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1、用正交交变换化二次型为标准型 2.把把二二次次型型化化标标准准型型的的根根据据与与步步骤骤： 要要使使二二次次型型经经可可逆逆线线性性变变换换变变成成 标标准准形形，这这就就是是要要使使 也也就就是是要要使使 因因此此，上上述述等等价价的的就就是是：于于称称A 求求可可逆逆矩矩C使使得得： 角角。个个称称把把 称称A合合同同角角化化 成成为为对对角角阵阵。 由由上上定定理理5。8知知，任任 称称A总总有有正正交交阵阵P，使使 。把把此此用用于于二二次次型型，即即有有 定定理理5.9 任任二二次次型型 使使之之化化准准形形 其其中中 推推 任任n元元二二次次型型 使使 范范形形。 总总有有正交变
2、换 是是f的的矩矩阵阵A的的特特征征值值 总总有有正正交交变变换换 用用正正交交化二次次型型准准形形的的步步： （1）.写写出出f对对应应的的实实对对称称矩矩阵阵A （2）.找找正正交交矩矩P， ； （3）.正正交交 使使 。 例例5.5.1 求求一一个个正交变换 把把二二次次型型 化化准准形形。 解解： 二二次次型型的的矩矩 与与例例5.4.1所所矩矩相相同同。按按例例 5.4.1的的果果，有有正正交交 使使 ， 于于是是有有正正交交 ， 把把二二次次型型f化成标准形 如如果果要要把把二二次次型型化化成成范范形形只只需需令令： 得得f的的规规范范形形为为： 例例5.5.2 用用正正交交将将二
3、二次次型型 化化准准形形若若 ，曲曲面面何何种种型型的的曲曲面面. 解解： 二二次次型型的的矩矩 得得A的的特特征征： 当当求求解解 因因它它已已正正交交，故故只只需需位位化化 。 ，得得两两个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量为为 当当 求求解解 得得一一个个解解 位位化化得得 所所求求正正交交矩矩 正正交交 化化f准准形形 然然，由由解解析析几几何何知知道道，是是 一一个个叶叶双双曲曲面面方方程程。 注注:如如果果要要画画出出上上述述曲曲面面的的几几何何 图图形形，则则要要求求出出相相应应的的坐坐标标旋旋 转转变变换换，请请参参考考有有关关空空间间解解析析 几几何何关关于于坐坐标标轴轴旋旋转转的的有有关关结结 论论。
