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1、高中数学精品资料 2020.8 【高中数学竞赛训练题】 湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一） 姓名：班级：分数： 一、填空题（本题满分56 分，每小题7 分。 ） 1已知复数m满足1 1 m m，则 2009 2008 1 m m 2 设2cossin 2 3 cos 2 1 )( 2 xxxxf， 4 , 6 x， 则)(xf的 值 域 为 3设等差数列 n a的前 n 项和为 n S，若0,0 1615 SS，则 15 15 2 2 1 1 , a S a S a S 中最大 的是 4 已知O 是锐角ABC 的外心，10,6 ACAB，若ACyABxAO，且 5102yx，则B
2、ACcos 5已知正方体 1111 DCBAABCD的棱长为1，O 为底面 ABCD 的中心， M，N 分别 是棱 A1D1和 CC1的中点则四面体 1 MNBO的体积为 6设6 ,5 ,4, 3,2, 1CBA，且2 ,1BA，CB4,3,2, 1，则符合条件 的),(CBA共有组 （注：CBA,顺序不同视为不同组 ） 7 设xxxxxxycscseccottancossin，则| y的最小值 为 8设 p 是给定的正偶数，集合,3,22| 1 NmmxxxA pp p 的所有元素的 和是 二、解答题（本题满分64 分，第 9 题 14 分，第 10 题 15 分，第 11 题 15 分，第
3、 12 题 20 分。 ） 9 设 数 列)0(nan 满 足2 1 a，)( 2 1 22nmnmnm aanmaa ， 其 中 nmnm,N （1）证明：对一切Nn，有22 12nnn aaa； （2）证明：1 111 200921 aaa 10求不定方程21533 654321 xxxxxx的正整数解的组数 11已知抛物线C： 2 2 1 xy与直线 l：1kxy没有公共点，设点P 为直线 l 上的 动点，过 P 作抛物线C 的两条切线， A，B 为切点 (1)证明：直线AB 恒过定点 Q； 12设dcba,为正实数，且4dcba证明： 2 2222 )(4ba a d d c c b
4、b a 湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（一） 参考答案 一、填空题（本题满分56 分，每小题7 分。 ） 1已知复数 m满足1 1 m m，则 2009 20081 m m0 2 设2cossin 2 3 cos 2 1 )( 2 xxxxf， 4 , 6 x， 则)(xf的 值 域 为 3 2, 2 4 3设等差数列 n a的前 n 项和为 n S，若0,0 1615 SS，则 15 15 2 2 1 1 , a S a S a S 中最大 的是 8 8 S a 4 已知O 是锐角ABC 的外心，10,6 ACAB，若ACyABxAO，且 5102yx，则BACcos 1 3 5
5、已知正方体 1111DCBAABCD 的棱长为1，O 为底面 ABCD 的中心， M，N 分别 是棱 A1D1和 CC1的中点则四面体 1 MNBO的体积为 7 48 6设6 ,5 ,4, 3,2, 1CBA，且2 ,1BA，CB4,3,2, 1，则符合条件 的),(CBA共有1600 组 （注：CBA,顺序不同视为不同组 ） 7 设xxxxxxycscseccottancossin， 则| y的 最 小 值 为 2 21 8设 p 是给定的正偶数，集合,3,22| 1 NmmxxxA pp p 的所有元素的 和是 211 22 pp 二、解答题（本题满分64 分，第 9 题 14 分，第 1
6、0 题 15 分，第 11 题 15 分，第 12 题 20 分。 ） 9 设 数 列)0(nan 满 足2 1 a，)( 2 1 22nmnmnm aanmaa ， 其 中 nmnm,N （1）证明：对一切Nn，有22 12nnn aaa； （2）证明：1 111 200921 aaa 证明（1）在已知关系式)( 2 1 22nmnmnm aanmaa 中，令nm，可得 0 0 a； 令 0n ，可得 maa mm 24 2 令 2nm ，可得 )( 2 1 2 242222nnn aaaa 由 得)1(24 122 naa nn ，624 12 aa，)2(24 242 naa nn ，
7、naa nn 24 2 ， 代入，化简得22 12nnnaaa -7分 （2）由22 12nnn aaa，得2)()( 112nnnn aaaa，故数列 1nn aa 是首项为2 01 aa，公差为2 的等差数列，因此22 1 naa nn 于是 n k n k kkn nnkaaaa 11 01 )1(0)2()( 因为)1( 1 11 )1( 11 n nnnnan ，所以 1 2010 1 1) 2010 1 2009 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1( 111 200921 aaa -14分 10求不定方程21533 654321 xxxxxx的正整数解的组数 解令xxxx
8、321 ，yxx 54 ，zx6，则1,2,3zyx 先考虑不定方程2153zyx满足1,2, 3zyx的正整数解 1,2,3zyx，123215yxz，21z -5分 当 1z 时 ， 有163yx， 此 方 程 满 足2,3 yx的 正 整 数 解 为 )4,4(),3,7(),2,10(),(yx 当2z时，有113yx，此方程满足2,3 yx的正整数解为)2,5(),(yx 所以不定方程2153zyx满足1,2, 3zyx的正整数解为 )2,2, 5(),1,4,4(),1, 3,7(),1,2,10(),(zyx -10分 又 方 程)3,( 321 xNxxxxx的 正 整 数 解
9、 的 组 数 为 2 1x C ， 方 程 yxx 54 )2,(xNy的正整数解的组数为 1 1 Cy ，故由分步计数原理知，原不定方程 的正整数解的组数为 81693036CCCCCCCC 1 1 2 4 1 3 2 3 1 2 2 6 1 1 2 9 -15分 11已知抛物线C： 2 2 1 xy与直线 l：1kxy没有公共点，设点P 为直线 l 上的 动点，过 P 作抛物线C 的两条切线， A，B 为切点 (1)证明：直线AB 恒过定点 Q； (2)若点 P 与（1）中的定点Q 的连线交抛物线C 于 M，N 两点，证明： QN QM PN PM 证明(1)设 11 (,)A x y，则
10、 2 11 2 1 xy 由 2 2 1 xy得xy，所以 1 1 |xy xx 于是抛物线C 在 A 点处的切线方程为)( 111 xxxyy，即 11 yxxy 设)1,( 00kxxP，则有11001yxxkx 设 22 (,)B xy，同理有 2200 1yxxkx 所以 AB 的方程为yxxkx 00 1，即0)1()( 0 ykxx， 所以直线 AB 恒过定点)1 ,(kQ-7分 (2)PQ 的方程为 0 0 2 ()1 kx yxk xk ，与抛物线方程 2 2 1 xy联立，消去y，得 0 2)22(42 0 0 2 0 0 2 kx kxk x kx kx x 设),( 33
11、 yxM，),( 44 yxN，则 kx kxk xx kx kx xx 0 0 2 43 0 0 43 2)22( , 42 要证 QN QM PN PM ，只需证明 kx xk xx xx 4 3 04 03 ，即 02)(2 043043 kxxxxkxx 由知， 式左边 = 0 0 0 0 0 0 2 2 42 )( 4)22(2 kx kx kx xk kx kxk 0 )(2)42)(4)22(2 0 00000 2 kx kxkxkxxkkxk 故式成立，从而结论成立-15分 12设dcba,为正实数，且4dcba证明： 2 2222 )(4ba a d d c c b b a
12、证明 因为 4dcba ，要证原不等式成立，等价于证明 dcba ba dcba a d d c c b b a 22222 )(4 -5分 事实上， )( 2222 dcba a d d c c b b a )2()2()2()2( 2222 da a d cd d c bc c b ab b a 2222 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 ad a dc d cb c ba b -10分 由柯西不等式知 2222 ()()()() () abbccdda abcd bcda 2 |)|(|addccbba-15分 又由|abaddccb知 22 )(4|)|(|baaddccbba 由，可知式成立，从而原不等式成立-20分 精心整理资料，感谢使用！
