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1、1 复习模块：平面向量 一 、知识点 （1）平面向量的概念及线性运算 平面向量两要素：大小，方向。 零向量：记作 0，手写时记做 ，方向不确定。单位向量：模为 1 的向量。 0 平行的向量（共线向量）：方向相同或相反的两个非零向量，记作/b 。规定：零向a 量与任何一个向量平行。 相等向量：模相等,方向相同，记作 a = b 。负向量：与非零向量的模相等，方向相a 反的向量，记作。规定：零向量的负向量仍为零向量。a 向量加法的三角形法则：如图 1，作=a, =b，则向量记作 ab ，即AB BC AC ab = ，和向量的起点是向量 a 的起点，终点是向量 b 的终点AB BC AC 图1 A
2、 C B a b a+b a b 向量加法的平行四边形法则：如图 2，在平行四边形 ABCD 中， =, 所表示的向量就是与的和平行四边形法则不适AB AD AB BC AC AC AB AD 用于共线向量。 向量的加法具有以下的性质： （1）a0 = 0a = a； a（a）= 0；（2）ab=ba；（3） （ab） c = a （bc） 向量的减法：起点相同的两个不共线向量 a、 b，a 与 b 的差运算的结果仍然是向量， 叫做 a 与 b 的差向量，其起点是减向量 b 的终点，终点是被减向量 a 的终点如图 3。 ab=a+(b)，设 a，b， 则= = OA OBOA OB BA a
3、A a-b B b O 图3 向量的数乘运算：数与向量的乘法运算。一般地，实数与向量 a 的积是一个向量， 记作a，它的模为 ， 若0，则当0 时，a 的方向与 a 的方|aa|a 向相同，当0 时，a 的方向与 a 的方向相反 图 2 A D C B 1 / 5 Remove Demo Watermark from 2 共线向量充要条件：对于非零向量 a、b，当时，有 0abab 一般地，有 0a= 0, 0 = 0 . 线性组合：一般地，ab 叫做 a, b 的一个线性组合如果 l a b，则称 l 可以用 a，b 线性表示 （2）平面向量的坐标表示 设点 ，则起点为终点为的向量坐标为 1
4、122 (,)(,)A x yB xy 11 (,)A x y 22 (,)B xy 2121 () ABxxyy 设平面直角坐标系中，则 11 (,)x ya 22 (,)xyb 1212 (,)xxyyab 1212 (,)xxyyab 11 (,)xya 由此得到，对非零向量 a、 b，设 若 1122 (,),(,),abx yxyabab 当时，0 1221 0ab x yx y （3）平面向量的内积 向量 a 与向量 b 的夹角夹角，记作。 oo ba180,0, 内积的定义：两个向量 a,b b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量 a 与向量 b 的内积， 它是一个数量，又叫做数量
5、积记作 ab, 即 aba|b|cos 结论：（1）cos. | a b a b （2）当 ba 时，有0，所以 a a|a|a|a|2，即|a|a a （3）当时，ab，因此， ab,90a b cos900,ab 对非零向量 a，b， ab0ab. 平面向量的内积的坐标表示：设平面向量 a(x1,y1),b(x2,y2) ab x1 x2 y1 y2 夹角公式坐标表示：当 a、b 是非零向量时， cosa,b | a b a b 2 / 5 3 1212 2222 1122 x xy y xyxy 相互垂直的向量坐标表示：ab ab0 x1 x2 y1 y20 向量的模坐标表示：设 a(x
6、,y)，则 a 22 xy 2、练习题 1下列命题正确的是 （ ） A.单位向量都相等 B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C.若 ab0，则 a0 或 b0 D.对于任意向量 a、b，必有|ab|a|b| 2如图，四边形 ABCD 中，则相等的向量是 （ AB DC ） A. 与 B. 与 AD CB OB OD C. 与 D. 与 AC BD AO OC 3下列命题中，正确的是 （ ） A.若|a|b|，则 ab B.若 ab，则 a 与 b 是平行向量 C.若|a|b|，则 ab D.若 a 与 b 不相等，则向量 a 与 b 是不共线向量 4如图，设 O 是正六边形 AB
7、CDEF 的中心，在向量， ， OB OC ， ， ， ， ， ， ， ，中与 OD OE OF AB BC CD EF DE FA 共线的向量有 （ ） OA A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 5若向量 a（x3，x23x4）与相等，其中 A（1，2） ，B（3，2） ，则 x 等于（ AB ） A.1B.0C.1D.2 6已知 a（x，y） ，b(y，x)(x，y 不同时为零)，则 a，b 之间的关系是 （ ） A.平行B.不平行也不垂直 C.垂直 D.以上都不对 7在四边形 ABCD 中， AB DC，且 AC BD0，则四边形 ABCD 是 （ ） A.矩形 B.菱形 C. 直
8、角梯形 D. 等腰梯形 8已知向量a=(2，1)，b=(-1，k)，a(2a-b)=0，则k= （ ） A-12 B-6 C6 D12 3 / 5 4 9已知向量 a=(1，2)，b=(1，0)，c=(3，4)，若为实数，(a+b)c，则=（ ） ABC1D2 1 4 1 2 10若向量 a，b，c 满足 ab 且 ac，则 c(a+2b)= （ ） A4 B3 C2 D0 11已知向量 a=(1，k)，b=(2，2)，且 a+b 与 a 共线，那么 ab 的值为 （ ） A1B2C3D4 12设向量 a，b 满足|a|=|b|=1，ab=-，则|a+2b|= （ 1 2 ） ABCD2357
9、 13已知向量 a、b 不共线，实数 x、y 满足向量等式 3xa(10y)b2xb(4y4)a，则 x_，y_. 14若 a 与 b、c 的夹角都是 60，而 bc，且|a|b|c1，则（a2c)(bc)_. 15若向量 a=(1，1)，b(-1，2)，则 ab 等于_ 16设向量 a，b 满足|a|=2，b=(2，1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标5 为_ 17已知向量 a=(，1)，b=(0，-1)，c=(k，)，若 a-2b 与 c 共线，则33 k=_ 18已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直，则 k=_ 三、解答题 19已知 a 和 b 的夹角为 60，|a|10，|b|8，求： （1）|ab|；（2）ab 与 a 的夹角 的余弦值. 20 已知 a(3，4)，b(4，3)，cxayb，且 ac，|c|1，求 x 和 y 的值. 4 / 5 5 21已知 a（，2)，b(3，5)且 a 与 b 的夹角是钝角，求实数 的取值范围。 22若向量 a=(1，2)，b=(1，-1)，求 2a+b 与 a-b 的夹角。 23若|a|b|1，ab，且 2a3b 与 ka4b 也互相垂直，求 k 的值。 5 / 5
