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1、1一般数列的求和方法http:/www.DearEDU.com对于等差数列和等比数列而言，我们采用倒序相加法和错位相减法来求他们的前 项n和，而对于一般地数列我们可以从求等差数列和等比数列的前 项和的方法受到启发，得n到下面的几种方法，这些方法是我们求一般数列的通法，只要大家能够理解这些方法的适用范围，并且根据这些方法对新出现的数列都可以化为下面的形式，那么数列的求和问题就不会太难。现将这些方法总结如下：一 公式法对这些比较简单常见的数列，我们可以记下他们的前 项和，在题目里我们可以直接n利用它们。（1） 1232n（2） 5（3） 461n（4） 2221326n（5） 334（6） 211
2、1nnaa例 1 求 的和。22223456910解： 222214365109379 由等差数列的求和公式 得 5039S502 二 分组结合法（裂项法）若数列 的通项公式为 ，其中 、 中一个是等差数列，另一个ncnncabnab是等比数列，求和时一般利用分组结合法。2例 2 求数列 的前 项的和。123486、 、 、 、 n解：因为 nna所以 11123482n nS3nn12nn21n三 拆项相消法若一个数列的每一项都可以化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项互相抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法。例 3 ，求 。111234352nSn nS解：因
3、为 121na所以 12342nSnn 12n34常见的拆项公式有：（1） 1nn（2） 121n3（3） 112nnn 2（4） abab（5） 12nnS四 错位相减法若数列 的通项公式 ，其中 、 中一个是等差数列，一个是等比ncnncabnab数列求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。这种方法叫错位相减法。例 4 求数列 的前 项的和。13521,8n 解： 4nnS1262两式相减，得 1248nnS112n所以 1248nnS11214n12nn3五 倒序相加法如等差数列的前 项和的求法就是采用这
4、种办法，即先倒序书写这个数列，然后再把n原数列和倒写后的数列对应项相加可以求得原数列的前 项和。n六 数学归纳法在 06 年的高考题中，出现了求数列 的通项公式，其中要先求出该数列前 项和，nan4然后根据其前 项和来求其通项公式。在求前 项和时没有用到前面我们所提到的几种方nn法，而是根据归纳 猜想 验证即数学归纳法来得到的。例 5 （06 年全国高考理科 22 题）设数列 an的前 n 项和为 Sn，且方程 x2 anx an0 有一根为Sn1， n1，2，3，（）求 a1， a2；（） an的通项公式。解：()当 n1 时， x2 a1x a10 有一根为 S11 a11，于是( a11
5、) 2 a1(a11) a10，解得 a1 12当 n2 时， x2 a2x a20 有一根为 S21 a2 ，12于是( a2 )2 a2(a2 ) a20，解得 a1 12 12 16()由题设( Sn1) 2 an(Sn1) an0，即 Sn22 Sn1 anSn0当 n2 时， an Sn Sn1 ，代入上式得Sn1 Sn2 Sn10由()知 S1 a1 ， S2 a1 a2 12 12 16 23由可得 S3 34由此猜想 Sn ， n1，2，3，nn 1下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1 时已知结论成立(ii)假设 n k 时结论成立，即 Sk ，kk 1当 n k1 时，由得 Sk1 ，即 Sk1 ，12 S k k 1k 2故 n k1 时结论也成立综上，由( i)、( ii)可知 Sn 对所有正整数 n 都成立nn 1于是当 n2 时， an Sn Sn1 ，nn 1 n 1n 1n(n 1)又 n1 时， a1 ，所以12 112 an的通项公式 an ， n1，2，3， nn 1总之，只要我们在求和时观察数列各个项的特征，然后灵活运用上述的方法，我相信数列的求和问题就会迎刃而解。
