到 s=1.6093也可以利用 Excel 进行列表计算：选定整理成一列的第一行数据的邻列的单元格，输入“(a7-3.316667)2” ，回车，即得到各数据的离差平方，在最下行求总和，得到：=90.652i（ x-）再对总和除以 n-1=35 后，求平方根，即为样本方差的值s= = =1.6093。1n2i（ -） 90.653计算样本均值的抽样标准误差：已知样本容量 n=36，为大样本，得样本均值的抽样标准误差为 = =
5、 =0.2682xns361.09分别按三个置信水平计算总体均值的置信区间： 置信水平为 90%时：由双侧正态分布的置信水平 1 =90%，通过 2 1=0.9 换算为单侧正态分布的置信水平 =0.95，查单侧正态分布表得 =1.64，/Z计算得此时总体均值的置信区间为=3.31671.640.2682=n/2sxZ3.756289可知，当置信水平为 90%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.87，3.76）小时； 置信水平为 95%时：由双侧正态分布的置信水平 1 =95%，得 =1.96，/2Z计算得此时总体均值的置信区间为=3.31671.960.2682=n/2sxZ3.847
6、910可知，当置信水平为 95%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.79，3.84）小时； 置信水平为 99%时：若双侧正态分布的置信水平 1 =99%，通过 2 1=0.99 换算为单侧正态分布的置信水平 =0.995，查单侧正态分布表得 =2.58，/2Z计算得此时总体均值的置信区间为=3.31672.580.2682=n/2sxZ4.0876可知，当置信水平为 99%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.62，4.01）小时。4. 从一个正态总体中随机抽取容量为 8 的样本，各样本值分别为：10,8,12,15,6,13,5,11。求总体均值 95%的置信区间。解：（7.1
7、,12.9）。5.某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由 16 个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离（公里）分别是：10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2求职工上班从家里到单位平均距离 95%的置信区间。解：（7.18,11.57）。6. 在一项家电市场调查中，随机抽取了 200 个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占 23%。求总体比率的置信区间，置信水平分别为 90%和95%。解：已知样本容量 n =200，为大样本，拥有该品牌电视机的家庭比率 p =23%，拥有该品牌电视机的家庭比率的抽样标准误差
8、为= = =2.98%p(1)0.237双侧置信水平为 90%时，通过 2 1=0.90 换算为单侧正态分布的置信水平=0.95，查单侧正态分布表得 =1.64，/Z此时的置信区间为 =23%1.642.98%=(1)pn/2 27.89%1可知，当置信水平为 90%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为（18.11%，27.89%）。双侧置信水平为 95%时，得 =1.96，/2Z此时的置信区间为 =23%1.962.98%=(1)pn/ 28.40%1759可知，当置信水平为 95%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为；（17.16%，28.84%）。7.某居民小区共有居
9、民 500 户，小区管理者准备采取一项新的供水设施，想了解居民是否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了 50 户，其中有 32 户赞成，18 户反对。（1）求总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间，置信水平为 95%；（2）如果小区管理者预计赞成的比率能达到 80%，应抽取多少户进行调查？解： 已知总体单位数 N=500，重复抽样，样本容量 n =50，为大样本，样本中，赞成的人数为 n1=32，得到赞成的比率为 p = = =64%13250（1）赞成比率的抽样标准误差为 = =6.788%(1)n.64由双侧正态分布的置信水平 1 =95%，得 =1.96，/2Z计算得此时总体户数中赞成该项改
10、革的户数比率的置信区间为= 64%1.966.788%=()pn/2Z7.304%569可知，置信水平为 95%时，总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间为（50.70%,77.30%）。（2）如预计赞成的比率能达到 80%，即 p=80%，由 =6.788%，即 =6.788%(1)pn0.82n得样本容量为 n = = 34.72 取整为 35，2.(67%)即可得，如果小区管理者预计赞成的比率能达到 80%，应抽取 35 户进行调查。8.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：来自总体 1 的样本 来自总体 2 的样本4n7n2.531x 4.32x896s
11、 01s（1） 求 2190%的置信区间；（2） 求 95%的置信区间。解：（1.86,17.74）；（0.19,19.41）。9.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：来自总体 1 的样本 来自总体 2 的样本251x 23x6s 0s（1）设 021n，求 2195%的置信区间；（2）设 ， 2，求 2195%的置信区间；（3）设 21， 1，求 95%的置信区间；（4）设 ,， 2，求 2195%的置信区间；（5）设 021n， 1，求 95%的置信区间。解：（1）21.176；（2 ）23.986；（3）23.986；（ 4）23.587；（5）23.3
12、64。10.下表是由 4 对观察值组成的随机样本：配对号 来自总体 A 的样本 来自总体 B 的样本1 2 02 5 73 10 64 8 5（1）计算 A 与 B 各对观察值之差，再利用得出的差值计算 d和 s；（2）设 1和 2分别为总体 A 和总体 B 的均值，构造 )(2195%的置信区间。解：（1） ， ；（2）1.754.27。75.d63.ds11.从两个总体中各抽取一个 5021n的独立随机样本，来自总体 1 的样本比率为%401p，来自总体 2 的样本比率为 %3p。（1）构造 190%的置信区间；（2）构造 295%的置信区间。解：（1）10% 6.98%；（2）10%8.
13、32%。12.生产工序的方差是共需质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对共需进行改进以减小方差。下面是两部机器生产的袋茶重量（克）的数据：机器 1 机器 23.45 3.22 3.90 3.22 3.28 3.353.20 2.98 3.70 3.38 3.19 3.303.22 3.75 3.28 3.30 3.20 3.053.50 3.38 3.35 3.30 3.29 3.332.95 3.45 3.20 3.34 3.35 3.273.16 3.48 3.12 3.28 3.16 3.283.20 3.18 3.25 3.30 3.34 3.25构造两个总体方差比 2195%的置信
14、区间。解：（4.06,14.35）。13.根据以往的生产数据，某种产品的废品率为 2%。如果要求 95%的置信区间，若要求允许误差不超过 4%，应抽取多大的样本？解：已知总体比率 =2%=0.02，由置信水平 1-=95%，得置信度 =1.96，允许误差 /2ZE 4%即由允许误差公式 E= 整理得到样本容量 n 的计算公式：/2Znpn= = = =47.05962()E/P2()/1-2E/(1-)20.9846由于计算结果大于 47，故为保证使“”成立，至少应取 48 个单位的样本。14.某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为120 元，现要求以 95
15、%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求允许误差不超过20 元，应抽取多少个顾客作为样本？解：已知总体标准差 =120，由置信水平 1-=95%，得置信度 =1.96，允许误差 E x/2Z20即由允许误差公式 E= 整理得到样本容量 n 的计算公式：/2Znxn= =138.29762()E/xZ2()01.96由于计算结果大于 47，故为保证使“”成立，至少应取 139 个顾客作为样本。15.假定两个总体的标准差分别为： 12， 5，若要求误差范围不超过 5，相应的置信水平为 95%，假定 21n，估计两个总体均值之差 21时所需的样本容量为多大？解： 57。 16.假定 21n，允许误差 05.E，相应的置信水平为 95%，估计两个总体比率之差时所需的样本容量为多大？解： 769。
