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1、【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 演练经典习题4 文 北师大版1(2016苏、锡、常、镇四市调研)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,ABBC,BCBC1,ABBC1,E、F、G分别为线段AC1、A1C1、BB1的中点,求证: (1)平面ABC平面ABC1;(2)EF平面BCC1B1;(3)FG平面AB1C1.证明:(1)ABBC,BCBC1,ABBC1B,BC平面ABC1.又BC平面ABC,平面ABC平面ABC1.(2)在AA1C1中,E、F分别为AC1、A1C1的中点,EFAA1,几何体ABCA1B1C1为三棱柱,BB1AA1,EFBB1,BB1平面BCC1B1,EF平面BCC1B
2、1,EF平面BCC1B1.(3)在AA1C1中,E、F分别为AC1、A1C1的中点,EFAA1,EFAA1.在三棱柱ABCA1B1C1中,G为BB1的中点,BGAA1,BGAA1,EFBG,且EFBG,连接BE,则四边形BEFG为平行四边形,FGEB.ABBC1,E为AC1的中点,BEAC1,则FGAC1.BCAB,BCBC1,B1C1BC,B1C1AB,B1C1BC1,又ABBC1B,B1C1平面ABC1.BE平面ABC1,B1C1BE,则B1C1FG,AC1B1C1C1,FG平面AB1C1.2已知四棱锥PABCD及其三视图如图所示,E是侧棱PC上的动点(1)求四棱锥PABCD的体积;(2)
3、不论点E在何位置,是否都有BDAE?试证明你的结论;(3)若点E为PC的中点,求二面角DAEB的大小解:(1)由三视图可知,四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PC底面ABCD,且PC2,VPABCDS正方形ABCDPC122,即四棱锥PABCD的体积为.(2)不论点E在何位置,都有BDAE.证明:连接AC,ABCD是正方形,BDAC,PC底面ABCD,且BD平面PAC.BDPC.又ACPCC,BD平面PAC.不论点E在何位置,都有AE平面PAC,不论点E在何位置,都有BDAE.(3)在平面DAE内,过点D作DFAE于F,连接BF.ADAB1,DEBE,AEAE,RtADERtABE
4、,从而ADFABF,BFAE.DFB为二面角DAEB的平面角在RtADE中,DFBF,又BD,在DFB中,由余弦定理得cosDFB,DFB120,即二面角DAEB的大小为120.3在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形已知AB3,AD2,PA2,PD2,PAB60.(1)证明AD平面PAB;(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小;(3)求二面角PBDA的正切值的大小解:(1)证明:在PAD中,由题设PA2,AD2,PD2,可得PA2AD2PD2,于是ADPA.在矩形ABCD中,ABAD,又PAABA,所以AD平面PAB.(2)由题设,BCAD,所以PCB(或其补角)是异面直线PC与
5、AD所成的角在PAB中,由余弦定理得PB.由(1)知AD平面PAB,PB平面PAB,所以ADPB,因而BCPB,于是PBC是直角三角形,故tanPCB.所以异面直线PC与AD所成的角的正切值的大小为.(3)如图所示,过点P作PHAB于H,过点H作HEBD于E,连接PE.因为AD平面PAB,PH平面PAB,所以ADPH.又ADABA,因而PH平面ABCD,故HE为PE在平面ABCD内的射影,BDPE.从而PEH是二面角PBDA的平面角由题设可得,PHPAsin 60,AHPAcos 601,BHABAH2,BD,由RtBEHRtBAD,得HEBH.于是在RtPHE中,tanPEH.所以二面角PBDA的正切值的大小为.