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1、一、泰勒级数,二、函数展开成幂级数,11.4 函数展开成幂级数,函数f(x)是否能在某个区间内“展开成幂级数”, 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果能找到这样的幂级数, 则称函数f(x)在该区间内能展开成幂级数.,一、泰勒级数,复习,根据泰勒中值定理, 如果函数f(x)在x0的某邻域内具有各阶导数 则在该邻域内,等式右端的多项式当其项数趋于无穷时, 将成为幂级数, 这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数.,一、泰勒级数,泰勒级数,如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则幂级数,称为函数f(x)的泰勒级数.,麦克劳林级数,在
2、泰勒级数中取x00, 得,此级数称为f(x)的麦克劳林级数.,一、泰勒级数,显然, 当xx0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0).,需回答的问题是: 除了xx0外, f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f(x)?,泰勒级数,麦克劳林级数,.,.,一、泰勒级数,设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数, 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零, 即,定理,泰勒级数,麦克劳林级数,.,.,展开式的唯一性,如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f(x)的麦克劳林级
3、数一致.,这是因为, 如果f(x)在点x00的某邻域(R, R)内能展开成x的幂级数, 即 f(x)a0a1xa2x2 +anxn , ,a0=f(0),a1=f (0), .,提示:,f (x)2!a232a3x43a4x254a5x3 , f (0)2!a2.,f (n)(x)n!an(n1)n(n1)2an1x , f (n)(0) n!an.,那么有,f (x)a12a2x3a3x24a4x35a5x4 , f (0)a1 .,如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数. 但是, 如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(
4、x). 因此, 如果f(x)在点x00处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.,应注意的问题:,展开式的唯一性,如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它一定与f(x)的麦克劳林级数一致.,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数的步骤,第一步 求出f (x)的各阶导数: f (x), f (x), , f (n)(x), ; 第二步 求函数及其各阶导数在x0 处的值: f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), ; 第三步 写出幂级数,第四步 考察在区间(R, R
5、)内时是否Rn(x)0(n).,如果Rn(x)0(n), 则f(x)在(R, R)内有展开式,并求出收敛半径R;,例1 将函数f(x)ex展开成x的幂级数.,解,显然 f (n)(x)ex(n1, 2, ),于是得级数,f (n)(0)1(n1, 2, ).,它的收敛半径R.,对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间), 有,例2 将函数f(x)sin x展开成x的幂级数.,解,所以f (n)(0)顺序循环地取0, 1, 0, 1, (n0, 1, 2, 3, ),于是得级数,对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间), 有,它的收敛半径为R.,因此得展开式,例3 将函数f(x)(1x)m
6、 (m为任意常数)展开成x的幂级数.,所以 f(0)=1, f (0)=m, f (0)=m(m-1), , f (n)(0)=m(m-1)(m-2) (m-n1), , 于是得幂级数,解,f(x)的各阶导数为,f (x)=m(1x)m-1,f (x)=m(m-1)(1x)m-2, ,f (n)(x)=m(m-1)(m-2) (m-n1)(1x)m-n, ,可以证明,(1x1).,求幂级数展开式的间接展开法,例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数.,已知,解,对上式两边求导得,注: 逐项求导所得幂级数与原幂级数有相同的收敛半径.,解,已知,把x换成x2, 得,提示:,收敛半径的确定:,由-1-x21,得-1x1.,例5,例6 将函数f(x)ln(1x)展开成x的幂级数.,f(x)ln(1x),解,上述展开式对x1也成立, 这是因为上式右端的幂级数当x1时收敛, 而ln(1x)在x1处有定义且连续. 所以展开式成立的范围是(1x1).,提示:,提示:,.,将函数,f,(,x,),=,sin,x,展开成,的幂级数,.,例7,解,因为,并且,提示:,提示:,并且,所以,将函数,f,(,x,),=,sin,x,展开成,的幂级数,.,例7,解,因为,将函数,展开成,(,x,-,1),的幂级数,.,例8,提示:,解,提示:,提示:,提示:,提示:,由,和,得,.,幂级数展开式小结,
