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1、求函数值域的几种方法,求函数值域的问题,也是高中数学中常见的题型,下面举例说明求函数值域的几种常用的方法. 1. 利用配方法求函数的值域 对函数 y = f (x),如果 f (x) = a (x)2 + b,并且 (x) = 0 有实根,则当 a 0 时,f (x) 的值域是 b,+);当 a 0 时,它的值域是(- ,b .,例 1 求 y = 2x2 - 4x + 5 (x R) 的值域 .,解:y = 2( x 1 )2 + 3,,由于 2( x 1 )2 0 ,, y 3 ., 函数的值域为 3,+ ).,注:对于二次函数,都可以用这种配方的方法 求函数的值域 .,2. 利用换元法求
2、函数的值域, y 1 ., 函数的值域为(- ,1 .,这时若得 y 1,则是错误的 .,事实上,因为 t 0,所以 (t + 1)2 1 .,3. 利用 (x) 的值域求 f (x) 的值域 如果函数 y = f (x) 是关于 (x) 的复合函数, 而 (x) 的值域是易求的,则可由原函数中先解出 (x) ,而后由 (x) 的值域确定 f (x) 的值域 .,解:由于 x 2 - 2x = (x -1) 2 1 -1 .,解得 y -1 或 y 0 ., 函数的值域为 y | y -1 或 y 0 .,4. 利用反函数的定义域求函数的值域 若一个函数有反函数,则它的反函数的定义域就是原函数
3、的值域 .,注:对于分式函数,如果它的分子和分母都 是 x 的一次式,一般用这种方法求值域比较方便 .,5. 利用函数单调性求值域 设函数 y = f (x) 在某一区间上是单调的,且函数在两个端点处的函数值(或左、右极限)为 a、b,则 a、b 就是这个函数的最大、最小值(或上、下确界,a,b也可能是 ).,解:显然此函数的定义域为 1,+).,当 x 1 时,函数单调递增 .,6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数的值域,因函数的定义域非空集,故上述关于 x 的一元二次方程一定有实根 .,注 : 若一个函数是分式函数,且其分子分母都是不超过二次的多项式函数,且其中至少有一个是二次多项式,则这样的函数就可以用上述方法求值域 . 另外,等我们学习了不等式一章之后,还可以用基本不等式求函数的值域 .,