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1、第三章 统计案例,回归分析的基本思想及其初步应用,1、求回归直线方程的步骤：,（3）代入公式,（1）画散点图,例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。,3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。,思考 产生随机误差项e 的原因是什么？,我们可以用下面的线性回归模型来表示： y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数， e称为随机误差。,思考 产生随机误差项e的原因是什么？,随机误差e的来源(可以推
2、广到一般）： 1、其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能 还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 y 的观测误差。,假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上。这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了。,在例1中，残差平方和约为128.361。,例如，编号为6的女大学生，计算残差为：,类似于方差的定义,表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的
3、关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差图的定义：,然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始 数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。,我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。,残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域； 对于远离横轴的点，要特别注意。,身高与体重残差图,几点说明： 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集
4、过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。,R2越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。,如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。,总的来说： 相关指数R2是度量模型拟合效果的一种指标。 在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能
5、力。,例 关于x与y有如下数据： 有如下的两个线性模型： （1） ；（2） 试比较哪一个拟合效果更好。,第一个好,一般地，建立回归模型的基本步骤为：,（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。,（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）。,（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.,（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。,（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是 否合
6、适等。,案例2 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：,（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。 （2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？,画散点图,假设线性回归方程为 ：=bx+a,选 模 型,所以，一次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。,探索新知,方案1,当x=28时，y =19.8728-463.73 93,线性模型,奇怪？,9366 ? 模型不好？,方案2,问题3,合作探究,t=x2,二次函数模型,方案2解答,平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和
7、温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a,作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.54，相关指数R2=r20.8962=0.802,将t=x2代入线性回归方程得： y=0.367x2 -202.54 当x=28时，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802， 所以，二次函数模型中温度解 释了80.2%的产卵数变化。,产卵数,气温,指数函数模型,方案3,合作探究,对数,方案3解答,当x=28oC 时，y 44 ，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化,由计算器得：z关于x的线性回归方程 为z=0.118x-1.665 ， 相关指数R2=r20.99252=0.985,最好的模型是哪个?,线性模型,二次函数模型,指数函数模型,比一比,最好的模型是哪个?,总 结,作业： 导航P63 Ex 14 P66 Ex14,
