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1、对称性与代数方程的公式解一元二次方程的根满足维达定理 2120xab很明显 具有对称性1,x2Z具有两个 1 维不可约表示 ，表示基底可以由 构造，即2Z112,x，这两个表示基可以用来构造不变表示的基12x122()yx可以用方程系数表示出来 ，因此1224xab，可得公式解124xab212x，一元三次方程的根满足维达定理 3213210xabcx很明显 具有对称性123,3S具有不变子群 ，且3SZ2/Z具有三个 1 维不可约表示 ，表示基底可以由 构造，即3Z21123,x，后两个表示基可以用来构造不变表示的基01232123yxx3112312312331231231232123()
2、()()()yxxxxxx令 ，可知 时，31221zx1212z即 承载了 群的忠实表示，可以用他们构造不可约表示基，对应于， Z可以通过幂函数构造不变表示 ，有12(,)1ez 21()z12123123123()()zxxx1 1231231221231323-)748()()()()()xxx于是开根方可以求解 ，求出z1z，代入可以计算 ，开 3 次根求出 ，结合 解三元 1 次方程求出312,y2y， 0y123,x一元 4 次方程求解一元 4 次方程的根满足维达定理 321423124313140xabcxdaxbcxd很明显 具有对称性234,x4S有正规子群 ， ； 有正规子
3、群 ，4SV3/3Z32S/具有 4 个 1 维不可约表示=(e,1),(),(1)2第一个已经是不变表示，后三个12341234(12)3()4(1)2311exx表 示 基表示基可以用来构造不变表示的基 4123zy由此构造 的不变量3S221243453312222-6 ab+ 3 0ac- 16d-5b+ a c-640 bc+ 04 c d89bd-58azz7523413624238642= + c-19 ac 1 ac ac0bb-5+ 9 d04 d 09bdz233 224223576a-7ac 15 ac -1 c +13 - 8+6 90 bd 7acd-8因此 是一元三次方程13,z322423453224220-16 ab+ ac- 160d5b+ ac- bc+ 0 c 10ad-89d-8a78xABxC7523462423386422=1 b+ c-19 ac c ac0b-5a+ 9 d04 d 09d6aC33 224223-7c 15 abc -175 c +13 a- 8+6 90 bd 7acd-8
