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1、精品文档 精品文档 第十四章勾股定理 14.1.1 直角三角形三边的关系（1） 教学目标： 1. 探索并掌握勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.会应用勾股定理解决实际问题。 3. 培养学生合作、探索的意识，体会数形结合的思想以及识图的能力。 教学重点： 探索勾股定理的证明过程 教学难点： 运用勾股定理解决实际问题 教学过程： 一. 探索勾股定理 试一试 测量你的两块直角三角尺的三边的长度，并将各边的长度填入下表： 三角尺直角边 a直角边 b斜边 c 关系 1 2 根据已经得到的数据，请猜想三边的长度a、 b 、 c 之间的关系 由图 14.1.1得出等腰直角三角形的三边关
2、系 图 14.1.1是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，很显然，两 个小正方形P、 Q 的面积之和等于大正方形R的面积即 AC2 2 2 ， 图 14.1.1 这说明， 在等腰直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方那么在一般 的直角三角形中，两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢? 试一试 观察图 14.1.2 ，如果每一小方格表示1 平方厘米，那么可以得到：正方形P 的面积 平方厘米； 正方形 Q的面积平方厘米； （每一小方格表示1 平方厘米） 精品文档 精品文档 图 14.1.2 正方形 R的面积平方厘米 我们发现，正方形P 、Q 、R的面积之间的关系 是 由 此
3、， 我 们 得 出 直 角 三 角 形 的 三 边 的 长 度 之 间 存 在 关 系 由图 14.1.2得出一般直角三角形的三边关系. 若 C=90, 则 222 cba 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ABC中， C=90, 则 222 cba(a、b 表示两直角边，c 表示斜边 ) 变式： 222222 ,acbbca 2介绍勾股定理的历史背景。 二例题分析： 例 1.Rt ABC中， AB=c,BC=a,AC=b,B=90 （1）已知 a=8,b=10, 求 c. (c=6) （2）已知 a=5,c=12, 求 b (b=13) 注意：“ B为直角”这个条件。 三、
4、引申提高： 例 2 如图 14.1.4 ，将长为5.41 米的梯子AC斜靠在墙上， 长为2.16 米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距 离（精确到0.01 米） 解如图 14.1.4 ，在 Rt中， .米， . 米， 根 据 勾 股 定 理 可 得 AC 22 2 22 . . （米） 答：梯子上端A到墙的底边的垂直距离约为 4.96 米 四巩固练习： 1 书本 P51.1.2 五课时小结： 1.勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方 2.已知直角三角形两边的长或知道两边关系和第三边的长，可以利用勾股定理 求出三角形未知边长，并可运用面积关系式求斜边上的高。 六课堂作业：P55
5、 2.3 七课后反思： 精品文档 精品文档 14.1.1 直角三角形三边的关系（2） 教学目标： 1. 用拼图的方法说明勾股定理的结论正确。 2会应用勾股定理解决实际问题。 3. 通过数学思维活动，发展学生探究意识和合作交流的思想。 教学重点： 利用勾股定理解决实际问题 教学难点： 构造直角三角形求解。 教学过程： 一复习引入： 1. 勾股定理的内容是什么？ 2. 一直角三角形中有两条边的长为1 和 2，求第三边。 二体验勾股定理的几种探求方法： 试一试 剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形 大正方形的面积可以表示为，又可以表示 为 对比两种表示
6、方法，看看能不能得到勾股定理的结论 图 14.1.5 图 14.1.6 用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上 面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的 由下面几种拼图方法，试一试，能否得出 222 cba的结论。 （1）（2）（3）（4）（ 5） 探究点拔： 1. 将这四个全等的直角三角形拼成图（1），（ 2），（ 3）中所示的正方形，利 用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出 222 cba。 2. 将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以 得到 222 cba。 3. 通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可
7、以证得 222 cba。 三应用实例： 例 1. 如图 , 为了求出湖两岸的AB两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使 ABC 恰好为 Rt，通过测量， 得到 AC长 160 米， BC长 128 米，问从 A点穿过湖到点B有多远？ 解： RtABC中， AC=100 ，BC=128 ， 根据勾股定理得:AB 96128160 2222 BCAC ( 米 ) 答：从 A点穿过湖到点B有 96 米。 c b a c b a c b a cb a cb a 精品文档 精品文档 说明： 运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形。若已知条件中没有直角三角形 时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理
8、。 例 2 . 在一棵树的10 米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20 米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘。如果两只猴子经过的距离 相等，问这棵树有多高？ 解：设 米米米，则)30(,302010 xBCACADxBD . Rt ABC中， 222 )30(20)10(xx 解之得：.5x )(1510米树高 x 四引申提高： 例 3有一个棱长为1 米且封闭的正方形盒子（如图），一只蚂蚁从顶点A 向顶点B 爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？ 分析：最短路程为展开图中的 521 2 AB米 五课堂小结：1. 说明勾股定理成立时要有一定的拼图能力。 2. 构造直角三角形，将实际问题转
9、化为数学问题，运用勾股定理建立方程求解。 六课堂作业：书 P53 1.2 七课后反思： C B A B A B A 精品文档 精品文档 14.1.2直角三角形的判定 教学目标： 1. 掌握直角三角形的判别条件。 2. 熟记一些勾股数。能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用。 3. 激发学生解决问题的愿望，体会勾股逆向思维所获得的结论及应用范围和实际 价值 教学重点：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直 角三角形。 教学难点：直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形及综合应用直角三角 形的知识解题。 教学过程： 一 . 复习引入： 1、 复习直角三角形
10、的性质： 角的性质、边的性质。 2、 我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？ 二. 讲述新课： 3、 古代埃及人作直角： 古埃及人曾用下面的方法得到直角： 他们用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的12 段，一个工匠同时握住绳子的第1 个 结和第 13 个结，两个助手分别握住第4 个结和第8 个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三 角形。其直角在第4 个结处。 他们真的能够得到直角三角形吗？ 2、做一做 下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c： 5，12，13； 7，24，25； 8 ，15，17。 （1）这三组数都满足 222 abc 吗？ （2） 分别以
11、这三组树为三边长作出三角形，用量角器量一量， 它们都是直角三角形吗？ 3、从做一做中，你能猜想到什么结论？ 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c有关系 222 abc ，那么这个三角形是直角三角形. 例 1 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形： （1） 7 ， 24 ， 25 ； （2） 12 ， 35 ， 37 ； （3） 13 ， 11 ， 9 解因为 25 2 2 2 ， 2 2 2 ， 2 2 2 ， 所以根据前面的判定方法可知，以（1）、（ 2）两组数为边长的三角形是直角三角形， 而以组（ 3）的数为边长的三角形不是直角三角形 4、勾股数： 能够
12、成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数（或勾股弦数）。 请你与你的同伴合作，看看可以找出多少组勾股数。： 在一根长为180 个单位的绳 子上，分别标出A，B，C，D四个点，它们将绳子分为长为60 个单位、 45 个单位和75 个单 精品文档 精品文档 位的三段线段。自己握住绳子的两个端点（A点和 D点），两名同伴分别握住B点和 C点， 一起将绳子拉直，会得到一根什么形状？为什么？ 记住常用的勾股数 能成为直角三角形三边的三个正整数叫做勾股数， 3 2+42=52 3、4、 5 是一组勾股数 同理 6 、8、10 是一组勾股数，5、12、 13 也是一组勾股数； 此外，还可用下面的方法产生
13、无数组勾股数：由例2 a=n 2-1 b=2n c=n 2+1 n=2 a=3 b=4 c=5 n=3 a=8 b=6 c=10 n=4 a=15 b=8 c=17 三随堂练习： 1、P54 练习 1.2 题 四课堂小结： （1）只要有两边的平方和等到于第三边的平方，这样的三角形是直角三角形，简记为： a 2+b2 =c 2 C=90 0 （1）应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较； （2）常用的勾股数有3、4、5、； 6、 8、10； 5、12、 13 等。 （3）判定一个直角三角形，我们除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用今天 的勾股定理的逆定理
14、，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是 代数方法在几何中的应用； （4）在定理中出现的a、b、c 并不是固定的，要理解其实质； 五、布置作业：P55 5.6 六课后反思： 精品文档 精品文档 勾股定理的应用（一） 一. 教学目标1. 会用勾股定理解决简单的实际问题。 2. 树立数形结合的思想。 3. 培养学生合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情。 二. 教学重点、难点 1. 重点：勾股定理的应用。 2. 难点：实际问题向数学问题的转化。 3. 难点的突破方法： 数形结合， 从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问 题的转化过程中， 注意
15、勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白； 优化训练， 在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深 入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。 勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用 三. 举例 例 1 如图 14.2.1 ，一圆柱体的底面周长为20cm ，高为4cm，是上底面的直径一 只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 图 14.2.1 分析蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图14.2.2 ）， 得到矩形 D，根据“两点之间，线段最短”，所求的最
16、短路程就是侧面展开图矩形对 角线 AC之长（精确到. cm） 图 14.2.2 解如图 14.2.2 ，在 Rt中，底面周长的一半cm ， AC 22 BCAB 22 104 229（cm）（勾股定理） 答： 最短路程约为cm 例 2 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图14.2.3的某 工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 精品文档 精品文档 图 14.2.3 分析 由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小 于 CH 如图 . . 所示，点D在离厂门中线0.8 米处，且CD ，与地面交于H 解在 RtOCD 中，由勾股定理得 22 ODOC 22 8.01 . 米， C . . . （米）. （米） 因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门 四. 随堂练习： 1、P54 练习 1.2 题 五、布置作业 1课本 P1415
