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1、,第五章,习题课,不定积分,一、基本概念、性质、公式,二、基本积分方法,三、各类函数积分的技巧及分析举例,一、基本概念、性质、公式,1、不定积分的概念,(1) 【原函数】,(2) 【不定积分】,(3) 【几何意义】,：平行于曲线F(x) 的积分曲线族.,(4) 【基本性质】（运算法则）,(5) 【基本积分公式】,是常数),补充4个,1. 【直接积分法】（略）,二、基本积分方法,2. 【凑微分法】第一换元积分法,【注】熟练后，中间变量 u不必写出.,【常见的几种凑微分类型】,【例1】,【解】,故选 (C),【例2】求下列不定积分,先求f 的方法较繁,【例3】求下列不定积分,【解】,复杂积分式的凑
2、微分,【练习】,【例4】,【解】,属于复杂积分式的凑微分法.,【分析】,【例5】计算,【解题提示】,分子、分母同乘（或除）以一个因子，再凑微分.,【解】,【例6】,【解】,含有三角函数的积分，分母化为单项、凑微分.,【提示】,3. 【变量代换法】第二类换元法,【注】中间变量 t 必须引入.,【常用代换】,【例1】,【解】,(倒代换),【例2】,【解】,(指数代换),解得,【练习】,4.【分部积分法】,分部积分公式,【选择u的有效方法:LIATE选择法】,L-对数函数；,I-反三角函数；,A-代数（幂）函数；,T-三角函数；,E-指数函数；,哪个在前哪个选作u.,【例1】,【解】,三角函数积分，
3、分母化为单项. 再分部积分,【提示】,抵消,【例2】,【解】,分部积分法,(机动),三、各类函数积分的技巧及分析举例,1.有理函数的积分,【四种类型分式的不定积分】,此两积分都可积,后者有递推公式,【例1】,【解】,【练习】,【提示】(2)令x-1= t,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数,令,2. 三角函数有理式的积分,【定义】,(1)【万能代换】,(2)【分母简化为单项】,例如,等等,【常用积分方法】,【例1】,称之一般记为,(3)【降幂法】,【常用降幂公式】,积化和差公式:,倍角公式:,【例2】,【提示】,积分之,【提示】,展开后，积化和差再积分,【提示】,拆开奇次项凑微分,偶次项利用平方关系展开.,积化和差降幂,3. 简单无理函数的积分,【讨论类型】,【解决方法】,作代换去掉根号,【例1】,【解】,变形化简后,属于简单无理函数的积分 根式代换,【分析】,4.含有反三角函数的不定积分,【解题提示】,绝大多数的这类题目可直接令反三角函数为新变量求解.,【例1】,（作业题P40 二、4）,【解】,分部积分后，回代,【练习】,5.抽象函数的不定积分,【例1】,【解】,【练习】,*,
