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1、精品文档 . 第五章微 分 方 程 模 型 如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律， 预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型. 1 传 染 病 模 型 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律， 预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题. 考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N，既不考虑生死，也 不考虑迁移，时间以天为计量单位. 一. SI 模 型 假设条件： 1.人群分为易感染者(Susceptible) 和已感染者 (Infective) 两类人， 简称为健康人 和病人，在
2、时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作ts和ti. 2.每个病人每天有效接触的平均人数是( 常数 ) ，称为日接触率， 当病人与健康 人有效接触时，使健康者受感染变为病人. 试建立描述ti变化的数学模型. 解：1titsNNtiNts 由假设2 知，每个病人每天可使ts个健康者变为病人，又由于病人数为 tiN，每天共有tiNts个健康人被感染. 于是i sN就是病人数 i N的增加率，即有 i sN dt di N(1) 精品文档 . i s dt di 而1is. 又记初始时刻(0t) 病人的比例为 0 i，则 0 0 1 ii ii dt di 这就是Logistic模型，其解为 t e
3、 i ti 1 1 1 1 0 结果分析 作出tti和i dt di 的图形如下： 1.当 2 1 i时， dt di 取到最大值 m dt di ，此时刻为 1 1 ln 0 1 i tm 2.当t时， 1i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）. 二. SIS 模 型 在前面假设1、2 之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等 愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可 以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型 . i 0m t t 2 1 2 1 i 0 dt di m dt di 精品文档 . 假设 1、2 同 SI 模型，增加假设
4、: 3.病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为，称为日治愈率. 病人治愈后成为 易感染者（健康人）. 显然 1 是这种传染病的平均传染期. 解：在假设1、2、 3 之下，模型（ 1）修正为 iNiNs dt di N 于是 0 0 1 ii iii dt di 解得 , 1 , 1 1 0 1 0 i t e i ti t 结果分析 1.令 . 注意到和 1 的含义， 可知是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数， 称为接触数 . 0 1 1 i 1 1 0 t 1 1 1 0 i i 0i 0t 1 i 1 1 精品文档 . 2.接触数 1是一个阈值 . 当1时，病人比例ti越来越小，最终趋
5、于零. 当 1时，ti 的增减性取决于 0i 的大小，其极限值 1 1i. 3.SI 模型是 SIS 模型中0的情形 . 三. SIR 模 型 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病 愈的人既非健康者, 也非病人 , 他们已经退出传染系统，此时模型的假设为 1. 人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR 模型 . 三类人在总人数 N中占的比例分别记作is、ti和tr. 1.病人的日接解率为，日治愈率为（与SIS 模型相同） ，传染期接触数为 . 解：由假设1，有 1trtits0 dt dr dt di dt ds 由假设 2，得iN dt dr NNiNi s dt di N ii s dt di i dt dr 又设00,0,0 00 riiss 于是 00 s0s,0ii i s dt ds ii s dt di (2) 精品文档 . 我们在相平面上来讨论解的性质. 相轨线的定义域为 1s,0, 0s, siiiD 由(2) 式消去 dt，得 0ss 0 1 s 1 s ii d di 这里 解得 0 00 s s ln 1 s-isi(3) 在定义域 D内， (3) 式表示的曲线即为相轨线 .
