《多跳-扩散模型与脆弱欧式期权定价》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多跳-扩散模型与脆弱欧式期权定价（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、应用概率统计 第一 二 十七卷 第三期2 0 1 1 年6 月 Chi ne s e Jo ur na l o f App l i e d Pr o bab i l i t y a nd S t a t i s t i c s Vo 1 2 7 NO 3 J un 2 01 1 多跳 一扩散模型与脆弱欧式期权定价 木 魏 正元 高红霞 ( 重庆理工大学数学与统计学院， 重庆， 4 0 0 0 5 4 ) 捅姜 本文对期权的标的资产价格和合约空头方的资产一 债务L ( A s s e t s - t o - L i a b i l i t i e s 1 引入有多个跳风 险源的跳 一 扩散过程(
2、 J u m p - D i ff u s i o n P r o c e s s ) 进行建模 用几 N B r o w n 运动描述其常态连续运动的情 形， 用多个不同强度的P o i s s o n 过程描述遭受各种新信息或稀有偶发事件所触发的各种跳发生的记数过 程， 用多个不同的对数正态随机变量描述各种跳所对应的跳幅度， 并假定跳风险是可分散的在模型限 定下， 我们应用I t 6 引理和等价鞅测度变换， 导出了公司价值型信用风险欧式期权一般化的封闭形式的 解析定价公式， 推广了经典的结构信用风险期权定价以及状态变量带单跳的跳扩散情形、 同时也从定 量的角度完善了Z h o u ( 2
3、0 0 1 ) U L o b o ( 1 9 9 9 ) 的工作 关键 词： 多跳 扩散过程 信用风险， 脆弱欧式期权， 期权定价 学 科分 类号： O2 1 ， F 8 3 0 9 1 引 言 区分含于金融合约中的市场风险( Ma r k e t R i s k ) H 信用风险( C r e d i t R i s k ， D e f a u l t R i s k 1 是很重要的 一般的， 金融合约中潜在的市场风险可以通过持有适当的抵偿债券头寸进行 对冲， 而信用风险却不能 实证研究发现， 信用风险是系统风险， 应有风险回报3 】 大致存在两种类型的违约风险模型【4 ， 5 l ： 一
4、种Me r t o n 开创， 经B l a c k ， C o x ， L o n g s t a ff S U S c h w a r t z 等修正发展的结构方法( S t r u c t u r a l A p p r o a c h ) 该模型限定 当合约空头方的 资产总价值低于其债务总额或某一外生的临界水平时空头方才会违约该模型又可进一 步分为公司价值模型( F i r m V a l u e Mo d e 1 ) 和首达时模型( F i r s t P a s s a g e Mo d e 1 ) 前者限定 合约未到期， 合约空头方不违约， 合约到期时， 若发生违约， 债权方(
5、合约多头方) 所获得的 补偿率( R e c o v e r y Ra t e ) 是违约方公司的资产一 债务比的函数 首达时模型限定合约空头方 公司可以在合约未到期之前违约， 清算时合约多头方所获得的补偿率不一定是合约空头方 的资产债务比的函数， 可以是一个与违约方资产一 债务比独立的某一个外生的补偿随机过 程( S t o c h a s t ic R e c o v e r y P r o c e s s ) 另一种方法是D u ffle ， S i n g l e t t o n J a r r o w 等采用的简化 形式方法( R e d u c e d F o r m A p p
6、r o a c h ) ， 也称为强度模型( I n t e n s i t y Mo d e 1 ) 该模型不考虑违 约风险是否受合约空头方资产一 债务结构的影响， 而是采用一个外生的违约随机过程， 譬 如L 6 v y 过程来触发违约事件的发生， 违约发生时合约的债权方所获得的补偿率并不要求必 重庆市教委科学技术研究项目基金( KJ 1 0 0 8 1 9 ) 资助 本文2 0 0 8 年2 月1 8 日收到 第三期 魏正元 高红霞：多跳 一扩散模型与脆弱欧式期权定价 须是违约公司的资产一 债务 比的函数， 可以是一个外生的补偿随机过程 经典的违约风险 模型一个共同点是， 假设合约空头方的
7、资产价值服从几何B r o w n 运动 期权是金融衍生工具的一种重要形式， 其价值依赖于其它更基本的状态变量( 称为标的 资产， U n d e r l y in g A s s e t ) 的价值变动 B l a c k Il S c h o l e s f 1 9 7 3 ) 在期权定价领域做出了开创性 的贡献 在完备市场环境下， 他们给出了普通欧式期权封闭形式的解析定价公式实际观 测发现， 许多金融资产的经验收益分布曲线表现出显著的非对称性和厚尾现象( V o l a t i l i t y S mi l e ) 7 此现象是经典模型一 几何B r o w n 运动所不能刻画的Me r
8、 t o nf 1 9 7 6 ) 首先引入 跳一 扩散过程描述标的资产价格， 并对普通欧式期权给出了相应的价格公式 L o b o ( 1 9 9 9 ) tl Z h o u( 2 o m) 研究了标的资产价格带跳的信用风险欧式期权( V u l n e r a b l e O p t i o n ) 定价问题， 但都没有给出解析定价公式由于结构模型从经济学的角度有很强的直 观背景， 且从计算角度可能得到封闭的解析解3 3 本文仅限于讨论该模型中的公司价值模 型我们注意到不同类型的稀有偶发事件对标的资产价格和空头方公司的资产一 债务比的 冲击效果是不一样的， 对应的偶发事件发生的频率也不相
9、同( 如技术革新， 人事变动， 法律 变更， 违约事件等) 【9 J 基于公司价值型信用风险模型【5 】 和欧式期权定价理论 ， 本文引入包含几何布朗运动 和多维P o is s o n 过程的I t 6 一 S k o r o h o d 随机微分方程用以刻画标的资产价格和资产一 债务比的 演化， 建立起一个包含多个跳过程的信用风险期权定价模型 在模型限定下， 我们应用等价 鞅测度变换导出了公司价值型信用风险欧式期权封闭形式的解析定价公式因而， 无论是 从期权定价还是含机构信用风险的期权定价角度， 本文的模型和结论更一般， 经典的结构 信用风险期权定价以及状态变量带单跳的跳 一 扩散情形是本
10、文结论的特例， 同时也从定量 的角度完善了Z h o u ( 2 0 0 1 ) L o b o ( 1 9 9 9 ) 的工作 2 模型 与记号 1 设w( t ) =( Ws ( t ) ， ( ) ) 为某个概率gf( n ， ， P ) 下的二维标准B r o w n _ 动， 其相 关系数为 ( 常数) ， 即有( d ( ) ， d ( t ) ) =p d t q i ( t ) ， ( ) 分别是强度为九， ( 非负常数) 的齐次P o is s o n 过程， ( i = 1 ， ； J=1 ， ) 用 表示期权的标的资产价格， 表示 该期权合约空头方的资产价值总额与债务总额
11、之比， 它们的动态过程分别满足下面的随机 微分方程( S D E ) d = 一p s d t +a s d ( t ) + Nd q ， = 一 d t + a d ( ) + 暑 M ( ) ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 其中 s ， tuna s ， 分别为常值型的瞬时漂移率和波动率； q i ( t ) ( ( ) ) 是触发 ( 5 t ) N第 i ( ) 种跳风险源在t 一 时刻发生跳的记数过程， ( ) 是其所对应的跳幅度； l +k i ( 1 十f j ) 均 应用概率统计 第 十七卷 服从对数正态分布， 且满足 易知 P ( 1 -1- k t o ) = 0 ，
12、ln ( 1 + ) 一 ( 一 1 ， ) ， = 1 ， ( 2 3 ) P ( I +I 0 ) =0 ， l n ( 1 + ) 一 1 2 ， ) ， = M ( 2 4 ) E e x p ( 1 n ( 1 +k i ) ) 一1 )=e x p ( v i ) 一1：=k i ， i =1 ， ， ； E e x p ( 1 n ( 1 + ) ) 一1 ) =e x p ( # j ) 一1：=l j ， J =1 ， ， M ( 2 5 ) ( 2 6 ) 假定q l ( t ) ， q N ( t ) 1 ( ) ， p M( t ) ) 之间相互独立； 1 ， ( f
13、1 ， t U) 之问相互独立； ( ) ， ( 七 1 ， k N) ， ( q l ( ) ， q N ( t ) ) ( wa ( t ) ， ( 1 1 ， z M) ， 1 ( ) ， M( ) ) ) 三者之间相 互独立； Ws ( t ) ， ( 1 ， k N ) ， ( 1 1 ， z M) ， ( q l ( t ) ， q ( t ) ) ， ( p l ( t ) ， p M( t ) ) 2者相互独 立， ( wa ( t ) ， ( k l ， k N ) ， ( 1 1 ， f M) ， ( q l ( t ) ， 口 ( t ) ) ， (p l ( t ) ，
14、 p M( t ) ) ) 亦相互独立 2 ( ， ， P ， ( ) t 0 ) 为带流概率空间， = ( Ws ( ) ， ( u ) ， ( u ) ， ( u ) ， N l ( u ) ， ，M( ) ； t ) ， 其中坛 ( ) ， g j ( t ) 分别为 ( t ) ， ( t ) 相应的伴随鞅， 即有 ( t ) =q i ( t ) 一 A i t ， ( ) =功( ) 一e j r ( B t ) t o 为一无风险债券， 满足B T=B t e x p ( r ( T ) ) ， 其中r 是 市场无风险利率以 作为折现 因子对标 的资产 和资产一 债务比 进行折现
15、， 根据等 价鞅测度存在 定理【1 0 ， 存在唯一 的与P 一 测度等价 的Q 一 鞅测度( 风险中性测度) ， ： ( Ws ( t ) ， ( t ) ) 为Q 测度下的B r o w n ：i 动， ( Q ， 5 - ， Q ， ( ) t 0 ) 为相应的带自 然 一 代数流( 元) t 0 的概率空间， ： ， 0 t T 3 在Q 一 测度下( 2 1 ) ， ( 2 2 ) 分别满足S D E d = ( r d 一 N 瓦 ) d t + a s d W s ( ) + N (t ) ) d = ( r 一 暑M ) d t + d (t ) + 暑M ( t ) ) ， 其中d 为标的资产连续红利收益率 记 N d =d + A i k i ， i = 1 在Q 一 测度下运用I t 6 微分公式 1 3 可得 d IN S ( t ) =r - d * - 1 ) d t + a s d W s ( ) + N ln ( 1 + 觑 ) d ( ) ， d In 6 】 = r - U* - 1 ) d t + a ad W a( 兰 1n (1 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 一 一 二 l l 魏正元 高红霞： 多跳一 扩散模型与脆弱欧式翅权定 那么， 在Q 测度下( 2 1
