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1、第2章 连续时间傅里叶变换,2.1 引言 2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数 2.3 周期信号的频谱 2.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换 2.5 傅里叶变换的性质 2.6 周期信号的傅里叶变换 2.7 连续信号的抽样定理 2.8 连续系统的频域分析,2.1 引 言,LTI系统的特性完全可以由其单位冲激响应来表征，通过对LTI系统单位冲激响应的研究就可分析LTI系统的特性。,2.2 周期信号的连续时间傅里叶级数,满足Dirichlet条件的周期函数可以展成复指数形式的傅里叶级数:,2.2.1 指数形式的傅里叶级数,周期性方波信号,图 2.2-1 周期矩形脉冲信号,2.2.2 周期信号频谱的
2、特点,图 2.2-2 周期矩形脉冲信号,为得到该信号的频谱，先求其傅里叶级数的复振幅。,2.2.3 周期信号的频谱 周期信号的复振幅 一般为n的复函数，因而描述其特点的频谱图一般要画两个，一个称为振幅频谱，另一个称为相位频谱。振幅频谱以为横坐标，以振幅为纵坐标画出谱线图；相位频谱以为横坐标，以相位为纵坐标得到谱线图。 若信号的复振幅为n的实函数，其复振幅Fn与变量(n)的关系也可以用一个图绘出。,取样函数定义为,这是一个偶函数，且x0时，Sa(x)=1；当x=k时，Sa(k)=0。,据此，可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式，即,图 2.2-3 Sa(x)函数的波形,图 2.3-4
3、周期矩形脉冲信号的频谱,由图 2.3-4 可以看出，此周期信号频谱具有以下几个特点： 第一为离散性，此频谱由不连续的谱线组成，每一条谱线代表一个正弦分量，所以此频谱称为不连续谱或离散谱。 第二为谐波性，此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上，即含有的各次谐波分量，而决不含有非的谐波分量。 第三为收敛性，此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随n的变化有起伏变化，但总的趋势是随着n的增大而逐渐减小。 当n时，|Fn|0。,图 2.3-5 不同值时周期矩形信号的频谱 (a) =T/5; (b) =T/10,图 2.2-6 不同T值时周期矩形信号的频谱 (a) T=5; (b) T=10 ,周期
4、矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传输过程中，要求一个传输系统能将这无穷多个正弦分量不失真地传输显然是不可能的。实际工作中，应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而，常常将=0 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为,或,2.3.3 周期信号的功率,周期信号的能量是无限的，而其平均功率是有界的，因而周期信号是功率信号。为了方便，往往将周期信号在1电阻上消耗的平均功率定义为周期信号的功率。显然，对于周期信号f(t)， 无论它是电压信号还是电流
5、信号，其平均功率均为,因此，据函数正交分解中的帕塞瓦尔定理(式(2.1-16)，有,2.4 非周期信号的连续时间傅里叶变换,2.4.1 傅里叶变换,对于非周期信号，重复周期T趋于无限大，谱线间隔趋于无穷小量d，而离散频率n变成连续频率。在这种极限情况下，Fn趋于无穷小量，但 可望趋于有限值，且为一个连续函数，通常记为F(j)，即,非周期信号的傅里叶变换可简记为,一般来说，傅里叶变换存在的充分条件为f(t)应满足绝对可积， 即要求,2.4.2 非周期信号的频谱函数,由非周期信号的傅里叶变换可知:,频谱函数F(j)一般是复函数，可记为,习惯上将F()的关系曲线称为非周期信号的幅度频谱 (F()并不
6、是幅度!)，而将()曲线称为相位频谱，它们都是的连续函数。,f(t)为实函数时，根据频谱函数的定义式不难导出:,式中：,与周期信号的傅里叶级数相类似，F()、()与R()、 X()相互之间存在下列关系：,在f(t)是实函数时： (1) 若f(t)为t的偶函数，即f(t)=f(-t)，则f(t)的频谱函数F(j)为的实函数， 且为的偶函数。 (2) 若f(t)为t的奇函数，即f(-t)=-f(t)，则f(t)的频谱函数F(j)为的虚函数，且为的奇函数。 与周期信号类似，也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式，即,2.4.3 典型信号的傅里叶变换,例 2.4-1 图 2.4-1(a
7、)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为， 高度为1，通常用符号g(t)来表示。试求其频谱函数。,解 门函数g(t)可表示为,图 2.4-1 门函数及其频谱 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱,例 2.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数。,图 2.4-2 单边指数函数e-t及其频谱 (a) 单边指数函数e-t; (b) e-t的幅度谱,其振幅频谱及相位频谱分别为,解,例 2.4-3 求图 2.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。,图 2.4-3 双边指数函数及其频谱 (a) 双边指数函数； (b) 频谱,例 2.4-4 求图 2.4-4(a)所示信号
8、f(t)的频谱函数。,图 2.4-4 例 2.4-4 图 (a) 信号f(t); (b) 频谱,(a0),解 图示信号f(t)可表示为,例 2.4-5 求单位冲激函数(t)的频谱函数。,图 2.4-5 信号(t)及其频谱 (a) 单位冲激信号(t); (b) (t)的频谱,解,可见，冲激函数(t)的频谱是常数1。也就是说，(t)中包含了所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。 显然， 信号(t)实际上是无法实现的。,根据分配函数关于(t)的定义， 有,例 2.4-6 求直流信号1的频谱函数。,图 2.4-6 直流信号f(t)及其频谱 (a) 直流信号f(t); (b) 频谱,解 直流信
9、号1可表示为,例 2.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。,考察例 2.4-4 所示信号f(t),当0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频谱函数F(j)当0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。 例 2.4-4 所示信号的频谱函数为，从而有,图 2.4-7 符号函数Sgn(t)及其频谱 (a)Sgn(t)的波形； (b) 频谱,例 2.4-8 求阶跃函数(t)的频谱函数。,由阶跃函数(t)的波形容易得到,解,从而就可更为方便地求出(t)的频谱函数， 即,图 2.4-8 阶跃函数及其频谱 (a) (t)的波形； (b) 频谱,表 2.1 常用傅里叶变换对,续表,2
10、.5 傅里叶变换的性质,根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数函数的积分， 即,1. 线性,若,且设a1, a2为常数，则有,2. 时移性 若f(t) F(j)， 且t0为实常数(可正可负)，则有,此性质可证明如下。,例 2.5-1 求图 2.5-1(a)所示信号的频谱函数。,图 2.5-1 例 2.5-1 的图 (a) f(t)的波形； (b) 相位谱,解,2. 频移性,频谱搬移的原理是将信号f(t)乘以载频信号cos0t或sin0t, 从而得到f(t) cos 0t或f(t) sin 0t 的信号。因为,例 2.5-2 求高频脉冲信号f(t)(图 2.5-2(a)的频谱。,图
11、2.5-2 高频脉冲信号及其频谱 (a) f(t)的波形； (b) 频谱,解 图2.5-2(a)所示高频脉冲信号f(t)可以表述为门函数g(t)与cos 0t相乘，即,4. 尺度变换,当a0时：,尺度变换性质表明，信号的持续时间与其频带宽度成反比。在通信系统中，为了快速传输信号，对信号进行时域压缩，将以扩展频带为代价，故在实际应用中要权衡考虑。 在尺度变换性质中， 当a=-1时，有,也称为时间倒置定理。,5. 对称性,我们知道,图2.5-4 取样函数 及其频谱,6. 时域卷积,在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位，它将系统分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起。在时域分析中， 求某线性系统
12、的零状态响应时，若已知外加信号f(t)及系统的单位冲激响应h(t), 则有,在频域分析中，若知道F(j)=Ff(t)，H(j)=Fh(t)， 则据卷积性质可知,7. 频域卷积,应用频移性质，可知,8. 时域微分,例如，我们知道 , 利用时域微分性质显然有,此性质表明，在时域中对信号f(t)求导数， 对应于频域中用j乘f(t)的频谱函数。如果应用此性质对微分方程两端求傅里叶变换， 即可将微分方程变换成代数方程。从理论上讲，这就为微分方程的求解找到了一种新的方法。 此性质还可推广到f(t)的n阶导数， 即,9. 时域积分,时域积分性质多用于F(0)=0的情况，而F(0)=0表明f(t)的频谱函数中
13、直流分量的频谱密度为零。,=0,例 2.5-4 求图 2.5-5(a)所示梯形信号f(t)的频谱函数。 解 若直接按定义求图示信号的频谱，会遇到形如te-jt的繁复积分求解问题。而利用时域积分性质，则很容易求解。 将f(t)求导，得到图 2.5-5(b)所示的波形f1(t)，将f1(t)再求导， 得到图 2.5-5(c)所示的f2(t)， 显然有,图 2.5-5 梯形信号及其求导的波形,据时移性质有,图 2.5-6 另一种梯形信号,12. 帕塞瓦尔定理,设 , 则,在周期信号码傅里叶级数计论中，我们曾得到周期信号的帕塞 瓦尔定理，即,一般来说，非周期信号不是功率信号，其平均功率为零，但其能量为
14、有限量，因而是一个能量信号。非周期信号的总能量W为,非周期信号的帕塞瓦尔定理表明，对非周期信号，在时域中求得的信号能量与频域中求得的信号能量相等。由于,是 的偶函数，因而（3 5-19）还可写为,非周期信号是由无限多个振幅为无穷小的频率分量组成的，各频率分量的能量也为无穷小量。为了表明信号能量在频率分量上的分布情况，与频谱密度函数相似，引入 个能量密度频谱函数，简称为能量谱。能量谱G（ ）为各频率点上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部能量为,与式（3。5-20）,表 2.2 傅里叶变换的性质,2.6 周期信号的傅里叶变换,设f(t)为周期信号，其周期为T，依据周期信号的傅里叶级
15、数分析， 可将其表示为指数形式的傅里叶级数。即,例 2.6-1 求图 2.6-1(a)所示周期矩形脉冲f(t)的频谱函数F(j)。,图 2.6-1 周期矩形脉冲信号及其频谱 (a) f(t)的波形； (b) 复振幅Fn; (c) 频谱函数F(j),解 周期矩形脉冲f(t)的复振幅Fn为,例 2.6-2 图2.6-2(a)为周期冲激函数序列T(t)，其周期为T，T(t)可表示为,m为整数,图 2.6-2 周期冲激序列及其频谱,解 先求T(t)的复振幅Fn：,设一周期信号fT(t)，其周期为T，fT(t)中位于第一个周期的信号若为fa(t)，则不难得到,已经知道,2.7 连续信号的抽样定理,2.7
16、.1 信号的时域抽样定理,图 2.7-1 信号的抽样,图 2.7-1 所示的抽样原理从理论上分析可表述为f(t)与抽样脉冲序列PTs(t)的乘积，即,式中的抽样脉冲序列PTs如图 2.7-2 所示。它实际上就是例 2.6 - 1 所讨论过的周期矩形脉冲函数，可表示为,图 2.7-2 抽样脉冲序列PTs(t),图 2.7-3 理想抽样的过程及其有关波形,1. 抽样定理 连续时间信号f(t)的时域抽样定理可表述为：在频率fmHz以上没有频谱分量的带限信号，由它在均匀间隔上的抽样值惟一地决定， 只要其抽样间隔Ts小于或等于 。 由抽样定理可知，要求被抽样的信号f(t)为带限信号，即频带有限的信号。其最高频率为fm， 最高角频率m=2fm，即当|m时，F(j)=0。带限信号的概念示于图2.7-4。,图 2.7-4 带限信号及其频谱,设信号f(t)为带限信号，其最高频率分量为fm，最高角频率为m=2fm，即当|m时，F(j)=0。带限信号f(t)的波形及频谱示于图 2.7-5(a)
