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1、1 有关 SARS 传染病的数学预测模型 摘 要 本文针对问题一，首先从附件 1 所给模型参数选取的合理性和科学性入手， 分析了 K 和 L 的价值作用，并结合模型的实际预测结果，对模型的实用性和合 理性进行了评价。同时，根据 SARS 的传播特点，指出了该模型的不足之处。 针对问题二，在克服前模型不足的前提下，把人群划分为五大类，建立了 SARS 传染病动力学预测方程，并用遗传算法对所给参数进行估计，最后利用 龙格库塔数值积分方法分别做出了这五类人群变化的趋势线，与实际情况的 变化相吻合，并根据题意做出了评述。 针对问题三，通过 1997 年到 2003 年 8 月北京海外游客的数据，就非典
2、对 旅游业产生的影响进行了分析和预测。首先不考虑非典的影响，即不考虑 2003 年 4-8 月份的数据的情况下，利用神经网络和 GM（1，1）模型法分别进行预 测，再结合标准差法确定组合权重实现组合预测，得出 4-12 月份的结果为下： 28.9204、30.3630、30.1892、28.7201、31.5473、30.4872、31.2696、29.5585、2 5.7050。其次在有非典影响的情况下，引入心理影响因子收缩因子，将非典 对旅游业的负面影响用收缩因子进行描述，根据 4-8 月份的数据用最小二乘法 估计收缩因子的参数，从而得到 9-12 份的预测因子，最后结合在不考虑非典影 响
3、情况下得到的预测数据，便得到了 9-12 份受非典影响后的预测数据，结果为 22.7059，24.0840，23.3815，20.7795。 最后，根据传染病模型的特点和作用，提出了建立数学模型对疫情分析、 预测控制方面的重要意义。 关键词： 龙格库塔 神经网络 GM（1，1）模型 组合预测模型 传染病动力学模型 遗传算法 1 / 26 2 一、问题的提出 SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称： 非典型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS 的爆发和蔓 延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从
4、中得到了许多重要的 经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延 创造条件的重要性。就 SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下： （1）对附件 1 所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。 （2）建立模型，说明为什么优于附件 1 中的模型；特别要说明怎样才能建立 一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做 的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后 5 天采 取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。 （3）收集 SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预 测。 （4）给当地报刊写一篇通
5、俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。 二、模型一的评价 附件所给的模型能很好的反映 SARS 早期的传染规律，主要体现在以下几 点： 第一、数 L 的选取具有科学背景，据中科院的报告，SARS 的潜伏期一般为 23 周，因此将 L 选为 20 天作为一个周期将有效的避免数据的波动性， 并且在 L 天内的数据能很好的吻合指数规律。 第二、数 K 的选取使模型有较强的适应性，对不同地区不同时段的数据，都能 通过参数 K 来调整模型，并且参数 K 很好的反映了某种社会环境下，一 个病人传染其他人的平均概率，并充分显示了全社会的警觉程度，政府 和公众的措施以及医疗卫生条件的好坏。 第三、对实际情况
6、的分析具有较高的准确性，这表现在以下两个方面：从香港 和广州 K 值回落速度的快慢，反映了香港的医疗卫生条件比广州好，这 与实际情况相符；从香港、广东短期内 K 值调整的幅度，反映了政府和 社会对非典的高度关注，这和实际情况也是统一的。 综上所述，该模型有很好的合理性和实用性。但它的缺点也是显而易见的， 过分依赖对数据的统计，未考虑将人群分类和对病人的隔离，使它对后期的 K 值难于确定，导致预测结果过于粗糙。 三、模型二的分析与建立 1.问题分析与假设：问题分析与假设： SARS 不同于一般传染病模型，它有着自身的传播特点。在 SARS 传播的 初期，政府和社会对它的传播速度和危害程度认识不够
7、，没有采取足够的控 制措施，使得 SARS 病毒传播的速度相当快。当非典感染者的数量不断增加， 政府开始采取各种措施对病毒进行控制，使得非典感染者的数量逐渐减少。 2 / 26 3 所以 SARS 病毒的传播可以分为三个阶段，分别为： 控制前期, 没有采取任何控制措施的阶段。 过渡时期，从 SARS 被人们重视到政府采取控强有效制措施前的一段时 期。 控制后期,在政府开始控制后的时期。 我们所要做的是对 SARS 在北京传播的情况进行预测。北京是在 SARS 刚 刚大肆传播就采取很强有力的措施，因此，北京的过渡期可以包括控后期；我 们将北京的 SARS 传播规律用“控制前”和“控制后”两个时期
8、来模拟。 由分析问题我们可以知道，控制前和控制后，SARS 的传播源有很大的差 别。控制前，每个病人都将成为传染源，而控制后只有游离的带菌者成为有效 传染载体。因此，我们将控制前和控制后进行分段处理，分别建立模型。 由此，我们可以对问题做如下假设： 基本假设：基本假设： 1.只考虑患 SARS 的病人，患其它病的病人归为健康者。 2.不考虑隐性患者，即只要感染上 SARS 病毒最后都会表现症状。 3.由于 SARS 的传播时间相对较短，所以不考虑这段时间内的人口出生率 和自然死亡率。 4.卫生部公布的数据正确可靠。 5.SARS 患者康复后具有免疫力，退出传染系统。 控制前的传播模型的相关假设
9、：控制前的传播模型的相关假设： 1.在 SARS 传播期内北京地区的总人数 N 视为常数，即不考虑人口的流 入流出（流入流出人口与总人口相比可忽略不计） 2.将 SARS 所有可能的传染途径视为与传染源的直接接触。 3.将人群分为四类： 健康者：用表示健康者的总人数；S 病人 ：用表示病人的总人数；I 移出者：包括“被治愈者”和“死亡者”两种情况，用表示移出者T 的总人数； 处于潜伏期者：这些人还没发病，但他们最终将发病，用 Q 表示处于 潜伏期者的总人数。 控制后的传播模型的相关假设：控制后的传播模型的相关假设： 1.不考虑被隔离但未感染病毒的情况，因为这部分人由于被隔离，对病 毒的传播不产
10、生影响。 2.被隔离人群完全断绝与外界的接触，不具有传染性。 3 / 26 4 3.将人群分为五类： 健康者：用表示健康者的总人数；S 病人 ：用表示病人的总人数；I 移出者 ：用表示移出者的总人数；T 疑似病人 ：包括已出现有关症状但未确诊的被隔离者和还未出现症 状但已疑为带菌者而被隔离观察的人群，用 X 表示疑似病人的总人数； 游离带菌者： 没有被隔离的病毒携带者，用 Z 表示游离带菌者的总人 数。 2.模型的建立：模型的建立： 1)控制前模型的建立：控制前模型的建立： 符号说明符号说明 ：每个病人单位时间内有效接触每个健康者的概率。 1 ：退出率，为 SARS 患者的日死亡率和日治愈率之
11、和。q ：处于潜伏期的病人的日发病率。 1 控制前模型方程的建立控制前模型方程的建立 分析各个变量间的关系，结合一般传染病的传播规律，我们可以建立如下 的动力学模型： (1) （初值） 0000 1 11 1 ,QTIS qI dt dT qIQ dt dI QIS dt dQ IS dt dS 由于 SARS 控制前的相关数据无法查找，所以我们只列出模型的方程，而不 做过多的分析，我们着重分析控制后的模型。 2)控制后模型的建立控制后模型的建立 符号说明符号说明 ：疑似病人中每日被排除的人数占疑似人数的比例 1 x 4 / 26 5 ：疑似病人中每日确诊为病人的人数占疑似人数的比例 2 x
12、：每个游离带菌者转化为病人的日转化率 ：每个游离带菌者发病后被收治前平均每天有效感染每个健康者的概 2 率； ：被游离带菌者有效感染的人中被隔离的人的比率 控制后模型方程的建立控制后模型方程的建立 同样，我们可以仿照控制前模型的建立方法，列出控制后模型的动力学模 型： (2) 00000 2 221 2 21 , )1 ( ZXTIS ZZS dt dZ ZSXxXx dt dX qI dt dT XxqIZ dt dI ZSXx dt dS 四、模型二的求解及说明 在模型二的建立过程中，由于政府在控制前期没有采取有力的措施对疫情 进行控制，所以相关的数据无法查找，无法对控制前的模型做很有意义
13、的解析 分析。因此，我们未对控制前模型进行求解。 下面我们来对控制后的模型进行求解。很明显，从我们建的模型中无法求 出精确的解析解，因此，我们采用龙格库塔方法来求模型的近似解。我们对 参数进行估计，并根据实际情况对方程组进行合理 0000221 ,ZXTISxx 的简化。 考虑到健康者 S 对于病人数 I 来说是一个很大的数，的变化量很小，所 dt dS 以健康者 S 在一段时期内可以视为一个恒定的数量，故我们忽略（2）中的第一 个方程，然后对简化后的模型进行求解。 5 / 26 6 方程组的参数辩识方程组的参数辩识 由国家公布数据，从 4 月 21 日算起， 514 0 I666 0 Z40
14、2 0 X 510T 由题中附录 1 可知每个游历带菌者平均每天能感染的人数为1393 . 0 2 S 为讨论方便起见，引入如下记号： 此时系统（2）等价于以下初值问题 0 )0( ),( xx uxfx , 0t 其中 10 ,RxUu 设某地区第天的实际累计病例数为，实际出院人数为niti, 2 , 1 i tN ，实际死亡人数为，则该地区第天的实际染病人数为 i tC i tD i t ，移出人数为，为使方程组（2）更 iiii tDtCtNtI iii tDtCtT 好地描述 SARS 传播规律，则需选择，使第天的理论值与Uu i t)T(t )( ii tI 实测值 误差尽可能小，这
15、可表示为如下的参数辨识问题： )( i tI)( i tT Uu xx uxfxts tTutTtIutIutTutIJ n i iiii 0 1 22 )0( ),(. . ,),(,min （3） 我们考虑用遗传算法来求解该问题，其因变量为，并且易, 21 qxxu 知,我们采用实数编码，取遗传种群大小为 n=5。取适应函数为目标函10 u 数J。 遗传算法的流程图如下： 6 / 26 7 Step1:tep1:随机产生十组初始染色体qxx, 21 Step2:Step2:代入约束条件中用龙格库塔数值积分，得出数组I ,T Step3:Step3:计算适应度即目标函数 J Step3:Step3:用轮盘赌方法繁殖新种群 Step4:Step4:对种群进行杂交、变异、自然选择 Step5:Step5:如果迭代次数小于规定次数，返回 Step2Step2，否则继续下一步 Step6:Step6:输出种群，取其最优者 搜索结果：搜索结果： 02341 . 0 2 . 0 7 . 0 00299 . 0 0351 . 0 2 1 q x x 代入式（2）式用龙格库塔数值积分算法得下图。 （具体程序见附录） 图 1 模型说明模型说明 与附件的模型相比，我们的模型考虑的因素更多，分析较为全面，能更 准确的反映非典的传播规律，同时还能够反映病情传播的全过程
