《2018-2019学年高二第二学期3月考数学试题(解析版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018-2019学年高二第二学期3月考数学试题(解析版)（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2018-2019 学年度北京师范大学附属实验中学 高二下学期3 月考试题 第 I 卷（选择题共 32 分） 一选择题：本大题共8 小题，每小题 4 分，共 32 分。 1.下列求导数运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 利用导数的运算，对四个选项中的函数分别求导，由此得出正确选项. 【详解】解：A、 （ x） 1，故错误； B、 （ 3 x） 3xln3 ，故错误； C、符合对数函数的求导公式，故正确； D、 （ x 2cosx） 2xcosx x2sinx ，故错误 故选： C 【点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查导数的运算，属于基础题. 2
2、.函数yx 2 在区间 x0, x0+x 上的平均变化率为k1，在 x0 x，x0 上的平均变化率为k2，则k1与k2的 大小关系是（） A. k1k2 B. k1k2 C. k1k2 D. k1与k2的大小关系不确定 【答案】 D 【解析】 由题意结合函数的解析式有： ， ， 则，因为 x 可大于零也可小于零，所以k1 与 k 2的大小不确定 . 本题选择D 选项 . 3.设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 分析：利用奇函数偶此项系数为零求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进 而求得切线方程. 详解：因为函数是奇函数，
3、所以，解得， 所以， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简可得，故选 D. 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要 确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得 相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 4.已知某生产厂家的年利润 （单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为， 则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 A. 13 万件 B. 11 万件 C. 9 万件D. 7 万件 【答案】 C 【解析】 解：令导数y= -x 2+810，解得 0
4、 x9； 令导数 y= -x 2+810，解得 x9， 所以函数y=- x3+81x-234 在区间（ 0，9）上是增函数， 在区间（ 9， +）上是减函数， 所以在 x=9 处取极大值，也是最大值，故选 C 5.函数 上的极小值点为（） A. 0B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 求导后令导数等于零，求得导函数的零点，然后根据单调性求得极小值点. 【详解】解： y 12sinx 0，得 x或 x， 故 y x+2cosx 在区间 0 ， 上是增函数，在区间， 上是减函数，在， 是增函数 x是函数的极小值点， 故选： C 【点睛】本小题主要考查函数的导数运算，考查求函数的极小值
5、点，属于基础题. 6.设函数在上可导，其导函数为 ，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立 的是（） A. 函数有极大值 和极小值 B. 函数有极大值 和极小值 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值 和极小值 【答案】 D 【解析】 【分析】 根据的图像，按分类，研究函数的单调区间，由此求得函数的极 大值和极小值. 【详解】解：由函数的图象可知，f （2） 0，f （ 2） 0， 并且当 x 2 时，f （ x） 0， 当 2x1，f （ x） 0，函数 f（ x）有极大值f （ 2） 又当 1x2 时，f （ x） 0， 当 x 2 时，f （ x） 0，故函数f （x）有极小
6、值f （2） 故选： D 【点睛】本小题主要考查利用函数的图像判断导函数的正负，并由此求得极值，属于基础题. 7.若函数y 在（ 1， +）上单调递增，则a的取值范围是（） A. aB. a-2C. aD. a-1 【答案】 A 【解析】 【分析】 先求得函数的导数，根据函数的单调性令导数恒大于等于零，分离常数后求得的取值范围 . 【详解】依题意，函数在上有，即恒成立，由于，故，所以 .故选 A. 【点睛】本小题主要考查函数的导数，考查已知函数的单调性求参数，考查分离常数法，属于基础题. 8.函数 的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断： ； ； 函数在区间 上是增函数。 其中正确的判
7、断是（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 试题分析：，由图可知时，为增函数知， 所 以 有。 又 由， 所 以 有 ，因为，所以，因为所以有, 所以,开口 向上，对称轴 为 ，所以函数在区间上是是增函数。 考点：导数在求函数极值及单调性中的应用 第 II 卷（非选择题共 68 分） 二填空题：本大题共6 小题，每小题 4 分，共 24 分。 9.如果函数f（x） cosx，那么 _ 【答案】 【解析】 【分析】 先求得函数的导数，然后令，分别代入原函数和导函数，由此求得表达式的值. 【详解】解：由题意知，f （x） cosx， cos，f （ x） sinx ， sin ， 故
8、答案为： 【点睛】本小题主要考查基本初等函数的导数，考查特殊角的三角函数，属于基础题. 10.已知f（x）x 33x，过点 P（ 2，2）作函数yf（x）图象的切线，则切线方程为_ 【答案】y 9x-16 或y2 【解析】 【分析】 当为切点时，利用导数求得斜率，由此求得切线方程.当不是切点时，设出切点坐标，求得斜 率，根据点斜式写出切线方程，将点代入切线方程，求得的值，由此求得切线方程. 【详解】解：y -3+3x 2 当点 P为切点时， y| x2 9，得到切线的斜率为9， 所求的切线方程为y 9x16， 当 P点不是切点时，设切点为（m ，m 33m ） 则切线的斜率为3m 23，切线方
9、程为 ym 3+3m （ 3m23） （ xm ） 而切线过（ 2， 2 ） ，2m 3+3m （ 3m23） （2m ） 解得 m -1 或 2（舍去） 切点为（ -1 ， 2 ） ，斜率为0，所求的切线方程为y2 故答案为： y9x-16 或 y2 【点睛】本小题主要考查过某点的切线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题. 11.已知yf（x）是定义在 R上的函数，且f（1） 1，f （x） 1，则f（x）x的解集是 _ 【答案】（1，+） 【解析】 【分析】 构造函数，利用导数和已知条件判断出为单调递增函数，并由此求得不等式的解集. 【详解】解：设g（x） f （x） x， 则 g（
10、x）f （ x） 1， f （ 1） 1，f （ x） 1， g（ x）f （ x） 10，即 g（ x）单调递增， 且 g（ 1） f （1） 10， 当 x 1 时， g（x） g（1） ， 即 f （ x） x0， 则 f （ x） x， 即 f （ x） x 的解集是（ 1，+） ， 故答案为：（ 1，+） 【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数解不等式，属于基础题. 12.如图，将边长为1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的 正六棱柱容器（图）.当这个正六棱柱容器的底面边长为时，其容积最 大. 【答案】 【解析】 试题分析：如图，设底面
11、六边形的边长为x，高为 d，则 d=（1-x） ； 又底面六边形的面积为： S=6? ?X2?sin60 = x2；所以，这个正六棱柱容器的容积为： V=Sd=x 2? （1-x）= (x 2-x3)，则对 V 求导，则 V= （2x-3x 2） ，令 V=0 ，得 x=0 或 x= ， 当 0 x 时， V 0，V 是增函数；当x 时， V 0，V 是减函数； x= 时， V 有最大值 故答案为。 考点：本题主要考查导数的应用，几何体的体积公式。 点评：典型题。理解题意，构建函数模型是关键，记牢公式，求导计算。 13.若函数 在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的 和为 _ 【答案】
12、. 【解析】 分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数 最值，即得结果. 详解：由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以 ，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ， 点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件从图象的最高点、最 低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单 调性、周期性等 14.已知函数 有两个极值点 , 则实数的取值范围是 _ 【答案】. 【解析】 ，令函数有两个极值点，则 在区间上有两个实数根，当时，则函数在区间 单调递增，因此在区间上不可
13、能有两个实数根，应舍去，当时，令，解 得，令，解得，此时函数单调递增，令，解得，此时函数单 调递减，当时， 函数取得极大值， 当 近于与 近于时， 要使在区间 有两个实数根，则，解得实数的取值范围是，故答案为. 三解答题：本大题共4 小题，共 44 分。解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15.求下列函数的导数： （1） （2）y 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】 根据乘法、除法和复合函数的求导法则，对两个函数进行求导. 【详解】（1）； （2）. 【点睛】本小题主要考查乘法、除法和复合函数的求导法则，考查运算求解能力，属于基础题. 16.已知函数f（x） 2lnxx （I
14、 ）写出函数f（x）的定义域，并求其单调区间； （II ）已知曲线yf（x）在点（x0，f（x0） ）处的切线为l，且l在 y 轴上的截距是2，求x0 【答案】（）定义域为（0，+） , 单调递增区间是（0，2） ，单调递减区间是（2，+）； （） 1. 【解析】 【分析】 （ ）由对数真数大于零求得函数的定义域，利用导数求得函数的单调区间.（）利用切点的横坐标求得 斜率，由点斜式写出切线方程，令纵截距为列方程，解方程求得的值 . 【详解】解： （）函数yf （x）的定义域为： （0，+） f （ x） 2lnx x， 令 f （x） 0，则 x2 当 x 在（ 0，+）上变化时，f （ x）
15、 ，f （ x）的变化情况如下表 函数 yf （ x）的单调递增区间是（0，2） ，单调递减区间是（2，+） （）由题意可知：f （x0） 2lnx0 x0， 曲线 yf（x）在点（ x0， f （x0） ）处的切线的斜率为 切线方程为： 切线方程为ykx 2， 2lnx02 2 x0 1 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解有关切线方程的问题，属于中档 题. 17.已知函数f（x）x 2ex b，其中bR （）证明：对于任意x1，x2（， 0 ，都有f（x1）f（x2）； （）讨论函数f（x）的零点个数（结论不需要证明） 【答案】（）详见解析； （）详见解析. 【
16、解析】 【分析】 （I）利用导数求得函数的最大值和最小值，利用最大值减去最小值来证得不等式成立.（ II）当和 时，由解析式判断零点的个数.当时，根据最大值进行分类，得出零点个数. 【详解】解： （） f （x）的定义域R，且 f （ x） x（x+2）e x， 令 f （ x） 0 则 x10，或 x2 2， f （ x） x（x+2）e x， x （， 2）2 （ 2，0） f （ x）+ 0 f （ x）增函数极大值减函数 f （ x）在区间（，0 上的最大值为；f （ 2）b， x（，0 ，f （ x） x 2exb b， f （ x）的最小值为：b， 对于任意x1，x2（， 0 ，都有 f （x1） f （x2）f （ x）最大值f （x）； （） f （ x） x（x+2）e x，函数 f （x） x2exb， 当 b 0 时，函数f （x） x 2 e xb0 恒成立
