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1、课题谈函数与方程(零点问题)的解题方法解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想(1)函数零点的定义对于函数yf(x) (xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x) (xD)的零点(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解也可以说：如果函数yf(x)在区间a，b上的
2、图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根提醒此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数(3)几个等价关系函数yf(x)有零点 方程f(x)0有实数根 函数yf(x)的图象与函数y0(即x轴)有交点推广：函数yf(x)g(x)有零点 方程f(x)g(x)0有实数根 函数yf(x)g(x)的图象与y0(即x轴)有交点 推广的变形：函数yf(x)g(x)有零点 方程f(x)g(x)有实数根 函数yf(x)的图象与yg(x)有交点1函数的零点是函数yf(x)与x轴的交点吗？是否
3、任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数yf(x)与x轴的交点，而是yf(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)0有根的函数yf(x)才有零点2若函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)f(b)03若函数yf(x)在区间(a，b)内，有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有： 1函数零点的
4、求解与所在区间的判断；2判断函数零点个数；3利用函数的零点求解参数及取值范围考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1(2015温州十校联考)设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)【解析】法一：f(1)ln 11210，f(2)ln 20，f(1)f(2)0，函数f(x)ln xx2的图象是连续的，函数f(x)的零点所在的区间是(1，2)法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1，2)【答案】B2(2015西安五校联考)
5、函数yln(x1)与y的图象交点的横坐标所在区间为()A(0，1)B(1，2)C(2，3) D(3，4)【解析】函数yln(x1)与y的图象交点的横坐标，即为函数f(x)ln(x1)的零点，f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)ln 210，f(2)ln 30，f(x)的零点所在区间为(1，2)【答案】B3函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_【解析】求函数f(x)3x7ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)1ln 2，由于ln 2ln e1，所以f(2)0，f(3)2ln 3，由于ln 31，所以f(3)0，所以函数f(x)的零点位于
6、区间(2，3)内，故n2【答案】24(2015长沙模拟)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内【解析】本题考查零点的存在性定理依题意得f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内【答案】A5(2014高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1，3B3，1
7、，1，3C2，1，3D2，1，3【解析】令x0，则x0，所以f(x)f(x)(x)23(x)x23x求函数g(x)f(x)x3的零点等价于求方程f(x)3x的解当x0时，x23x3x，解得x13，x21；当x0时，x23x3x，解得x32【答案】D确定函数f(x)零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判
8、断1已知函数f(x)log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0，1)B(1，2) C(2，4) D(4，)【解析】因为f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函数f(x)的零点所在区间为(2，4)【答案】C2方程log3xx3的根所在的区间为()A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)【解析】法一：方程log3xx3的根即是函数f(x)log3xx3的零点，由于f(2)log3223log3210且函数f(x)在(0，)上为单调增函数函数f(x)的零点即方程log3xx3的根所在区间为(2，3)法二：方程log3xx3的根所
9、在区间即是函数y1log3x与y23x交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示由图知方程log3xx3的根所在区间为(2，3)【答案】C3(2015武汉调研)设a1，a2，a3均为正数，123，则函数f(x)的两个零点分别位于区间()A(，1)和(1，2)内B(1，2)和(2，3)内C(2，3)和(3，)内D(，1)和(3，)内【解析】本题考查函数与方程利用零点存在定理求解当x(1，2)时，函数图象连续，且x1，f(x)，x2，f(x)，所以函数f(x)在(1，2)上一定存在零点；同理当x(2，3)时，函数图象连续，且x2，f(x)，x3，f(x)，所以函数f(x)在(2，3)上一定存在零点，故
10、选B【答案】B考向二、判断函数零点个数1已知函数f(x)满足f(0)1，且f(0)2f(1)0，那么函数g(x)f(x)x的零点个数为_【解析】f(0)1，c1，又f(0)2f(1)0，f(1)1b1，b当x0时，g(x)2x20有唯一解x1；当x0时，g(x)x2x1，令g(x)0得x或x2(舍去)，综上可知，g(x)f(x)x有2个零点【答案】22(2013高考天津卷)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3 D4【解析】由f(x)2x|log0.5x|10，可得|log05x|x设g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)
11、的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点【答案】B3(2015高考天津卷)已知函数f(x)函数g(x)3f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点个数为()A2B3C4 D5【解析】分别画出函数f(x)，g(x)的草图，观察发现有2个交点【答案】A4若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是_【解析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数在同一坐标系内作出函数yf(x)及ylog3|x|的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数yf(x)log3|x|有4个零点【答案】4判断函
12、数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点1(2015淄博期末)函数f(x)xln(x1)1的零点个数是_【解析】函数f(x)xln(x1)1的零点个数，即为函数yln(x1)与yx1图象的交点个数在同一坐标系内分别作出函数yln(x1)与yx1的图象，如图，由图可知函数f(x)xln(x1)1的零点个数是2【答案】22若定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且x1，1时，f(x)1x2，函数g(x)则方程f(x)g(x)0在区间5，5上的解的个数为()A5 B7C8 D10【解析】依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数yf(x)与函数yg(x)的图象，
