《10-(7.8)傅里叶级数,正弦,余弦级数(最新-编写)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《10-(7.8)傅里叶级数,正弦,余弦级数(最新-编写)（55页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,三角函数系的正交性,函数展开成傅里叶级数,小结 思考题 作业,(傅氏级数Fourier series),问题的提出,第七八节 傅里叶(Fourier)级数,正弦级数或余弦级数,第十一章 无穷级数,2,上一节详细研究了一种重要的函数项级数:,幂级数.,下面研究另一种重要的函数项级数:,这种级数是由于研究周期现象的需要而,产生的.,它在电工、力学和许多学科中都有很,重要的应用.,傅里叶(Fourier,1768-1830) 法国数学家和物理学家.,法国科学院院士,英国皇家学会会员.,傅里叶,级数.,3,1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时,1759年,拉格朗日在对声学的研究中也使
2、用了三角级数.,用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角,1777年,欧拉在研究天文学的时候,级数时的系数,也就是现今教科书中傅里叶级数,的系数.,大胆地采用了,历史朔源,三角级数表示函数:,4,微分方程是分不开的.,析学的发展.,形所采用的三角级数方法进行加工处理,1753年,的解表示为三角级数的形式,这为函数的傅里叶,展开这个纯数学问题奠定了物理基础,促进了分,在历史上,丹贝努利首先提出将弦振动方程,1822年,傅里叶在热的解析理论一书中,对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的，,特殊的情,发展成,一般理论.,三角级数的出现和发展,与求解,5,一、问题的提出,在自然界和人类的生产实践中,周而复始
3、,的现象,周期运动是常见的.,如行星的飞转,飞轮的旋转,蒸气机活塞的,往复运动,物体的振动,声、光、电的波动等.,数学上,用周期函数来描述它们.,最简单最基本,的周期函数是,谐函数,振幅,时间,角频率,初相,简谐波,简谐振动,正弦型函数,6,如矩形波,不同频率正弦波,除了正弦函数外,常遇到的是非正弦周期函数,较复杂的周期现象,逐个叠加,分解,7,8,9,10,11,12,设想,一个较复杂的周期运动(如矩形波)分解,为简谐振动的迭加.,会给分析问题带来方便.,是把一个复杂的周期函数 f(t),反映在数学上,的迭加,表示为各类正弦函数,谐波分析,或再利用三角恒等式,变形为,即,13,三角级数,？,
4、函数 f (t) 满足什么条件,系数,才能展为,如何确定?,为简便计,先来讨论以 为周期的函数 f(x),解决上述问题起着关键作用的是:,三角函数系的正交性(orthogonality).,三角级数?,14,三角函数系,二、三角函数系的正交性,的正交性是指:,其中任何两个不同的函数的乘积,在一个周期长的区间,而任,一个函数的自乘(平方)在,即有,orthogonality,15,16,1.傅里叶系数 (Fourier coefficient),两边积分,三、函数展开成傅里叶级数,17,18,19,则,希望自己证明,20,傅里叶系数,由这些系数作成的三角级数,21,称为函数 f(x)(诱导出)的
5、傅里叶级数,f(x) ,f(x)的傅里叶级数不见得收敛；,即使收敛，,级数的和也不一定是 f(x).,不能无条件的,下面的傅里叶级数收敛定理回答了我们.,所以,把符号“”,它的傅里叶级数收敛，,记为,当 f(x)满足什么条件时，,并收敛于f(x)本身.,换为“=”.,22,2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件,(收敛定理),定义 若,只有有限个单调区间,则称,逐段单调.,即,只有有限个极值点.,23,2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件,(收敛定理),24,当x是f (x)的连续点时,当x是f (x)的间断点时,当 时,傅氏级数的和函数与函数f(x)的关系,由定理可知:,25,
6、(1)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成,(2) 周期函数的三角级数展开是唯一的,就是,常说把 f (x)在 上展开成傅氏级数.,(3) 要注明傅氏级数的和函数与函数f (x)相等,幂级数的条件低得多;,其傅里叶级数,的区域.,就是函数,在一个周期内的平均值;,26,解,可以将f (x)展开为傅氏级数.,因为,所以,其傅氏级数在 处收敛于( ).,设函数f(x)以 为周期,且,27,周期函数的傅里叶级数解题程序:,并验证是否满足狄氏条件,(画图目的: 验证狄氏条件;,由图形写出收敛域;,易看出奇偶性可减少求系数的工作量);,(2) 求出傅氏系数;,(3) 写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于f
7、(x).,(1) 画出 f (x)的图形,28,解,计算傅里叶系数,例1,将 f (x) 展开为傅里叶级数.,f (x) 的图象,29,30,故 f (x)的傅里叶级数,31,由于f (x)满足狄利克雷充分条件,由收敛定理得,32,33,上有定义;,(3) F(x)可展为傅氏级数;,作 法,对于非周期函数,如果 f (x)只在区间,上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成,傅氏级数.,(1) f (x) 在,(周期延拓);,级数收敛于,34,解,例2 将函数,展开为傅氏级数.,拓广的周期函数的傅氏级数展开式在,计算傅里叶系数,所给函数在区间,满足狄氏充要条件,收敛于 f (x).,35,偶函
8、数,奇函数,36,所求函数的傅氏展开式为,利用傅氏展开式求级数的和,37,为周期的傅氏级数的和函数S(x)在 上的,解,S(x) =,表达式.,例3,38,1。周期为2l的周期函数,对于周期为2l的周期函数，可利用函数系,将它展开为Fourier级数，即有下列定理,四、任意区间上的Fourier级数,39,2. 狄利克雷(Dirichlet)充分条件,(收敛定理),40,其中傅里叶系数,若x为f的第一类间断点，则,41,由奇函数与偶函数的积分性质,系数的公式,易得下面的结论.,和傅里叶,此时称傅里叶级数为,(sine series),正弦级数,sine series and cosine se
9、ries,五、正弦级数和余弦级数,它的傅里叶系数为,42,此时称傅里叶级数为,将函数展为傅里叶级数时,先要考查函数,是非常有用的.,是否有奇偶性,(cosine series),余弦级数,它的傅里叶系数为,43,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,奇函数,设 f (x)是周期为 的周期函数,它在,例4,上的表达式为,将 f (x)展开成傅氏级数.,f (x)的图形,44,45,正弦级数,46,47,奇延拓,偶延拓,两种:,正弦级数.,偶函数,奇函数,余弦级数;,因而展开成,因而展开成,48,上有定义.,作法,3. F(x)可展开为傅氏级数, 这个级数必定是,得到 f (x)的正弦级数 的展开式
10、.,(偶函数),的奇函数,正弦级数,(余弦级数),(余弦级数),其实也不必真正实施这一手续.,满足收敛定理的条件,1. f (x)在,2. 在开区间,内补充定义,得到定义在,上的函数F(x),使它成为 在上,49,解,(1) 求正弦级数.,奇延拓,正弦级数,分别展开成正弦级数和余弦级数.,例,50,(2) 求余弦级数.,又可展成余弦级数,既可展成正弦级数,其傅氏级数不唯一.,余弦级数,偶延拓,上有定义的函数,但同一形式的展式是唯一的.,51,例 设,52,例,53,基本概念(三角级数、三角函数系的正交性),函数展开成傅里叶级数(傅里叶系数、 傅里叶级数 、按狄利克雷收敛定理写出傅里叶级数的和),傅里叶级数的意义 整体逼近,六、小结,函数 f(x)在区间 展开为傅里叶正弦级数或余弦级数,特点：,问题明确，,解法固定,54,思考题,是非题,则必有,是,因为,即意味着所论的级数收敛于 f (x).,由级数收敛的,必要条件知,由于,是线性无关的,从而有,55,作 业,习题10.7 (291页）,(A) 2. (1) 3.,习题10.8 (297页）,(A) 4. 8.,
