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1、湖北高考理科数学考试及答案详解WORD版(答案超级详细)14 / 14 作者: 日期:个人收集整理,勿做商业用途 2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工农医类)本试卷共4页,三大题21小题。满分150分,考试时间120分钟。祝考试顺利注意事项:1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2. 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效。3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,答在试题卷
2、上无效。4. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。1.i为虚数单位,则 (A) -1 (B) -i (C) 1 (D) i解析:选B。 ,故2. 已知,则 (A) (B) (C) (D) 解析:选D ,故 ,即为3.已知函数,若,则x的取值范围为 (A) (B) (C) (D) 解析:选A.,令得:,于是,解之即得A。4.将两个顶点在抛物线上,另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n,则 (A) (B) (C) (D) 解析:选C.当抛物线上的两点关于x轴对称时,显然可能和焦点组成正三
3、角形,这样的三角形有2个,当抛物线的一点为原点时,取原点与焦点的中垂线与抛物线相交得到两点,因,故此时不能得到正三角形,于是一共有2个满足条件的正三角形。5.已知随机变量服从正态分布,且,则 (A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.6解析:选B。由服从正态分布,得,故6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足,若,则 (A) (B) 2 (C) (D) 解析:选C。,代入,得:,又,故,于是,故7.如图,用K、三类不同的原件连接成一个系统,当K正常工作且至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为 (A)0.96
4、0 (B) 0.864 (C) 0.720 (D) 0.576解析:选B。 分两种情况:K正常且中一个正常,全部正常。故8.已知向量,若x,y满足不等式,则z的取值范围为: (A) (B) (C) (D) 解析:选A。由得:,即,易知所表示的区域如图所示:故易得在上分别取最小值-3和最大值3。9.若实数a,b满足,则称a与b互补,记,那么是a与b互补的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:选C。,故至少有一个为0,不妨设,由,于是,同理可证:,故互补;反之若互补,由,不妨设则,即。综上。是a与b互补的充要条件。10.放射性元素由于
5、不断有原子放射出微粒子而变成其它元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137衰变过程中,其含量M(太贝克/年)与时间t(单位:年)满足函数关系:,其中M0为t=0时铯137的含量,已知t=30时,铯137含量的变化率为-10ln2(太贝克/年),则M(60)= (A) 5太贝克 (B) 75ln2太贝克 (C) 150ln2太贝克 (D) 150太贝克解析:选A。,因为t=30时,铯137含量的变化率为-10ln2,所以,故。二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.11.的展开式中,含的项的
6、系数为 17 .(结果用数值表示)解析:的通项为:,的指数为,令,故的项的系数为12.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期,从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为.(结果用最简分数表示)解析:。13.九章算术“竹九节”问题:现有1根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为升.解析:设九节竹子的容积分别为:,由题意:,解得:,于是14.如图,直角坐标系xOy所在的平面为,直角坐标系(其中轴与y轴重合)所在的平面,()已知平面内有一点,则点在平面内的射影P的坐标为()已知平面内的曲线C/的方程是,则曲线C/在平面内
7、的射影C的方程是 解析:设平面内的点在平面内的射影为,则,故在平面内的射影P的坐标为;另:由得,即15.给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色,时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:由此推断,当n=6时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 21 种.,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 43 种。(结果用数值表示)解析:由图:设黑色正方形互不相邻的着色方案共有种,则,于是这个数列满足,所以。至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种。三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分10分)设的内角A、B、C所对的边分
8、别是,已知, ()求的周长 ()求的值。解析:(),故的周长为。 (),故A为锐角,17. (本小题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改变整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0,,当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时。研究表明:当时,车流速度v是车流密度x的一次函数。 ()当,求函数的表达式; ()当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)可以达到最大,并求出最大值。(精确到1辆/小时)解析:()
9、由题意:当时,=60,当时,设。再由已知得:解得:故函数的表达式为 ()由题意及()可得:当时,为增函数,故当时,其最大值为;当时,当且仅当时,等号成立。所以,当时,在区间上取得最大值。综上,当时,在区间上取得最大值,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时。18. (本小题满分12分)如图,已知正三棱柱的各棱长是4,E是BC的中点,动点F在侧棱上,且不与点C重合 ()当CF=1时,求证:; ()设二面角C-AF-E的大小为,求的最小值。解析:()建立如图所示的空间直角坐标系,则有已知可得,于是,则,故 ()设,平面AEF的一个法向量为,则由()得:,,于
10、是由,可得,即,取又由直三棱柱的性质可取侧面的一个法向量为,于是又由为锐角可得:,所以。由,得,即故当时,即点F与点重合时,取得最小值19. (本小题满分13分)已知数列的前n项和为,且满足: ()求数列的通项公式 ()若存在,使得成等差数列,试判断:对于任意的,且,是否成等差数列,并证明你的结论。解析:()由已知可得,两式相减可得,即,又,所以当r=0时,数列为a,0,0,0,;当时,由已知,所以,于是由,可得,所以成等比数列,当时,。综上,数列的通项公式为:()对于任意的,且,是否成等差数列,证明如下:当r=0时,由(),知,故对于任意的,且,7成等差数列;当时,。若存在,使得成等差数列,
11、则,即,由(),知的公比,于是对于任意的,且,从而,即成等差数列。综上,对于任意的,且,成等差数列。20. (本小题满分14分)平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的m的点的轨迹,加上两点所成的曲线C可以是圆、椭圆、或双曲线。 ()求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系; ()当m=-1时,对应的曲线为;对给定的,对应的曲线为。设是的两个焦点。试问:在上是否存在点N,使得的面积。若存在,求的值,若不存在,请说明理由。解析:()设动点为M,其坐标为,当时,由条件可得:,即,又的坐标满足,故依题意:曲线C的方程为当时,曲线C的方程为,C是焦点在y轴上的椭圆;当时,曲线C的方程为,C是圆心在
12、原点的圆;当时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的椭圆;当时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的双曲线; ()由()知,当时,曲线的方程为,当时,的两个焦点分别为对于给定的,上存在点,使得的充要条件是由的,由得,当,即或时,存在点N使得,;当,即或时,由,可得令,则由可得,从而,于是由可得:,即综上可得:当时,在上,存在点N,使得的面积,且当时,在上,存在点N,使得的面积,且当时,在上,不存在满足条件的点N。21. (本小题满分14分)()已知函数求函数的最大值;()设均为正数,证明:(1)若,则(2)若,则。解析:()的定义域为,令,解得当时,在上是增函数;当时,在上是减函数;故函数在x=1处取得最大值()(1)由()知,当,有,即,从而有,得。求和得:,即 (2)先证:。令,则,于是由(1)得,即,。再证记,令,则,于是由(1)得,即,综合,(2)得证。