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1、Chapter2 线性规划模型和图解法 (Linear Programming-LP),LP方法应用的典型情况 LP的数学模型 LP模型的图解法 LP问题的计算机求解,本章主要内容：,Chapter2 线性规划模型和图解法,本章教学目的、重点、难点：,掌握线性规划问题数学模型建立和线性规划模型的特征； 线性规划模型的一般形式及标准形式，解的相关概念； 掌握两个变量线性规划问题的几何作图求解方法； 掌握两个变量线性规划模型可行域的特点及最优解存在的位置； 熟悉计算机QM软件求解线性规划问题的步骤。,1. 规划问题阐述,生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得
2、最大的效益，这就是规划问题。,线性规划通常解决下列两类问题：,（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标,（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）,LP方法应用的典型情况,2 在管理中一些典型的线性规划应用,LP方法应用的典型情况,（1） 生产的组织与计划问题：合理利用现有的 人 力、物力、财力做出最优产品生产计划。 （2）运输问题：根据生产单位的产量和销售单位的 销量，制订产品调运方案，使得总运费最小。 （3）合理下料问题：如何裁截下料，既满足生产需要，又
3、使得所用的材料数量最少。 （4） 配料问题：在原料供应量限制和保证产品成分含量的前提下，获取最优配料方案,2 在管理中一些典型的线性规划应用,LP方法应用的典型情况,（5）营销管理问题：要从几种媒体中选择一种组合，使其在广告费用预算条件下广告效益最好。 （6）投资组合问题：选择一组股票或证券进行投资，使得有最大的回报率。 （7）人力资源管理问题：在不同的时间段需要不同数量的劳动力，如何安排劳动力才能用最少的劳动力来满足工作的需要。,线性规划问题的数学模型,线性规划问题的数学模型,易拉罐的设计理念,具体下料-模型的建立,线性规划问题的数学模型,例1.2 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别
4、要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企业总的利润最大？,2 线性规划模型的建立,线性规划问题的数学模型,解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为：,线性规划问题的数学模型,3. 线性规划的数学模型由三个要素构成,决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints,其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式
5、。,怎样辨别一个模型是线性规划模型？,模型建立练习：P13,线性规划问题的数学模型,4. 线性规划数学模型的一般形式,简写为：,线性规划问题的数学模型,向量形式：,其中：,线性规划问题的数学模型,矩阵形式：,其中：,线性规划问题的数学模型,5. 线性规划问题的标准形式,特点： (1) 目标函数求最大值（有时求最小值） (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。,线性规划问题的数学模型,6 如何化标准形式,目标函数的转换,若存在取值无约束的变量 ，可令 其中：,变量的变换,线性规划问题的数学模型,约束方程的转换：由不等式转换为等式。,称为松弛变量,
6、称为剩余变量,变量 的变换,可令 ， 显然,线性规划问题的数学模型,例1.3 将下列线性规划问题化为标准形式,线性规划问题的数学模型,(2) 第一个约束条件是“”号，在“”左端加入松驰变量x4，x40,化为等式； (3) 第二个约束条件是“”号，在“”左端减去剩余变量x5，x50； (4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数； (5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到max z=-z，即当z达到最小值时z达到最大值，反之亦然;,线性规划问题的数学模型,标准形式如下：,学习要点小结： 1.线性规划模型在管理中的应用：生产组织，下料问题
7、等 2.线性规划模型的构成：目标函数、约束条件； 3.将一般形式转化标准形式：目标函数求最大、最小时； 约束条件变为不等号时；常数项为负时；决策变量无约束时；,小结,作业,作业： 课堂出题练习 思考： 建立模型后怎样进行求解？,线性规划模型的图解法,1. 基本概念,线性规划问题,求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。,可行解：满足约束条件（2）、(3)的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 最优值：最优解带入目标函数所得的值称为线性规划的最优值。 凸集：如果集合C中任何两点连线上所有的点都是
8、集合C中的点，则称该集合为凸集。,线性规划模型的图解法,线性规划模型的图解法,凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为凸集。,线性规划问题的求解方法,一 般 有 两种方法,图 解 法 单纯形法,两个变量、直角坐标,适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式,下面我们分析一下简单的情况 只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。,线性规划模型的图解法,线性规划模型图解法基本步骤： Step1：建立坐标系； Step2：图示约束条件； Step3：图示目标函数；
9、Step4：确定最优解；,图解法简单直观，有助于领会线性规划的基本性质及一般求解方法的基本思想。,线性规划模型的图解法,max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 3.8 X1 - 1.9X2 3.8 s.t. X1 + 1.9X2 10.2 X1 - 1.9X2 -3.8 X1 ，X2 0,例1.4 用图解法求解线性规划问题,线性规划模型的图解法,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8 (),X1 + 1.9X2 = 10.2(),4 = 2X1 + X2,20 = 2X1 + X2,17.2
10、 = 2X1 + X2,11 = 2X1 + X2,Lo： 0 = 2X1 + X2,（7.6，2）,D,max Z,min Z,此点是唯一最优解， 且最优目标函数值 max Z=17.2,可行域,max Z = 2X1 + X2,线性规划模型的图解法,max Z=3X1+5.7X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8(),X1 + 1.9X2 = 10.2 (),（7.6，2）,D,L0： 0=3X1+5.7X2,max Z,34.2 = 3X1+5.7X2,蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为
11、有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。,可行域,线性规划模型的图解法,min Z=5X1+4X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2 = 10.2 (),D,L0： 0=5X1+4X2,max Z,min Z,8=5X1+4X2,43=5X1+4X2,（0，2）,可行域,此点是唯一最优解,线性规划模型的图解法,2,4,6,x1,x2,2,4,6,无界解(无最优解),max Z=x1+2x2,例1.5,x1+x2=4(),x1+3x2=6(),3x1+x2=6(),max Z,min Z
12、,线性规划模型的图解法,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解(即无最优解),max Z=3x1+4x2,例1.6,线性规划模型的图解法,练习：,用图解法求解下面线性规划模型：,线性规划模型的图解法,分析：,用图解法求解下面线性规划模型：,图1最大化线性规划模型的图解法,线性规划模型的图解法,分析：,用图解法求解下面线性规划模型：,线性规划模型的图解法,分析：,用图解法求解下面线性规划模型：,可得C点坐标X1=4,X2=2，对应的目标函数值为,线性规划模型有以下4种情况： 唯一最优解：凸多边形的某个顶点； 无穷多最优解：目标函数直线和可行域边界一条
13、边 重合； 无界解：如果线性规划模型的解无限的变大（变小），却不违反任何约束条件； 无可行解：不存在在满足全部约束条件的解；,线性规划模型的图解法,计算机求解线性规规划问题,下面介绍QM软件的使用方法： Step1：双击QM软件图标，运行该软件。 Step2：选择“Module”按回车键，选择“Linear Programming”按回车键。选择“New” 按回车键, Step3： 在出现的窗口中确定约束方程个数、变量个数，选择最大值、最小值。并按“OK”确认。 Step4：输入数据。 Step5：选择“Solve”按回车键运行。 Step6：在“Windows”窗口中查看结果。（最优解、最优
14、值、迭代过程、影子价格）。,线性规划模型的图解法,线性规划模型的图解法,2.使用QM软件求解线性规划模型,选择线性规划模块（P12例题），输入目标函数系数和约束条件如图1所示：,图 1,线性规划模型的图解法,点击“SLOVE”按钮，进行求解，结果如图2所示。,图 2,学习要点小结： 1.线性规划模型的构成、将一般形式转化标准形式 2. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式 （唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解） 3. 作图的关键有三点： (1) 可行解区域要画正确 (2) 目标函数增加的方向不能画错 (3) 目标函数的直线怎样平行移动 4.计算机求解线性规划问题,小结,作业,课后作业：P24 1、2、3、4 思考： 求解松弛变量、剩余变量的意义？ 如果模型中的决策变量大于两个时考虑用什么方法求解？,
