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1、高中数学精品资料 2020.8 【高中数学竞赛训练题】 湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一) 姓名:班级:分数: 一、填空题(本题满分56 分,每小题7 分。 ) 1已知复数m满足1 1 m m,则 2009 2008 1 m m 2 设2cossin 2 3 cos 2 1 )( 2 xxxxf, 4 , 6 x, 则)(xf的 值 域 为 3设等差数列 n a的前 n 项和为 n S,若0,0 1615 SS,则 15 15 2 2 1 1 , a S a S a S 中最大 的是 4 已知O 是锐角ABC 的外心,10,6 ACAB,若ACyABxAO,且 5102yx,则B
2、ACcos 5已知正方体 1111 DCBAABCD的棱长为1,O 为底面 ABCD 的中心, M,N 分别 是棱 A1D1和 CC1的中点则四面体 1 MNBO的体积为 6设6 ,5 ,4, 3,2, 1CBA,且2 ,1BA,CB4,3,2, 1,则符合条件 的),(CBA共有组 (注:CBA,顺序不同视为不同组 ) 7 设xxxxxxycscseccottancossin,则| y的最小值 为 8设 p 是给定的正偶数,集合,3,22| 1 NmmxxxA pp p 的所有元素的 和是 二、解答题(本题满分64 分,第 9 题 14 分,第 10 题 15 分,第 11 题 15 分,第
3、 12 题 20 分。 ) 9 设 数 列)0(nan 满 足2 1 a,)( 2 1 22nmnmnm aanmaa , 其 中 nmnm,N (1)证明:对一切Nn,有22 12nnn aaa; (2)证明:1 111 200921 aaa 10求不定方程21533 654321 xxxxxx的正整数解的组数 11已知抛物线C: 2 2 1 xy与直线 l:1kxy没有公共点,设点P 为直线 l 上的 动点,过 P 作抛物线C 的两条切线, A,B 为切点 (1)证明:直线AB 恒过定点 Q; 12设dcba,为正实数,且4dcba证明: 2 2222 )(4ba a d d c c b
4、b a 湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一) 参考答案 一、填空题(本题满分56 分,每小题7 分。 ) 1已知复数 m满足1 1 m m,则 2009 20081 m m0 2 设2cossin 2 3 cos 2 1 )( 2 xxxxf, 4 , 6 x, 则)(xf的 值 域 为 3 2, 2 4 3设等差数列 n a的前 n 项和为 n S,若0,0 1615 SS,则 15 15 2 2 1 1 , a S a S a S 中最大 的是 8 8 S a 4 已知O 是锐角ABC 的外心,10,6 ACAB,若ACyABxAO,且 5102yx,则BACcos 1 3 5
5、已知正方体 1111DCBAABCD 的棱长为1,O 为底面 ABCD 的中心, M,N 分别 是棱 A1D1和 CC1的中点则四面体 1 MNBO的体积为 7 48 6设6 ,5 ,4, 3,2, 1CBA,且2 ,1BA,CB4,3,2, 1,则符合条件 的),(CBA共有1600 组 (注:CBA,顺序不同视为不同组 ) 7 设xxxxxxycscseccottancossin, 则| y的 最 小 值 为 2 21 8设 p 是给定的正偶数,集合,3,22| 1 NmmxxxA pp p 的所有元素的 和是 211 22 pp 二、解答题(本题满分64 分,第 9 题 14 分,第 1
6、0 题 15 分,第 11 题 15 分,第 12 题 20 分。 ) 9 设 数 列)0(nan 满 足2 1 a,)( 2 1 22nmnmnm aanmaa , 其 中 nmnm,N (1)证明:对一切Nn,有22 12nnn aaa; (2)证明:1 111 200921 aaa 证明(1)在已知关系式)( 2 1 22nmnmnm aanmaa 中,令nm,可得 0 0 a; 令 0n ,可得 maa mm 24 2 令 2nm ,可得 )( 2 1 2 242222nnn aaaa 由 得)1(24 122 naa nn ,624 12 aa,)2(24 242 naa nn ,
7、naa nn 24 2 , 代入,化简得22 12nnnaaa -7分 (2)由22 12nnn aaa,得2)()( 112nnnn aaaa,故数列 1nn aa 是首项为2 01 aa,公差为2 的等差数列,因此22 1 naa nn 于是 n k n k kkn nnkaaaa 11 01 )1(0)2()( 因为)1( 1 11 )1( 11 n nnnnan ,所以 1 2010 1 1) 2010 1 2009 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1( 111 200921 aaa -14分 10求不定方程21533 654321 xxxxxx的正整数解的组数 解令xxxx
8、321 ,yxx 54 ,zx6,则1,2,3zyx 先考虑不定方程2153zyx满足1,2, 3zyx的正整数解 1,2,3zyx,123215yxz,21z -5分 当 1z 时 , 有163yx, 此 方 程 满 足2,3 yx的 正 整 数 解 为 )4,4(),3,7(),2,10(),(yx 当2z时,有113yx,此方程满足2,3 yx的正整数解为)2,5(),(yx 所以不定方程2153zyx满足1,2, 3zyx的正整数解为 )2,2, 5(),1,4,4(),1, 3,7(),1,2,10(),(zyx -10分 又 方 程)3,( 321 xNxxxxx的 正 整 数 解
9、 的 组 数 为 2 1x C , 方 程 yxx 54 )2,(xNy的正整数解的组数为 1 1 Cy ,故由分步计数原理知,原不定方程 的正整数解的组数为 81693036CCCCCCCC 1 1 2 4 1 3 2 3 1 2 2 6 1 1 2 9 -15分 11已知抛物线C: 2 2 1 xy与直线 l:1kxy没有公共点,设点P 为直线 l 上的 动点,过 P 作抛物线C 的两条切线, A,B 为切点 (1)证明:直线AB 恒过定点 Q; (2)若点 P 与(1)中的定点Q 的连线交抛物线C 于 M,N 两点,证明: QN QM PN PM 证明(1)设 11 (,)A x y,则
10、 2 11 2 1 xy 由 2 2 1 xy得xy,所以 1 1 |xy xx 于是抛物线C 在 A 点处的切线方程为)( 111 xxxyy,即 11 yxxy 设)1,( 00kxxP,则有11001yxxkx 设 22 (,)B xy,同理有 2200 1yxxkx 所以 AB 的方程为yxxkx 00 1,即0)1()( 0 ykxx, 所以直线 AB 恒过定点)1 ,(kQ-7分 (2)PQ 的方程为 0 0 2 ()1 kx yxk xk ,与抛物线方程 2 2 1 xy联立,消去y,得 0 2)22(42 0 0 2 0 0 2 kx kxk x kx kx x 设),( 33
11、 yxM,),( 44 yxN,则 kx kxk xx kx kx xx 0 0 2 43 0 0 43 2)22( , 42 要证 QN QM PN PM ,只需证明 kx xk xx xx 4 3 04 03 ,即 02)(2 043043 kxxxxkxx 由知, 式左边 = 0 0 0 0 0 0 2 2 42 )( 4)22(2 kx kx kx xk kx kxk 0 )(2)42)(4)22(2 0 00000 2 kx kxkxkxxkkxk 故式成立,从而结论成立-15分 12设dcba,为正实数,且4dcba证明: 2 2222 )(4ba a d d c c b b a
12、证明 因为 4dcba ,要证原不等式成立,等价于证明 dcba ba dcba a d d c c b b a 22222 )(4 -5分 事实上, )( 2222 dcba a d d c c b b a )2()2()2()2( 2222 da a d cd d c bc c b ab b a 2222 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ad a dc d cb c ba b -10分 由柯西不等式知 2222 ()()()() () abbccdda abcd bcda 2 |)|(|addccbba-15分 又由|abaddccb知 22 )(4|)|(|baaddccbba 由,可知式成立,从而原不等式成立-20分 精心整理资料,感谢使用!