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1、材料加工过程的数值模拟 微观组织数值模拟(II),任课教师: 王锦程,Office：公字楼216 Tel ：029-88460650(O) Email ： ,微观组织数值模拟简介 计算材料学简介 相变理论基础 热力学基础,基础知识,不同空间尺度下的组织结构,Molecular Dynamics Monte Carlo Method Cellular Automata Phase Field Models Front Tracking Method Level Set method ,微观组织的数值模拟方法,分子动力学（Molecular Dynamics）,分子动力学是在原子、分子水平上求解多
2、体问题的重要计算机模拟方法，可预测纳米尺度上的材料动力学特性。 在分子动力学中，粒子的运动行为是通过经典的Newton运动方程所描述。通过求解所有粒子的运动方程，可以模拟与原子运动路径相关的基本过程。,根据各个粒子运动的统计分析，即可推知体系的各种性质。如可能的构型、热力学性质、分子的动态性质、溶液中的行为，各种平衡态性质等。,给定条件参数(温度、粒子数、时间等) 体系初始化(初始位置和速度) 计算作用于所有粒子上的力 解牛顿运动方程，计算短时间内(Time Step)粒子的新位置 计算粒子新的速度和加速度 重复3-5直至体系达到平衡，获得新的原子位置 继续计算取得足够的数据，分析数据得到体系
3、的统计性质。,分子动力学模拟的一般步骤,a molecular dynamics simulation of laser melting,缺点: 准确的原子间相互作用势获取困难 空间、时间尺度均非常小（原子振动频率，ps） 计算量巨大,Monte-Carlo方法,蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称为计算机随机模拟方法，是以概率统计理论为基础的一种方法。二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在第二次世界大战美国进研制原子弹的曼哈顿计划中得到了应用。,Nicholas Metropolis,Enrico Fermi 物理
4、学家,John von Neumann 计算机科学家,Stanislaw Marcin Ulam 数学家,Buffon投针问题 1777年法国科学家蒲丰提出一种计算圆周的方法：将长为l的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为a( la）的平行线相交的频率代替概率P，再利用准确的关系式P=(2l)/(pa)求出p值,基本思想：将求解问题转化为某随机事件A出现的概率，通过某种“实验”方法，得出A事件出现的概率，进而得到问题的解。 建立构造一个与所求问题相关的概率过程; 实现从已知概率分布抽样; 建立各种估计量，从中得到问题的解。,优点 能够逼真地描述具有随机性质事物的特点及物理实验过程。 受几
5、何条件限制小。 收敛速度与问题的维数无关。 误差容易确定。 程序结构简单，易于实现。,缺点 收敛速度慢。 误差具有概率性。 进行模拟的前提是各输入变量相互独立。,蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。 在模拟晶粒的长大方面，目前最为广泛使用的是基于Potts模型的蒙特卡罗方法。,MC grain growth model polyhedral microstructures,MC solidification model Two-phase microstructures,Cellular Automata（元胞自动机
6、）,元胞自动机法是一种用来描述复杂系统在离散空间-时间上演化规律的数学算法。 元胞在某一时间步的状态转变由一定的演化规则来决定，并且这种转变是随时间推移对体系各元胞同步进行的。 元胞的状态受其相邻元胞状态的影响，同时也影响着相邻元胞的状态。局部之间相互作用，相互影响，通过一定的规则变化而整合成一总体行为。,Phase Field Method 相场法,相场模型是一种建立在热力学基础上，考虑有序化势与热力学驱动力的综合作用来建立相场方程描述系统演化动力学的模型。 其核心思想是引入一个或多个连续变化的序参量，用弥散界面模型代替传统的尖锐界面来描述界面。 相场法的不足是计算量巨大，可模拟的尺度较小（
7、最大可达几十个微米）。,将固相和液相中的热、质传输方程与固/液界面上的边界条件耦合起来，建立一个统一的控制方程。 原理简单，但需跟踪界面，计算步骤烦琐，难以处理枝晶生长时诸如枝晶分支合并等复杂的界面形貌演变及三维模拟的扩展，因此限制了它的发展。,Front Tracking Method 界面前沿跟踪法,1988年，Osher和Sethian最先提出了水平函数的概念 基本思想是将闭合轮廓表示为高维曲面等值点的集合，在一系列内力和外力的作用下，通过演化水平函数并跟踪它的零水平得到轮廓的演化过程.,Level Set Method 水平函数调整法(水平集),Level Set Method 水平函
8、数调整法,界面运动方程,Signed distance,利用 = 0 描述界面，定义 0 为液相且其值为至界面的距离， 0为固相且其绝对值为至界面的距离。,V为界面移动速度向量,在水平函数调整法中，水平函数代替了相场变量，它表示距固/液界面的距离，液相为正，固相为负，而界面为零。 根据水平函数求解速度场，确定新界面的位置； 继之，根据新的界面位置调整原有水平函数。 通过不断的迭代，求解出界面形貌的演化。 水平函数调整法虽避免了相场法的渐近分析，但未解决相场法计算量巨大的根本问题。,Level Set Method 水平函数调整法,Tracking interface makes the dif
9、ference!,S. Chen, B. Merriman,S. Osher, P. Smereka, J. Comp. Phys. 135, 829 (1997) S.Osher, R.P. Fedkiwy, J. Comp. Phys. 169, 463502 (2001) Lijian Tan, Nicholas Zabaras, J. Comp. Phys. 211 (2006) 3663,Computation time: 2 days with 8 nodes (16 CPUs).,基础知识 微观组织数值模拟简介 计算材料学简介 相变理论基础 热力学基础,L.D. Landau(1
10、908-1968): 1962 Nobel Prize“for his pioneering theories for condensed matter, especially liquid helium 二战后最杰出的物理学家，理论多面手(等离子物理，流体力学，核物理，量子场论和天体物理) 凝聚态物理理论： 二级相变理论，超导理论， 超流理论和Fermi液体理论. 概念: 元激发， 序参量和对称破缺,朗道相变理论,为了对连续相变进行理论分析，朗道提出了序参量的概念，认为连续相变的特征是物质有序程度的改变及与之相伴随的物质对称性质的变化。 通常在临界温度以下的相，对称性较低，有序度较高，序参量
11、非零；临界温度以上的相，对称性较高，有序性较低，序参量为零。随着温度的降低，序参量在临界点连续地从零变到非零。 强调对称性的重要性，对称性的存在与否是不容模棱两可的，高对称性相中某一对称元素突然消失，就对应于相变的发生，导致低对称相的出现。 是一种平均场理论。在临界点附近不一定适用（涨落很大且互相关联）,朗道相变理论,核心：对称破缺（Symmetry Broken ） 序参量: 低温有序相的一个标志，描述偏离对称的性质和程度。为某个物理量的平均值，可以是标量、矢量、复数或更加复杂的量。随对称性的不同，它在高温时为零，而低温下取有限值，在Tc处转变，对称破缺意味着序参量不为零的有序相的出现。序参
12、量可为标量、矢量、张量或复数。 精髓：将对称破缺这一概念引入了相变理论，将序参量不为零的有序相的出现和母相的对称性下降联系在一起。,自由能作为序参量的函数 将自由能对序参量作级数展开：,由于反演对称，不含奇次幂项 高于相变温度时，0使系统自由能达到极小； 低于相变温度时，0使系统自由能达到极小。,Landau理论的具体表达,T Tc,T Tc,T =Tc,基础知识 微观组织数值模拟简介 计算材料学简介 相变理论基础 热力学基础,相平衡,根据热力学原理，体系在恒温恒压下达到平衡的一般条件要求体系总的自由能达到最小值Gmin，即 或组元在各相中的化学位相等，即,一般来说，Gibbs自由能表达式的建
13、立主要有两种方法：一是直接提出描述体系Gibbs自由能的热力学模型；二是由实验数据经数学拟合得到数学表达式，并赋予物理意义。 恒压下，Gibbs自由能是温度和成分的函数，任一多组元溶体相的Gibbs自由能，可表示为：,构成溶体相的纯组元对Gibbs自由能的贡献,来自理想混合熵对Gibbs自由能的贡献,过剩Gibbs自由能，表示溶液偏离理想溶液的程度。,构成溶体相的纯组元对Gibbs自由能的贡献，是纯组元Gibbs自由能的线性叠加，相当于纯组元之间的简单机械混合，,纯组元i 的标准Gibbs自由能,因此，Gibbs自由能的求解关键是建立过剩Gibbs自由能的表达式,而理想混合熵对Gibbs自由能
14、的贡献可表示为,Ref. Gibbs energy,Ideal mixing energy,Excess free energy,Magnetic contribution,Equilibrium criteria,CALPHAD approach,CALPHAD: The only method to deal with multi-component and multi-phase system!,Experimental data,Crystal Structure,Thermodynamic data phase diagram data,理想溶体模型 规则溶体模型 亚规则溶体模型 缔
15、合溶液模型 亚点阵模型,常数， 则为规则溶液,相互作用参数,Disordered phase,CuAu NiAl,FCC Binary Alloy,Cu3Au Ni3Al,亚点阵模型认为晶格是由几个亚点阵相互穿插构成，粒子在每个亚点阵中随机混合。,A，B表示同处于一个亚点阵的两种组元；C，D表示同处于另外一个亚点阵的两种组元；a和c表示两个亚点阵的结点数的比例。,FCC_A1(disorder),L10(order),L12(order),F(order),(A,B)1,(A,B)0.25(A,B)0.75,(A,B)0.5(A,B)0.5,(A,B)0.5(A,B)0.25(A,B)0.25
16、,各亚点阵之间的相互作用可以忽略不计，过剩Gibbs自由能是描述同一亚点阵内组元的相互作用，此相互作用与其它亚点阵内组元的种类无关。 亚点阵模型中每一亚点阵的结点数目可以相同，也可以完全不同。 亚点阵的性质完全不同，每一组元只能进入一种亚点阵，而不能进入另一种亚点阵。 计算时，在每一个亚点阵内实行的是正规溶液近似。,双亚点阵模型,点阵分数,组元i在亚点阵s中所占据的结点数,亚点阵s中所有结点数,(A,B )a ( A,B )c,由于亚点阵模型假设各亚点阵之间的相互作用可以忽略不计，一个亚点阵内组元的相互作用与其它亚点阵内组元的种类无关。将每一个亚点阵中不同组元混合的理想混合熵相加，就可得到理想混合熵对Gibbs自由能的贡献。,Gibbs自由能的参考面是由每一个亚点阵中只有一种组元存在时的状态所定义的。是AaCc、 BaCc、 AaDc、 BaDc等化合物Gibbs自由能的机械混合,亚点阵模型的过剩Gibbs自由能是描述同一亚点阵内组元的相互作用对理想溶体的偏差。如果一个亚点阵上只有一种组元，则这个亚
