2017年上海市高考数学试卷

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1、2017 年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每 题 5 分） 1 （4 分）已知集合 A=1，2，3，4，集合 B= 3，4，5 ，则 AB= 2 （4 分）若排列数 =654，则 m= 3 （4 分）不等式 1 的解集为 4 （4 分）已知球的体积为36 ，则该球主视图的面积等于 5 （4 分）已知复数 z满足 z+=0，则| z| = 6 （4 分）设双曲线 =1（b0）的焦点为 F1、F2，P 为该双曲线上的一点，若 | PF1| =5，则| PF2| = 7 （5 分）如图，以长方体ABCD A1B1C1D1的顶

2、点 D 为坐标原点，过D 的三条 棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2） ，则的坐 标是 8 （5 分）定义在（ 0，+）上的函数 y=f（x）的反函数为 y=f 1（x） ，若 g（x） =为奇函数，则 f 1（x）=2的解为 9 （5 分）已知四个函数： y=x，y=， y=x 3，y=x，从中任选 2 个， 则事件 “ 所选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点” 的概率为 10 （5 分）已知数列 an 和 bn ，其中 an=n 2，nN*， b n 的项是互不相等的正 整数，若对于任意nN*，bn的第 an项等于 an 的第 bn项，则 = 11 （5 分

3、）设 a1、a2R，且，则 | 10 a1a2| 的最小值等于 12 （5 分）如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四 个标记为 “ ” 的点在正方形的顶点处，设集合= P1，P2，P3，P4，点 P ，过 P作直线 lP，使得不在 lP上的“ ” 的点分布在 lP的两侧用 D1（lP）和 D2（lP）分 别表示 lP一侧和另一侧的 “ ” 的点到 lP的距离之和若过 P的直线 lP中有且只有 一条满足 D1（lP）=D2（lP） ，则 中所有这样的 P为 二、选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20 分） 13 （5 分）关于 x、y 的二元一次方程组

4、的系数行列式D 为（） A B C D 14 （5 分）在数列 an中，an=（） n，nN* ，则 an（） A等于B等于 0 C等于D不存在 15 （5 分）已知 a、b、c 为实常数，数列 xn 的通项 xn=an 2+bn+c，nN*，则“ 存 在 kN*，使得 x100+k、x200+k、x300+k成等差数列 ” 的一个必要条件是（） Aa0 Bb0 Cc=0 Da2b+c=0 16 （5 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C1：=1 和 C2：x2+=1P 为 C1 上的动点， Q 为 C2上的动点， w 是的最大值记 =（P，Q）| P在 C1上，Q 在 C2上，且 =w

5、 ，则 中元素个数为（） A2 个 B 4 个 C 8 个 D无穷个 三、解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分） 17 （14 分）如图，直三棱柱ABC A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和 AC的长分别为 4 和 2，侧棱 AA1的长为 5 （1）求三棱柱 ABC A1B1C1的体积； （2）设 M 是 BC中点，求直线 A1M 与平面 ABC所成角的大小 18 （14 分）已知函数 f（x）=cos 2xsin2x+，x（0， ） （1）求 f（x）的单调递增区间； （2）设 ABC为锐角三角形，角A 所对边 a=，角 B 所对边 b=5，若 f（A

6、）=0， 求ABC的面积 19 （14 分）根据预测，某地第 n（nN*）个月共享单车的投放量和损失量分别 为 an和 bn（单位：辆），其中 an=，bn=n+5，第 n 个月底的共享单车的保有量是 前 n 个月的累计投放量与累计损失量的差 （1）求该地区第 4 个月底的共享单车的保有量； （2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量Sn=4（n46） 2+8800 （单位：辆）设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了 此时停放点的单车容纳量？ 20 （16 分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 ：=1，A 为 的上顶点， P 为 上异于上、下顶点的动点，M 为

7、x 正半轴上的动点 （1）若 P在第一象限，且 | OP| =，求 P的坐标； （2）设 P（） ，若以 A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若| MA| =|MP| ，直线 AQ与 交于另一点 C，且， ，求直线 AQ的方程 21 （18 分）设定义在 R上的函数 f（x）满足：对于任意的x1、x2R，当 x1x2 时，都有 f（x1）f（x2） （1）若 f（x）=ax 3+1，求 a 的取值范围； （2）若 f（x）是周期函数，证明： f（x）是常值函数； （3）设 f（x）恒大于零， g（x）是定义在 R上的、恒大于零的周期函数，M 是 g（x）的最大值函数

8、h（x）=f（x）g（x） 证明： “h（x）是周期函数 ” 的充要 条件是 “f（x）是常值函数 ” 2017 年上海市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每 题 5 分） 1 （4 分）已知集合 A= 1，2，3，4 ，集合 B= 3，4，5 ，则 AB= 3，4 【分析】 利用交集定义直接求解 【解答】 解：集合 A= 1，2，3，4 ，集合 B= 3，4，5， AB= 3，4 故答案为： 3，4 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的 合理运用 2 （4 分）若排列数 =

9、654，则 m=3 【分析】 利用排列数公式直接求解 【解答】 解：排列数 =654， 由排列数公式得， m=3 故答案为： m=3 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公 式的合理运用 3 （4 分）不等式 1 的解集为（， 0） 【分析】 根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可 【解答】 解：由 1 得： ， 故不等式的解集为：（， 0） ， 故答案为：（， 0） 【点评】 本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题 4 （4 分）已知球的体积为36 ，则该球主视图的面积等于9 【分析】 由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积 【

10、解答】 解：球的体积为 36 ， 设球的半径为 R，可得 R 3=36 ， 可得 R=3， 该球主视图为半径为3 的圆， 可得面积为 R 2=9 故答案为： 9 【点评】 本题考查球的体积公式， 以及主视图的形状和面积求法， 考查运算能力， 属于基础题 5 （4 分）已知复数 z满足 z+=0，则| z| = 【分析】 设 z=a+bi（a，bR） ，代入 z 2=3，由复数相等的条件列式求得 a，b 的值得答案 【解答】 解：由 z+=0， 得 z 2=3， 设 z=a+bi（a，bR ） ， 由 z 2=3，得（ a+bi）2=a2b2+2abi=3， 即，解得： 则| z| = 故答案为

11、： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模 的求法，是基础题 6 （4 分）设双曲线 =1（b0）的焦点为 F1、F2，P 为该双曲线上的一点，若 | PF 1| =5，则| PF2| = 11 【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得| PF1| | PF2| =6，解可得 | PF2| 的值，即可得答案 【解答】 解：根据题意，双曲线的方程为：=1， 其中 a=3， 则有| PF1| | PF2| =6， 又由| PF1| =5， 解可得 | PF2| =11 或1（舍） 故| PF2| =11， 故答案为： 11 【点评】 本题考

12、查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义 7 （5 分）如图，以长方体ABCD A1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点，过D 的三条 棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2） ，则的坐 标是（4，3，2） 【分析】 由的坐标为（ 4，3，2） ，分别求出 A和 C1的坐标，由此能求出结果 【解答】 解：如图，以长方体ABCD A1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点， 过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 的坐标为（ 4，3，2） ，A（4，0，0） ，C1（0，3，2） ， 故答案为：（4，3，2） 【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间

13、直角坐标系等基础知识，考 查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题 8 （5 分）定义在（ 0，+）上的函数 y=f（x）的反函数为 y=f 1（x） ，若 g（x） =为奇函数，则 f 1（x）=2的解为 【分析】 由奇函数的定义，当x0 时， x0，代入已知解析式，即可得到所 求 x0 的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到 所求值 【解答】 解：若 g（x）=为奇函数， 可得当 x0 时， x0，即有 g（x）=3 x1， 由 g（x）为奇函数，可得g（x）=g（x） ， 则 g（x）=f（x）=13 x，x0， 由定义在（ 0，+）上的函数 y=f（x）的反函

14、数为 y=f 1（x） ， 且 f 1（x）=2， 可由 f（2）=13 2=， 可得 f 1（x）=2 的解为 x= 故答案为： 【点评】本题考查函数的奇偶性和运用， 考查互为反函数的自变量和函数值的关 系，考查运算能力，属于基础题 9 （5 分）已知四个函数： y=x，y=， y=x 3，y=x，从中任选 2 个， 则事件 “ 所选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点” 的概率为 【分析】从四个函数中任选2 个，基本事件总数 n=，再利用列举法求出事件A： “ 所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点” 包含的基本事件的个数， 由此能求出 事件 A：“ 所选 2 个函数的图象有且只有一个公

15、共点” 的概率 【解答】 解：给出四个函数： y=x，y=， y=x 3，y=x， 从四个函数中任选2 个，基本事件总数n=， 有两个公共点（ 0，0） ， （1，1） 事件 A：“ 所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点” 包含的基本事件有： ，共 2 个， 事件 A：“ 所选 2 个函数的图象有且只有一个公共点” 的概率为 P（A）= 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合 理运用 10 （5 分）已知数列 an 和 bn ，其中 an=n 2，nN*， b n 的项是互不相等的正 整数，若对于任意nN*，bn的第 an项等于 an 的第 bn

16、项，则 =2 【分析】 an=n2，nN*，若对于一切 nN*， bn中的第 an项恒等于 an 中的第 bn项，可得 =于是 b1=a1=1，=b4，=b9，=b16即可得出 【解答】 解： an=n2，nN * ，若对于一切nN*， bn中的第 an项恒等于 an 中的第 bn项， = b1=a1=1，=b4，=b9，=b16 b1b4b9b16= =2 故答案为： 2 【点评】本题考查了数列递推关系、 对数的运算性质， 考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 11 （5 分）设 a1、a2R，且，则 | 10 a1a2| 的最小值等于 【分析】 由题意，要使 +=2，可得 sin 1=1，sin2 2=1求出 1和 2，即可求 出| 10 12| 的最小值 【解答】 解：根据三角函数的性质，可知sin 1，sin2 2的范围在 1，1 ， 要使+=2， sin 1=1，sin2 2=1 则： ，k1Z ，即， k2Z 那么： 1+2=（2k1+k2） ，k1、k2Z | 10 12| =|1