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1、高中数学必修第二册1 / 14 第八章综合测试 一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的） 1. 对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是（） A. 三角形的直观图仍然是一个三角形 B.90角的直观图为45角 C. 与 y 轴平行的线段长度变为原来的一半 D. 原来平行的线段仍然平行 2. 已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m 的是（） A.，且 m B.mn，且n C.mn，且n D.mn，且n 3. 圆木长 2 丈 4 尺，圆周为5 尺，葛藤
2、从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问 葛藤最少长多少尺？这个问题的答案为（注：1 丈等于 10 尺） （） A. 29 尺 B. 24 尺 C. 26 尺 D. 30 尺 4. 设,为三个不同的平面，,m n为两条不同的直线，则下列命题中为假命题的是（） A. 当时，若，则 B. 当m，n时，若，则mn C. 当 m，n时，若，则,m n 是异面直线 D. 当mn，n时，若 m，则 5. 已知正三棱柱 111 ABCA B C的侧棱长为4，底面边长为2 3. 若点M是线段 11 AC的中点，则直线BM与 底面ABC所成角的正切值为（） A. 5 3 高中数学必修第二册2
3、 / 14 B. 4 3 C. 3 4 D. 4 5 6. 如图所示，表面积为2 3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（） A. 2 3 B. 1 3 C. 2 3 D. 22 3 7. 已知三棱锥PABC中，23PA，3AB，4AC，ABAC，PA平面ABC，则此三棱锥的外 接球的内接正方体的体积为（） A. 16 B. 28 C. 64 D. 96 8. 如图，在边长为1 的正方形ABCD中，点,E F分别为边,BC AD的中点，将ABF沿BF所在的直线进 行翻折，将CDE沿DE所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是（） A. 无论翻折到什么位置，AC、两点都
4、不可能重合 B. 存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为60 C. 存在某个位置，使得直线AF与直线CE所成的角为90 高中数学必修第二册3 / 14 D. 存在某个位置，使得直线AB与直线CD所成的角为90 9. 等体积的球和正方体的表面积的大小关系是（） A.SS 正方体球 B.SS 正方体球 C.SS 正方体球 D. 无法确定 10. 已知棱长为3的正方体 1111 ABCDA B C D内有一圆柱， 此圆柱恰好以直线 1 AC，为轴， 则该圆柱侧面积 的最大值为（） A.3 2 B.2 3 C. 9 2 4 D. 9 2 8 二、多项选择题（本大题共2 小题，每小题5 分，共
5、10 分. 在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目 要求，全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2分） 11. 下列命题为真命题的是（） A. 若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合 B. 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 C. 垂直于同一条直线的两条直线相互平行 D. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直 12. 如图所示， 在四个正方体中，l是正方体的一条体对角线，点MNP、 、分别为其所在棱的中点，能得出 l平面MNP的图形为（） ABCD 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 将答案填在题
6、中横线上） 高中数学必修第二册4 / 14 13. 已知一圆锥的侧面展开图是半径为2 的半圆， 则该圆锥的表面积为_，体积为 _.（本题第 一空 2 分，第二空3 分） 14. 已知正四棱锥的侧棱长为2 3，侧棱与底面所成的角为60，则该四棱锥的高为_. 15. 如图所示，直线a平面，点A在另一侧，点,B C Da，线段,AB AC AD分别交于点,E F G. 若44,5,BDCFAF,则EC_. 16. 如图，在长方形ABCD中，2AB，1AD，E是CD的中点， 沿AE将DAE向上折起，使D到D 的位置，且平面 AED 平面ABCE，则直线 AD 与平面ABC所成角的正弦值为_. 四、解答
7、题（本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10 分）一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正 好相等，且液面高度h也相等，用a将h表示出来。 18. （本小题满分12 分）已知正方体 1111 ABCDA B C D. （1）证明： 1 D A平面 1 C BD； （2）求异面直线 1 D A与BD所成的角 . 高中数学必修第二册5 / 14 19. （本小题满分12 分）如图，三棱柱 111 ABCA B C中，CACB， 1 ABAA， 1 60BAA. （1）证明： 1 ABAC； （2）若2ABCB，
8、 1 6AC，求三棱柱 111ABCA B C的体积 . 20. （本小题满分12 分）如图，直三棱柱 111ABCA B C中，D E ,分别是 1AB BB,的中点 . （1）证明： 1 BC 平面 1 ACD； （2）设 1 2AAACCB，2 2AB，求三棱锥 1 CA DE的体积 . 21. （本小题满分12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PAB是正三角形，四边形ABCD是正方形。 （1）求证： PCPD； （2）若25PDCD，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值. 高中数学必修第二册6 / 14 22.（本小题满分12 分）如图所示， 在斜三棱柱 111 A B CABC中，底
9、面是等腰三角形，ABAC，D是BC 的中点，侧面 11 BB C C底面 ABC. （1）求证： 1 ADCC； （ 2）过侧面 11 BB C C的对角线 1 BC的平面交侧棱 1 AA于点M，若 1 AMMA，求证：截面 1 MBC侧面 11BBC C； （3）若截面 1 MBC平面 11 BB C C， 1 AMMA成立吗？请说明理由. 高中数学必修第二册7 / 14 第八章综合测试 答案解析 一、 1. 【答案】 B 【解析】 A 正确，根据斜二测画法， 三角形的直观图仍然是一个三角形；B 错误，90角的直观图可以是 45 角，也可以是135角；由斜二测画法规则知C、D 正确 . 2.
10、 【答案】 B 【解析】 A 中，m，故 A 错误；易知B 正确； C、D 中，m或m或 m 与 相交，故 C、D 错误 . 3. 【答案】 C 【解析】 由题意可知， 圆柱的侧面展开图是矩形，其中一条边 （即圆木的高） 长为 24 尺，其邻边长为5 尺， 因此葛藤长 22 24(52)26（尺） .故选 C. 4. 【答案】 C 【解析】对于A，根据平面与平面平行、垂直的性质，可得A 正确；对于B，根据平面与平面平行、线面垂 直的性质，可得B 正确；对于C，,m n 可能异面，也可能平行，故C 错误；对于D，由mn，n可知 m，又 m，所以，故 D 正确。 故选 C. 5. 【答案】 B 【
11、解析】过点 M 作MNAC于点N，连接BN，则MBN为直线 BM 与底面ABC所成的角 . 由已知，可 得 4MN ， 3BN ，所以 4 tan 3 MBN，故选 B. 6. 【答案】 A 【解析】设正八面体的楼长为a，则 2 3 82 3 4 a，1a，球的半径为 2 2 ，球的体积为 3 422 323 . 7. 【答案】 C 【解析】已知 PA 平面ABC，ABAC，将三棱锥补成长方体，它的体对角线是其外接球的直径，也是 外接球的内接正方体的体对角线. 23PAQ，3AB，4AC 三棱锥外接球的直径为239164 3， 外接球的内接正方体的体对角线长为4 3， 高中数学必修第二册8 /
12、 14 正方体的棱长为4，正方体的体积为64，故选 C. 8. 【答案】 D 【解析】在A 中，点A与点C一定不重合，故A 正确；在B 中，存在某个位置，使得直线AF与直线CE 所成的角为60，故 B 正确；在C 中，当平面 ABF平面BEDF，平面DCE平面BEDF时，直线AF 与直线CE垂直，故C 正确；在D 中，直线 AB与直线CD不可能垂直，故 D 错误 . 故选 D. 9. 【答案】 A 【解析】设正方体的棱长为a，球的半径为 R，由题意得 33 4 3 VRa，所以 3 aV， 3 3 4 V R，所以 33222 66216SaVV 正方体 ， 322 436SRV 球 ，所以S
13、S 正方体球 . 10. 【答案】 D 【解析】 由题知， 只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，侧面积最大时， 圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在线段 11 ,ABAC AD上，如图所示， 设线段 1 AB上的切 点为 1 ,E AC与平面 1 A BD的交点为 2 O， 圆柱上底面的圆心为 1 O， 半径即为 1 O E， 记为r， 设 1 AB与平面 1 A BD 的交点为F. Q正方体 1111 ABCDA B C D的棱长为3， 111 3,6ACA BBDA D. 由题意知， 2 1132 6 3322 O FDF， 21 1 1 3 AOA
14、C. 由 21 O EO F知 1 0, 12 2 AOE ， 11 2AOO E，则圆柱的高为 1 3232 2AOr， 23 2 2(322 )4 2 4 r Srrr 测 2 3 29 292 42 888 r 高中数学必修第二册9 / 14 当 3 2 8 r时，圆柱的侧面积取得最大值，最大值为 9 2 8 . 二、 11. 【答案】 BD 【解析】 A 错，两个平面相交时，也有无数个公共点；C 错，比如,abc，显然有,ab ac， 但b与c也可能相交故选BD . 12. 【答案】 AD 【解析】如图所示，正方体ABCDA B C D. 连接,AC BD.MPQ、分别为其所在棱的中点
15、，MPAC. Q四边形ABCD为正方形， ACBD， BBQ平面ABCD，AC平面ABCD， BBAC， ACBDQ，BDBBBI，AC平面DBB，DBQ平面DBB，ACDB. MPACQ，DBMP，同理，可证,DBMN DBNP， MPNPPQI，MP平面MNP，NP平面MNP， DB平面MNP，即l垂直平面MNP，故 A 正确 . 在 D 中，由 A 中证明同理可证lMP，lMN，又MPMNMQI，l平面MNP. 故 D 正确 . 故选 AD . 三、 13. 【答案】3 3 3 【解析】设圆锥的底面半径为r，根据题意，得22r，解得1r，根据勾股定理，得圆锥的高为 22 213，所以圆锥
16、的表面积 22 1 2 13 2 S，体积 2 13 13 33 V. 14. 【答案】 3 【解析】如图，过点 S作SO 平面ABCD，连接OC，则60SCO ， 3 sin602 33 2 SOSC. 高中数学必修第二册10 / 14 15. 【答案】 20 9 【解析】 因为Aa，所以点 A与直线 a确定一个平面， 即平面 ABD. 因为a ，且I平面ABDEG， 所以aEG，即BDEG，所以 AFEG ACBD . 于是 5420 = 549 AFBD EG AC . 16. 【答案】 2 2 【解析】 解析由题意， 知AED为等腰直角三角形，平面AED平面ABCE，AD在底面的射影在AE 上， D AE为直线AD 与平面ABC所成角，且45D AE，其正弦值为 2 2 ，故答案为 2 2 . 四、 17. 【答案】解：由题意，得 2 3 hh V圆锥液， 2 2 a Vh 圆锥液 ， 由已知得 2 3 32 ha h，所以 3 2 ha. 1
