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1、目录1.数值积分的历史31.1数值积分的起源31.2数值积分的经典方法31.3著名数学家辛普森32.常用的数值积分方法42.1插值型求积公式42.2Newton-Cotes公式52.2.1梯形公式52.2.2 Simpson 公式52.2.3柯特斯公式62.2.4 牛顿柯特斯公式62.3复合求积公式72.3.1复合梯形公式82.3.2 复合的辛普森公式82.3.3 复合的柯特斯公式92.4逐次分半技术与龙贝格公式102.4.1梯形公式的递推化102.4.2龙贝格公式102.5高斯型求积公式122.5.1高斯勒让德求积公式142.5.2高斯切比雪夫求积公式142.5.3求积公式152.6奇异积分
2、的数值计算152.6.1反常积分的计算152.6.2无穷区间积分的计算162.7振荡函数的积分172.7.1分部积分公式182.7.2 Filon法193.数值积分在Matlab中的应用20参考文献261.数值积分的历史1.1数值积分的起源数值积分是求定积分的近似值的数值方法，即用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分的方法求解。由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。对微
3、积分学做出杰出贡献的数学大师，如牛顿，欧拉，高斯等人也在数值积分这个领域做出了各自的贡献，并奠定了它的理论基础。1.2数值积分的经典方法构造数值积分最通常的方法是用积分区间上的n次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形称为牛顿柯特斯公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式，但他们的精度很差。龙贝格算法是在区间逐次分半过程中对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练，计算结果准确，使用方便，稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式。当用不等距节点进行计算时，常用高斯求积公式进行计算，他在节
4、点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分。1.3著名数学家辛普森辛普森（1710.8.201761.5.14）是英国著名的数学家，他生于英格兰列斯特郡，并卒于当地。他的父亲是一位纺织工人，所以它主要靠自己自学成才，而他的第一份工作也是纺织。但他对数学的兴趣最初是由一次日蚀所引发的。他在一位占卜师的指导下，学会了算术和基本的代数。其后，他放弃了纺织的工作，而当了一个学校的司阍，凭借他刻苦而持久的努力，他证明了他在数学方面的能力，以至于1735年它能够解决数个有关微积分的问题。1737年他便开始撰写有关数学的文章。在1754年他成了淑女日记的编辑，其后他到了伦敦的乌尔威治并
5、出任数学教授一职，直至逝世。辛普森最为熟知的贡献是他在插值法方面及数值积分法方面，事实上他在概率方面也有一定的工作。他在1740年推出他的The Nature and Law of Chance,而大部分他在这方面的结果也是建基于棣莫弗早期的结果。另外，当时有一群讲师巡回在伦敦咖啡屋讲学，而辛普森是其中最突出的一位，他钻研有关误差理论，并且试图证明算术平均数比单一观察较佳，Simpson公式就是他的代表定理。在辛普森之后，很多后人都在他的基础上不断完善Simpson公式，使其公式越来越完备。其中，华罗庚，王元的著作数值积分及其应用中，就使用数论的方法研究辛普森公式，在其研究中，假设是在内定义了
6、的函数，以后如果用到n次微商，假定有n次微商。2.常用的数值积分方法2.1插值型求积公式在上，用以为节点的n次Lagrange插值多项式作为的逼近函数，即可得到插值型求积公式： 即插值型积分公式具有n次代数精度，且时公式是稳定的。2.2Newton-Cotes公式2.2.1梯形公式过两点做一次朗格朗日插值多项式，用代替得：（2.2.1）（2.2.1）上式称为梯形公式，也可改写为其中= = 2.2.2 Simpson 公式把区间二等分，取，三点，做二次拉格朗日插值多项式另，则用代替，则得或（2.2.2）也可写成其中，（2.2）式称为辛普森公式。2.2.3柯特斯公式把区间四等分，取，为插值节点，做
7、四次拉格朗日插值多项式，并以代替上做定积分，得或也可以表示为（2.2.3）其中，式（2.2.3）称为柯特斯公式。2.2.4 牛顿柯特斯公式把区间n等分，其分点为，=0,1,2,3,n过这n+1个节点，构造一个n次多项式，其中用代替被积函数，则有（2.2.4）其中，式（2.2.4）叫做牛顿柯特斯公式。使用牛顿柯特斯公式的关键是计算系数，用变量替换，于是而引进记号则这时是不依赖与函数和区间常数，可以先计算出来，叫牛顿柯特斯系数。2.3复合求积公式由定积分知识，定积分只与被积函数和积分区间有关，而在对被积函数做插值逼近时，多项式的次数越高，对被积函数的光滑程度要求也越高，且会出现Runge现象。如时
8、，牛顿柯特斯公式就是不稳定的。因而，人们把目标转向积分区间，类似分段插值，把积分区间分割成若干小区间，在每个小区间上使用次数较低的牛顿科斯特公式，然后把每个小区间上的结果加起来作为函数在整个区间上积分的近似，这是复化的基本思想。2.3.1复合梯形公式我们用等距节点将积分区间分成n个相等的子区间， =0,1,2,3,n，即=0,1,2,3,n每个子区间上使用梯形公式得于是假设在区间上连续，则在中比存在一点，使得从而有于是得到复合梯形公式且其中2.3.2 复合的辛普森公式我们用个等距点，将区间分成m个相等的子区间子区间的中点为且在每个子区间上使用辛普森公式得其中若在上连续，则 这样便得到辛普森公式
9、。其离散误差为 2.3.3 复合的柯特斯公式把区间划分为n等份，再将每个小区间分成四等分，分点依次为因此共有个节点，在每个小区间上用柯特斯公式，有于是记（2.3.3）称式（2.3.3）为复合的柯特斯公式。2.4逐次分半技术与龙贝格公式2.4.1梯形公式的递推化：2.4.2龙贝格公式事后误差估计即 一般的，同理，复化柯特斯公式龙贝格求积公式计算步骤：（1） 初值（2） 另计算（3） 求加速值 （4） 满足精度要求；否则转（2）.理查森外推加速方法：上述处理方法称为理查森外推加速方法。称为龙贝格求积算法。计算过程：（1）2.5高斯型求积公式考虑更一般形式的数值积分问题 ，若求积公式对一切不高于次的
10、多项式都等号成立，而对于某个次多项式等号不成立，则称此求积公式的代数精度为。公式具有次代数精度，则称此组节点为高斯点，并称此求积公式为高斯求积公式。2.5.1高斯勒让德求积公式。2.5.2高斯切比雪夫求积公式，称为高斯切比雪夫求积公式。2.5.3求积公式 区间0,+)上权函数W(x)=e-x的Gauss型求积公式,称为Gauss-Laguerre求积公式,其Gauss点为Laguerre多项式的零点. 公式的Gauss点和求积系数可在数学用表中查到 .由所以,对0, +)上权函数W(x)=1的积分,也可以构造类似的Gauss-Laguerre求积公式:2.6奇异积分的数值计算2.6.1反常积分
11、的计算对于被积函数在有限积分区间上无界的积分，通常称为反常积分，下面讨论几种反常积分的数值计算方法。（1） 变量替换法如果被积函数在积分区间中某点的邻域内无界，这样的点为奇点，不能利用其函数值直接进行积分，有时可以通过变量变换来消除奇点，使反常积分转化为正常积分。如计算积分其中为充分光滑的函数。解：是被积函数的奇点，若令，则得，这是正常积分，可以用正常积分的数值方法计算。（2） 区间截断法设为积分的奇点，则可以将积分写成若对的估计不太困难，即存在，使，则可忽略这部分，简单的计算正常积分.（3） 用高斯求积公式计算有些奇异积分可以直接利用高斯求积公式计算，将被积函数的奇异部分作为权函数处理，对于
12、没有现成高斯求积公式可用的奇异积分，也可用建立高斯求积公式的方法进行处理。2.6.2无穷区间积分的计算无穷区间上积分的计算，有些方法类似于反常积分的求积方法。无穷区间上的高斯型求积方法有专门的内容。（1） 变量替换法用变换或可以将无穷区间变换到区间或，类似的，用变换可以将无穷区间变换到区间。如果变换后的被积函数有界，则可用正常积分的方法计算。否则变成反常积分，可以考虑用反常积分方法处理。（2） 无穷区间截断法将无穷区间趋于无穷的部分截去，使无穷区间转化为有限区间。使用该方法要求事先能用某种简单的解析方法估计出截去部分的积分的最值。若可以选取，使则可忽略这部分，近似的计算无穷区间的积分（3） 无
13、穷区间上高斯型求积公式介绍两种适用于无穷积分区间的高斯型求积公式，对于无穷区间，权函数的正交多项式为多项式，由此可以构造求积公式，其中是次多项式的根，对于无穷区间，权函数的正交多项式为多项式，由此可以构造求积公式其中是次多项式的根，2.7振荡函数的积分在工程实际问题中，经常会遇到如下形如：，的积分，当m充分大时为高振荡函数的积分。对于高振荡函数的积分，如果采用插值求积法进行积分，则在建立被积函数或的插值多项式时，为了使能够很好地逼近它们，就要求也要振荡的很厉害，即要求插值多项式的次数足够高。但是，高次插值实际的逼近性质很不好，实用价值不大。即使采用分段低次插值，效果也不会很理想。因此，引进计算高振荡函数的积分的重要方法分部积分法。分部积分法的基本思想是，令：其中：则有：反复利用分部积分法可以得到分离出实部和虚部后就得到以下分部积分公式。2.7.1分部积分公式当积分区间为时，则变为2.7.2 Filon法在积分，若可表示为其中是一个小量，那么积分可表示为Filon法就是用的近似式求出积分，通常使用的抛物线插值函数做近似，也可用三次样条插值式做近似。二次插值多项式逼近将积分区间等分为个子区间，在每个区间上用的二次插值多项式来逼近，那么相应
