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1、习 题 课,第三章 多维随机变量及其分布, 1 二维随机变量 2 边缘分布 3 条件分布 4 相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布,第三章 多维随机变量及其分布,1 要理解二维随机变量的分布函数的定义及性质。 2 要理解二维随机变量的边缘分布以及与联合分 布的关系，了解条件分布。 3 掌握二维均匀分布和二维正态分布。 4 要理解随机变量的独立性。 5 要会求二维随机变量的和及多维随机变量的最 值分布和函数的分布。,第三章 习题课,返回主目录,设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S=e， 设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 S 上的随机变量。 由它们构成的一个向量 (X
2、, Y) ，叫做二维随机 向量，或二维随机变量。,S,e,X(e),Y(e),1 二维随机变量的定义,返回主目录,第三章 习题课,注 意 事 项,返回主目录,第三章 习题课,2 二维随机变量的联合分布函数的定义,返回主目录,第三章 习题课,二维分布函数的几何意义,y,o,(X, Y ),返回主目录,第三章 习题课,一个重要的公式,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),第三章 习题课,分布函数具有以下的基本性质：,F (x , y )是变量 x , y 的不减函数，即 对于任意固定的 y, 当 x1 x
3、2时， 对于任意固定的 x, 当 y1 y2时，,对于任意固定的 Y, 对于任意固定的 X,2),1),且,返回主目录,第三章 习题课,3) F (x , y)=F(x+0, y), F (x, y)=F(x, y+0), 即,y,x,o,x1,x2,y1,y2,(X, Y ),(x2 , y2),(x2 , y1),(x1 , y2),(x1 , y1),4),F (x, y)关于 x 右连续，关于 y 也右连续.,第三章 习题课,说 明,上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基 本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有 这四条性质；如果某一二元函数具有这四条性质， 那么它一定是某一二维
4、随机变量的分布函数,返回主目录,第三章 习题课,3 n 维随机变量,返回主目录,第三章 习题课,n维随机变量的分布函数,返回主目录,第三章 习题课,4 二维离散型随机变量,第三章 习题课,二维离散型随机变量的联合分布律,返回主目录,第三章 习题课,二维离散型随机变量联合分布律的性质,返回主目录,第三章 习题课,二维离散型随机变量的联合分布函数,返回主目录,第三章 习题课,对于二维随机变量 ( X,Y ) 的分布函数 如 果存在非负实函数 使得对于任意的实 数 有,则称 ( X,Y ) 是连续型的二维随机变量，函数 称为二维随机变量 ( X,Y )的概率密度，或称为 X 和 Y 的联合概率密度。
5、,5 二维连续型随机变量,返回主目录,第三章 习题课,按定义，概率密度 具有以下性质：,40 设 G 是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在 G 内 的概率为：,返回主目录,第三章 习题课,在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面，上式即表示 P(X,Y)G的值等于以 G 为底，以曲面 z = f (x , y)为顶的柱体体积,返回主目录,第三章 习题课,二维均匀分布,返回主目录,第三章 习题课,二维均匀分布几何意义,返回主目录,第三章 习题课,二维正态分布,返回主目录,第三章 习题课,6 边缘分布的定义,边缘分布也称为边沿分布或边际分布,(一)已知联合分布函数求边缘分布函
6、数,返回主目录,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,(二)已知联合分布律求边缘分布律,返回主目录,第三章 习题课,已知联合分布律求边缘分布律,返回主目录,第三章 习题课,(三)已知联合密度函数求边缘密度函数,返回主目录,第三章 习题课,7 离散型随机变量的条件分布律,设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为,(X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为：,返回主目录,第三章 习题课,定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定的 j , 若PY= yj 0, 则称,为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。,条件分布律具有分布律的以下特性：
7、,10 P X= xi |Y= yj 0；,返回主目录,第三章 习题课,定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ， Py0, 若对于任意实数 x，极限,存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数，写成 P X x |Y= y ，或记为,返回主目录,8 条件分布函数和条件密度函数,第三章 习题课,在条件Y= y下X的条件分布函数为：,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,条件密度函数的性质,返回主目录,第三章 习题课,9 随机变量的独立性,返回主目录,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,注,（1）离散型随机变量的独立性,返回主目录,第三章 习题课,联合分
8、布律,返回主目录,第三章 习题课,（2）连续型随机变量的独立性,返回主目录,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,注,(3)n维随机变量的独立性,返回主目录,第三章 习题课,n维随机变量的独立性,2. 若 X,Y 独立，f(x),g(y) 是连续函数，则 f(X),g(Y) 也独立。,返回主目录,第三章 习题课,注,（1）连续型随机变量和的分布,返回主目录,10 连续型随机变量函数的分布,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,第三章 随机变量及其分布,5 多维随机变量函数的分布,返回主目录,返回主目录,第三章 习题课
9、,结 论,返回主目录,第三章 习题课,2）,3）,返回主目录,第三章 习题课,结 论,解题步骤,(2)其它的分布,返回主目录,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,返回主目录,第三章 习题课,例1 设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为,（1）求边缘概率密度函数,.,（2）求,第三章 习题课,解：,第三章 习题课,第三章 习题课,例2 设(X, Y)在区域D= (x,y)| 0 x 1,0 y 2 上服从均匀分布，（1）求X和Y的联合概率密度。（2）设含有a的二次方程为,试求a有实根的概率。,解:,由题意知,方程有实根的条件为,因此,第三章 习题课,例3,在一简单电路中，两个电阻,串联
10、连接。,相互独立，概率密度函数均为,设,求总电阻,的概率密度函数,解：,的概率密度函数为,上述积分的,第三章 习题课,被积函数不等于零。参考图可得,10,10,20,当0 r 10,第三章 习题课,当10 r 20,第三章 习题课,例4,某箱装有100件产品，其中一、二、三等品数目分别是80，10，10件，现在从中不放回地依次取两件，令,i =1,2.试求：,（1）,和,的联合分布率；（2）说明,是否独立.,和,解：,第三章 习题课,是不独立。,与,第三章 习题课,例5 设随机变量,与,相互独立，,服从区间,上的均匀分布，,服从,的指数分布求,（1）X和Y的联合密度； （2）设含有a的二次方程为,试求a有实根的概率；,（3）又设随机变量,试求随机变量,的概率密度函数.,第三章 习题课,解：由已知易得,（1）,由于X,Y独立，,因此X和Y的联合密度为,（2）方程有实根，则,即,，,.,P(方程有实根)=P( ),第三章 习题课,(3)利用公式,当且仅当,.,当0z1时，,当,时，,.,.,第三章 习题课,故,或利用公式,当且仅当,当0z1时，,当 时，,.,.,第三章 习题课,设二维随机变量有密度函数：,练 习,第三章 习题课,（1）求常数,（2）求边缘概率密度,（3）,是否相互独立。,解: (1),第三章 习题课,则,（2）,（3）, 所以,相互独立.,
