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1、医用高等数学知识概要,1）函数的极限,2）无穷小,3）函数的连续性,一、极限与连续,左右极限,求极限的常用方法,极限存在的 充要条件,无穷小的比较,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小 及其性质,左极限,右极限,定义:,无穷小的比较,定理(等价无穷小替换定理),等价无穷小的性质,(1),(2),两个重要极限,1),2),3),4),5),6),左右连续,间断点定义,连 续 定 义,连续的 充要条件,7)讨论,在x0和x1处的连续性。,8)设,要使f(x)在x0处连续，求a的值。,求 导 法 则,基本公式,导 数,二阶导数,函数的导数,1、导数的定义,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,2、基
2、本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,3、求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,(3) 复合函数的求导法则,(4) 对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,5、导数与微分的关系,定理,6、 微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,基本初等函数的微分公式,函数和、差、积、商的微分法则,7、 微分的基本法则,微分形式的不变性,典型例题,例1,已知,，求,，,存在，则,在,处可导 ？,例2,已知,解：1）两边同时取对数,2）两边同时对x求导,从而,求函数的导数,例3,Lagrange 中值定理,导数的
3、应用,拉格朗日中值定理,导数的应用,定理,(1) 函数单调性的判定法,定理(必要条件),定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,定理(第一充分条件),定理(第二充分条件),求极值的步骤:,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),(3) 最大值、最小值问题,实际问题求最值应注意:,1)建立目标函数;,2)求最值;
4、,(4) 曲线的凹凸与拐点,定义,定理1,利用函数特性描绘函数图形.,第一步,第二步,(5) 函数图形的描绘,第三步,第四步,确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;,第五步,例7,解,奇函数,列表如下:,极大值,拐点,极小值,作图,积分法,原 函 数,基 本 积 分 表,第一换元法 第二换元法,直接 积分法,分部 积分法,不 定 积 分,不定积分,1、原函数,定义,原函数存在定理,即：连续函数一定有原函数,不定积分,(1) 定义,(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,(3) 不定积分的性质,3、基本积分表,是常数),5、第一类换元法,4、直接积分法,第一类换元公式（凑微分法）
5、,由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法.,常见类型:,6、第二类换元法,第二类换元公式,分部积分法,分部积分公式,典型例题,例1,典型例题,例2,典型例题,例3,典型例题,例4,例5,典型例题,例6,例7,例8,存在定理,广义积分,定积分,定积分 的性质,定积分的 计算法,牛顿-莱布尼茨公式,定积分,变上限函数导数公式,定理1,定积分的计算法,换元公式,（1）换元法,（2）分部积分法,分部积分公式,定积分应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,直角坐标情形,广义积分,(1)无穷限的广义积分,例1,典型例题,例2,已知,求f（0）,例3,例4,设F(x)=,，其中,是连续函数，则
6、,例5,求由曲线,所围平面图形的面积.,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问题.,微分方程,的方程,称为可分离变量的微分方程.,1）可分离变量的微分方程,例1. 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,2）一阶线性微分方程,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),解：1）先分离变量,例2,2）两边积分,从而,解：1）先求 的通解,例3,2）常数变异法，令,3）代入原方程，得,解：1）先求 的通解,例3,2）常数变异法，令,3）代入原方程，得,
7、求微分方程的通解,概率的基本公式,一、加法公式,定理1. 设A; B 为任意两个事件,则: P(A+B) = P(A) +P(B) P(AB),AB,二、乘法公式,1.条件概率,定义:事件A和B,若P(A)0,则下式称为在事件A 发生的条件下B发生的概率,或,B,A,三、全概率公式及Bayes公式,完备事件组: 事件A1 , A2 , , An两两互不相容,且,全概率公式 设事件A1 , A2 , , An为一完备事件组,则对任一事件B,都有:,Bayes公式（逆概率公式）,另：,设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲、乙、丙厂生产的。 且甲、乙、丙厂生产的
8、该种X光片的次品率依次为 ，从这10盒中任取一盒，再从这盒中取一张X光片，求取得合格品的概率,解：令Ai(i=1,2,3)分别表示甲、乙、丙三个厂生产的X光片. C:表示次品.已知: P(A1)=1/2， P(A2)=3/10， P(A3)=1/5， P(C|A1)=1/10， P(C|A2)=1/15， P(C|A3)=1/20.,某医院采用A、B、C、D四种方法医治某种癌症，在该癌症患者中采用这四种方案的百分比分别为0.1、0.2、0.25、0.45，其有效率分别为0.85、0.80、0.70、0.6. 问:(1)到该医院接受治疗的患者, 治疗有效的概率为多少？ （2）如果一患者经治疗而收
9、效，最有可能接受了哪种方案的治疗？,解：记A、B、C、D分别为用四种方法治疗，记E为某患者接受治疗有效。依题意，A、B、C、D构成这个问题的完备事件组，且有由全概率公式得,又由逆概率公式得：,所以，若治疗有效，则采用第四种治疗方法可能性最大。,为 X 的分布函数.,设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数,定义,连续型随机变量及其概率密度函数,概率密度函数:,或者,已知分布函数求:p(4); p(1)及密度函数f(x),正态分布(或高斯分布),标准正态分布 XN(0,1),x,-x,已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞数平均为7300，均方差为700，今有一成年男子验血，其每毫升白细胞数在5200-9400之间的概率是多大？（ ）,解：令成年男子白细胞数为X，则XN(7300,7002).,
