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1、几何空间(三唯向量空间）（第三章）,推广,n 唯向量空间（第四章）,推广,线性空间（第七章）,4.1 n 维向量空间,一、三维向量空间,三、Rn 的子空间,返回,二、n 维向量空间,一、三 维向量空间 (几何空间),并定义向量的线性运算如下：,加法:,数乘：,k =(ka1, ka2, ka3 ).,（ai为实数）,设,按上述方式定义的线性运算，满足八条运算规律：,(1) + = + ; (2) ( +) + = +( +); (3) +O = ; (4) +(- ) =O ;,(5) 1 = ; (6) k(l ) = (kl) ; (7) k( +) = k +k ; (8) (k+l)
2、= k +l .,由三维实向量,的全体构成的集合，按定义的加法和数乘满足八条,运算法则，则称这个集合对规定的加法和数乘构成一个,三维向量空间(或几何空间)。记为 R3.,确定飞机在空中的状态：,飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需要6个参数， 可表示为,实际问题：,n 维向量:,n 维行向量,n 维列向量:,实（复）向量:,坐标为实（复）数,n称为向量的维数。, n个数构成的有序数组。,二、n 维向量空间的概念,向量相等的定义： = (a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn), = ai = bi,零向量
3、： = (0, 0, , 0),负向量： - = (-a1, -a2, , -an ),Rn =(a1, a2, , an)|aiR n 维实向量的全体.,n维向量的线性运算: = (a1, a2, , an), =(b1, b2, , bn)，, + = (a1 +b1, a2 +b2, , an+ bn),k = (ka1, ka2, , kan ), k R.,加法:,数乘：,加法与数乘满足下列八条运算规律：,(1) + = + ; (2) ( +) + = +( +); (3) +0 = ; (4) +(- ) = 0 ;,(8) (k+l) = k +l .,(7) k( +) =
4、k +k ;,(6) k(l ) = (kl) ;,(5) 1 = ;,n 维实向量,的全体构成的集合 Rn，按定义的加法和数乘满足八条,运算法则，称 Rn 对规定的加法和数乘构成一个,n维向量空间。,一般地，若向量集合 V，按定义的加法和数乘满足,八条运算法则，则称 V对规定的加法和数乘构成一个,向量空间。,用向量的观点看矩阵:,1n的行矩阵可以视为n维行向量；,n1的列矩阵可以视为n维列向量；,用向量的观点看线性方程组,可写成：,即,或,方程组的向量形式,即,其中,称为满足方程 的一个解向量。,定义 若,则称V是 Rn 的一个子空间.,（此时称V对加法封闭）,由定义知： （1） Rn 的子
5、空间本身也是一个向量空间！,（2）子空间必含零元。,二、Rn 的子空间,（此时称V对数乘封闭）,(V有零元是V为子空间的必要条件!),V是 Rn 的一个子空间,（即V对加法封闭）,子空间的判别:,（即V对数乘封闭）.,（ 即 过坐标原点的直线是R2的子空间.）,例1 设V = (x, y) | x+y= 0 , V是否是 R2 的子空间？,例2 设V = (x, y) | x+ y = 1 , V是否是 R2 的子空间？,（ 不过坐标原点的直线不是R2的子空间.）,例3 过坐标原点的平面,但是，不过坐标原点的平面不是R3的一个子空间；不过坐标原点的空间直线不是R3的一个子空间.,为R3的一个子
6、空间；,例4 过坐标原点的空间直线.,为R3的一个子空间,因为，它们不含零元 0=（0，0，0）.,4.2 向量组的线性相关性,一、向量组的线性组合,二、向量组的线性相关性,返回,三、线性相关性与线性组合(表出)的关系,向量组：同维数的向量所组成的集合.,例如:,该向量组向量的维数是3, 向量组所含向量个数为4 .,即该向量组由4个3维的向量组成 .,又如:,-所含向量个数为1 .,-含无穷多个向量 .,向量组与矩阵的关系:,例如,向量组 称为矩阵A的列向量组。,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组:,即：,即,方程组的向量形
7、式,存在一组数 x1, x2, , xn 使得,故 非齐次线性组(*)式有解,线性表出,一、向量组的线性组合(线性表出),定义 若存在一组数 k1, k2, , km 使得,或称向量 为向量组1，2，m 的线性组合，,例1 零向量是任一向量组的线性组合.,则称向量 可由向量组1，2，m 线性表出.,例2 向量组1, 2, , m中任一向量都可由这个 向量组线性表出.,例3 设 为n维向量组，证明：,是 的一个子空间。,L(1,2, , m) =, 1, 2, , m 线性组合的全体.,L,（ L对加法封闭）,证明:,L,称L(1,2, , m),是由1, 2, , m 所生成的子空间.,（ L
8、对数乘封闭）,例如:,例4,反之,有,有, n唯基本单位向量组,设,则,选择题：,（A）存在一组不全为零的数 k1, k2, , km 使得,若向量 可由向量组1，2，m ，线性表出,（D）对 的线性表达式唯一。,则下列结论中正确的是（ ）,（B）存在一组全为零的数 k1, k2, , km 使得,（C）存在一组数 k1, k2, , km 使得,C,AX = b有解,b 可由 1, 2, , n线性表出,存在一组数 x1, x2, , xn 使得,其中 A =(1, 2, , n),定理1:,b 可由 1, 2, , n线性表出,AX = b有解,其中 A =(1, 2, , n),线性表出
9、与方程组AX = b解的关系：,设 R(A) = r,所以,AX = b有解 ,dr+1 = 0,即 有解的充要条件为:,这是线性方程组AX=b是否有解的判别定理。,由定理1得:,其中 A =(1, 2, , n) ,(1) 需考察线性方程组,是否有解.,分析: 利用定理1,(2) 若有解,求出其一组解.,即,故有唯一解,解:,(表达式唯一!),判别:,b 可由 1, 2, , n线性表出,AX = b有解,其中 A =(1, 2, , n),定义 (): 1, 2, , r , (): 1, 2, , s ,等价关系有性质：,(2) 对称性： ()与()等价，则()与()等价；,（实质上是线
10、性表出具有传递性！ ）,(1) 反身性：每一向量组都与自身等价；,传递性： ()与()等价，()与()等价,若组() 中每一个向量都可由()中的向量线性表出,可以互相线性表出，则称组()与组()等价.,则称组()可由()线性表出.若组()与组(),则()与()等价.,见P168,7题,线性代数探究性问题小论文,提高发现问题和解决问题的能力， 初步学习学术论文撰写方法。,内容：,具体如：对教材中某些问题的深入研究和思考。,也可以是线性代数中的典型例题、习题求解探讨，,目的：,观察分析数学事实，提出有意义的数学问题， 特例探讨，联想类比，猜想试探，失败更正，,改进扩充，合情推理等。,特殊方法的总结
11、， “一题多解”等 。,组织形式：,（每班负责人：学习委员及科代表）,（3）论文交由助教及教师审阅。,（2）各小班收集同学们的论文。,(12月9号之前交论文，12月16号（星期五）汇报),（4）优秀论文将在指定课堂上展示、讲解。,（1）可以一个人写，亦可若干人组成小组合作。 （一个小组最多六人),并以一定比例记入平时成绩,选择题：,（A） m 不能由(1)线性表出，也不能由(2)线性表出；,设可由向量组1，2， m 线性表出，但不能由,B,（B） m 不能由(1)线性表出，但可由(2)线性表出；,（C） m 可由(1)线性表出，也可由(2)线性表出；,（D） m 可由(1)线性表出，但不能由(2)线性表出；,则（ ）,练习： 将 = (1,0,-4)T 用1 =(0,1,1)T, 2 =(1,0,1)T,3 =(1,1,0)T 线性表出.,解,
