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1、高等数学习题课电子教程,Department of Mathematics, College of Sciences,哈尔滨工程大学理学院工科数学教学中心,高等数学习题课电子教程,熟练掌握的内容,理解的概念,基 本 计 算 能 力,确定函数的定义域,确定函数的连续点(区间),求极限.(四则运算法则、两个重要极限、无穷小的性质、等价无穷小的替换),求函数的间断点类型,初等函数在其定义区间内都是连续的,无穷小的性质定理,闭区间上连续函数的介值、零点存在定理,证： 0,| x31 | = | (x1)(x2+x+1) | = | x1 | | x2+x+1 |,因x1, 故不妨设 0 | x1 |
2、1,即 0 x 2,故 | x2+x+1 | = x2+x+1, 4+2+1=7,从而 | x31 | 7 | x1 |.,考虑:,要使 |x31|, 只须 7|x1| , 即|x1| 即可.,例 1,适当放大法,典型例题选讲,取 = min ( , 1 ),则当 0 |x1| 时,(有|x 1|1及 |x1| ),有 |x31| .,证明, 0, 0, 当0|xx0| 时, 有 | f (x) a | ,证毕,二.用极限存在准则确定极限,xn,设,证明数列,有极限并求：,故,所以,单调增加.所以:,有极限.,由单调有界原理知,设,则,解得:,所以,（舍去）.,解答:先用“单调有界数列必有极限
3、” 证明,(1)单调性.,= xn1,故xn单调递增.,0,n1个a,(2)有界性.,0 xn,n1个a,故xn有界.,综合(1),(2), 知xn单调, 有界.,由于,从而,A2 = a+A,解出A.,因xn0, 由保号性定理, A 0,从而,即,将 等分成,原式,解：,原式,练 习2,解: 将x=1代入分母, 分母为0, 不能用定理直接求极限.,想办法约去使分子分母都为零的因子x1.,有,有理化 消除零因子,练 习3,练 习4,解：,从而,解:,注意到, 若f (x)A, 则f (x)=A+, 为无穷小量.,四.利用两个重要极限计算极限,例 7,例 7,原式=,五.用等价无穷小代换求极限,
4、请记住一 些常用的 等价无穷小,解:,求,原式,重要极限与四则运算结合,解:,解：,从而,另一种做法,现在考虑x从左右两个方向趋于0时f(x)的极限,右极限,从右边趋于0,六.用左右极限相等求极限,左极限,从左边趋于0,左右极限不相等,左右极限不相等,所以极限不存在,设,求,练 习,解 答,练习7,七.根据极限求参数,例 15,解:,左右极限相等,已知,求 之值,解,而,即,即,解,由题设知，分子必须是 x 的零次多项式,解 答,即,即,设函数,指出间断点及类型.,解 该函数的间断点为,当,故,点为,函数的第二类间断点.,时，由于,七.关于函数连续性方面的习题,当,为函数的第一类间断点.,若,
5、在 连续，,所以,求,解：,由于,处连续，,在,而,故由：,得,解得,（舍去），,所以,试证方程,的正根.,至少有一个小于1,证明：令,则,上连续.,又因：,在0，1,由介值定理知，在0，1之间至少存在一点,成立，,故原结论成立.,即,使,成立，,显然，,解答,下面讨论 在 与 处的连续性.,当 时，,因为,当 时，,且是函数的第一类间断点（跳跃间断点）。,综合所述，函数 在 内连续。,解,求 的值，使函数在点 处连续。,解 由连续性的定义可知，要使函数在 x=0 点连续，则应有,而,解,根据代数基本定理三次多项式最多有三个实根,解,例20,证明,讨论:,由零点定理知,综上,测 验 题,二。设有函数,测验题答案,Good,Bye,感谢同学们！,
