《极限的求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极限的求法（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、极限的求法 1. 直接代入法 适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为 例 1. 求 . 分析 由于 , 所以采用直接代入法. 解 原式= 2利用极限的四则运算法则来求极限 为叙述方便，我们把自变量的某个变化过程略去不写，用记号 )(limxf 表 示 )(xf 在某个极限过程中的极限，因此极限的四则运算法则可确切地叙述如下： 定理 在同一变化过程中，设 )(lim),(limxgxf 都存在，则 （1） )()(limxgxf)(lim)(limxgxf （2） )()(limxgxf)(lim)(limxgxf （3）当分母 )(limxg 0 时，有 )(lim )(lim )( )(
2、 lim xg xf xg xf 总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、 商。 例 2. 求1 1 lim 2 x x x 。 解1 1 lim 2 x x x ) 1(lim ) 1(lim 2 2 x x x x 3 1 3无穷小量分出法 适用于分子、分母同时趋于 ,即 型未定式 例 3 分析 所给函数中，分子、分母当 时的极限都不存在，所以不能直 接应用法则.注意到当 时，分子、分母同时趋于 ，首先将函数进行初 等变形，即分子、分母同除 的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据 运算法则即可求出极限. 为什么所给函数中,当 时，分子、分母同时趋于 呢?以当
3、说明：因为 ,但是 趋于 的 速度要比 趋于 的速度快，所以 .不要认为 仍是 (因为 有正负之分). 解 原式 (分子、分母同除 ) （运算法则） （当 时， 都趋于 .无穷大的倒数是无穷小.） 4. 消去零因子法 适用于分子、分母的极限同时为 0,即 型未定式 例 4 分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是 0,不能直接使用法则四,故 采用消去零因子法. 解 原式= (因式分解) = (约分消去零因子 ) = (应用法则) = 5. 利用无穷小量的性质 例 5 求极限 分析 因为 不存在,不能直接使用运算法则, 故必须先将函数进 行恒等变形. 解 原式= (恒等变形) 因为 当 时,
4、, 即 是当 时的无穷小,而 1, 即 是有界函数,由无穷小的性质：有界函数乘无穷小仍是无 穷小, 得 =0. 6. 利用拆项法技巧利用拆项法技巧 例6： ) ) 12)(12( 1 5 . 3 1 3 . 1 1 ( lim nn n 分析：由于 ) ) 12)(12( 1 nn = ) 12 1 12( 1 ( 2 1 nn 原式=2 1 ) 12 1 1 ( 2 1 ) 12 1 12 1 () 5 1 3 1 () 3 1 1( 2 1 lim lim nnn n n 7. 变量替换 例 7 求极限 . 分析 当 时,分子、分母都趋于 ,不能直接应用法则,注意到 ,故可作变量替换. 解
5、 原式 = = (令 ,引进新的变量,将原来的关于 的 极限转化为 的极限.) = . ( 型,最高次幂在分母上) 8. 分段函数的极限 例 8 设 讨论 在点 处的极限是否存在. 分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必 须从极限存在的充要条件入手. 解 因为 所以 不存在. 注 1 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 . 注 2 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 . 我总结的 16 种求极限的方法（你还能找出 其他的？ 首先说下我的感觉， 假如高等数学是棵树木得话，那么 极限就是他的根， 函数就是他 的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎， 可见这一章的重要性。 为什么
6、第一章如此重要？ 各个章节本质上都是极限， 是以函数的形式表现出来的，所 以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先 对 极限的总结 如下 极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致 1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是 一般极限的一种） 2 解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！你还能有补充么？ ？） 1 等价无穷小的转化， （只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用 但 是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e 的 X 次方-1 或者 （1+x）的 a 次方-1 等价 于 Ax 等等 。 全部熟记 （x
7、 趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 落笔他 法则 （大题目有时候会有暗示 要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！ 必须是 X 趋近 而不是 N 趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求 x 趋近情况下的极限， 当然 n 趋近是 x 趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点 数列极限的 n 当然是趋近于正无穷的 不可能是负无穷！） 必须是 函数的导数要存在！（假如告诉你 g（x）, 没告诉你是否可 导， 直接用无疑于找死！） 必须是 0 比 0 无穷大比无穷大！ 当然还要注意分母不能为 0 落笔他 法则分为 3 中情况 1 0 比 0 无穷比无穷 时候 直接用 2 0 乘以无穷 无
8、穷减去无穷 （ 应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以 无穷大 都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成 1 中的形式了 3 0 的 0 次方 1 的无穷次方 无穷的 0 次方 对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就能把幂上的函数移 下来了， 就是写成 0 与无穷的形式了 ， （ 这就是为什么只有 3 种形式的原因， LNx 两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于 0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX 趋 近于 0） 3 泰勒公式 (含有 e 的 x 次方的时候 ，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变注 意 ！） E 的 x 展开 sina 展开 cos
9、 展开 ln1+x 展开 对题目简化有很好帮助 4 面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则 最大项除分子分母！ 看上去复杂处理很简单 ！ 5 无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方 法。 面对非常复杂的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！ 6 夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式 ，放缩和扩大。 7 等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q 绝对值符号要小于 1） 8 各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9
10、 求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道 Xn 与 Xn+1 的关系， 已知 Xn 的极限存 在的情况下， xn 的极限与 xn+1 的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。 这两个很重要 ！对第一个而言是 X 趋近 0 时候的 sinx 与 x 比值 。 地 2 个就如果 x 趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式 （地 2 个实际上是 用于 函数是 1 的无穷的形式 ） （当底数是 1 的时候要特别注意可能 是用地 2 个重要极限） 11 还有个方法 ，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候 不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！ x 的 x 次方
11、 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） ! 当 x 趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中 13 假如要算的话 四则运算法则也算一种方法 ，当然也是夹杂其中的 14 还有对付数列极限的一种方法， 就是当你面对题目实在是没有办法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。 一般是 从 0 到 1 的形式 。 15 单调有界的性质 对付递推数列时候使用 证明单调性！ 16 直接使用求导数的定义来求极限 ， （一般都是 x 趋近于 0 时候，在分子上 f（x 加减麽个值）加减 f（x）的形式， 看 见了有特别注意） （当题目中告诉你 F(0)=0 时候 f（0）导数=0 的时候 就是暗示你一定要用导数定 义！）
