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1、深圳市深圳中学20182019 学年度第二学期第一学月 教学质量检测高二年级理科数学试卷 第卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 试题分析：由题意得，所以，故选 C. 考点：集合的运算. 2.在等差数列中，若前项的和，则( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 试题分析：. 考点：等差数列的基本概念. 3.已知f(x) x 2 ，则f (0)等于 ( ) A. 0 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】 D 【解析】 【分析】 先求
2、得函数导数，然后令求得相应导数的值. 【详解】依题意，所以，故选 D. 【点睛】本小题主要考查函数导数运算，考查运算求解能力，属于基础题. 4. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 试题分析：由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成，且半圆柱的底面是半径为的 半圆，高为，其底面积为，故其体积为，三棱锥的底面是一个直 角三角形，三棱锥的高也为，其底面积为，故其体积为，所以该 几何体的体积为，故选 A. 考点： 1.三视图；2.组合体的体积 5.下列函数中，在(0， ) 内为增函数的是 ( ) A. f(x) sin 2x
3、B. f(x) xe x C. f(x) x 3 xD. f(x) xln x 【答案】 B 【解析】 【分析】 分别求得四个选项函数的导数，根据导数有没有负值，对选项进行排除，由此得到正确选项. 【详解】 由于， 对于选项， 不符合题意； 对于选项， 符合题意； 对于选项， 不符合题意； 对于选项， 不符合题意 .综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力和分析问题的能力，属于基础题. 6.已知 tan 2，为第三象项角，则 sin ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 利用列方程组，结合为第三象限角，求得的值 . 【
4、详解】由于为第三象限角，故，依题意有，解得，故选 B. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查三角函数在各个象限的符号，属于基础题. 7.设 f（x）=|x1|，则 =（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】 A 【解析】 【分析】 画出的图像，根据定积分的几何意义求得定积分的值. 【详解】画出函数的图像如下图所示，根据定积分的几何意义可知，定积分等于阴影部分的面积，故定 积分为，故选 A. 【点睛】本小题主要考查利用定积分的几何意义求定积分的值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础 题. 8.曲线 在处的切线平行于直线，则点的坐标为（） A. B. C. 和 D
5、. 和 【答案】 C 【解析】 【分析】 求函数的导数，令导数等于解方程，求得点的横坐标，进而求得点的坐标 . 【详解】依题意令，解得，故点的坐标为，故 选 C. 【点睛】本小题考查直线的斜率，考查导数与斜率的对应关系，考查运算求解能力，属于基础题. 9.若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点，则该椭圆的方程是（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 试题分析：抛物线的焦点坐标为（2，0） ，双曲线的焦点坐标为（，0） 由题意， 椭圆的方程为 考点：椭圆双曲线抛物线方程及性质 10.设函数 f（x）在定义域内可导，y=f （x）的图象如图所示，则导函数 y=f （x）的图象可
6、能是（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项. 【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、 负、正、负 .结合选项可知，只有选项符合，故本题选A. 【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题. 11.若函数在处取得极大值10，则的值为（） A. B. C. 或D. 不存在 【答案】 A 【解析】 【分析】 利用当时导数为零列方程，求得的关系式， 并根据时为极大值对关系式进行检验，由此求得的 值. 【详解】依题意，结合，解得 或 .当 时
7、，函数在两侧左减右增，取得极 小值，不符合题意，舍去.当时，函数在两侧左增右减取 得极大值，符合题意，故，故选 A. 【点睛】本小题考查已知函数的极大值求参数，考查函数导数、极值与单调性的关系，考查分析与求解问 题的能力，属于中档题.解题过程中要注意的是，取得极值点，导数为零，要注意验证导数为零的点左右两 侧的单调性，以便确定是极大值还是极小值. 12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且分别是的导数，当时， 且，则不等式的解集是（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 构造函数，首先证得函数的奇偶性，然后根据题目所给条件判断函数的单调性，结 合函数的零点求得不等式的解
8、集 . 【详解】构造函数，故，故函数为奇函数， 图像关于原点对称，且.当时，即函数在时单调递增 .根据函 数为奇函数可知函数在时递增，且，画出函数的 大致图像如下图所示，由图可知，不等式的解集为，故选 B. 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性，考查两个函 数相乘的导数，考查数形结合的数学思想方法，综合性较强，属于中档题. 第卷 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.函数 在0,3上的最小值为_. 【答案】 -2 【解析】 【分析】 对函数求导，求得函数的极值点，比较函数的极值和区间端点的函数值，由此求得函数的最小值.
9、【 详 解 】 依 题 意， 故 函 数 在上 递 减 ， 在上 递 增 ， ，故函数在区间上的最小值为. 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数在闭区间上的最小值，属于基础题.求解的主要步骤是：首先对 函数求导、因式分解，然后求得函数的单调区间，和极值，然后比较函数的极值和区间端点的函数值，由 此求得函数的最小值. 14.曲线 y=x 2 与 y=x 所围成的封闭图形的面积为_ 【答案】 【解析】 【分析】 首先求得两个函数交点的坐标，然后利用定积分求得封闭图形的面积. 【 详 解 】 根 据解 得. 画 出 图 像 如 下 图 所 示 ， 封 闭 图 像 的 面 积 为 . 【点睛】本小题
10、主要考查利用定积分求封闭图形的面积，考查运算求解能力，属于基础题.解题过程中首先 求得两个函数图像的交点坐标，然后画出图像，判断出所要求面积的区域，然后利用微积分基本定理求得 封闭图形的面积. 15.曲线在点处的切线的倾斜角为_ 【答案】 【解析】 【分析】 先求得函数在点处的导数，由此求得倾斜角的值. 【详解】依题意，令，求得导数为，即切线的斜率为，故倾斜角为. 【点睛】本小题主要考查导数的几何意义，考查切线斜率的求法，考查倾斜角和斜率的对应关系，考查特 殊角的三角函数值，属于基础题. 16.已知函数 在上总是单调函数，则a 的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 根据导函数为二次函
11、数，开口向上，根据导数恒为非负数列不等式，解不等式求得的取值范围 . 【详解】依题意，这是一个开口向上的二次函数，由于原函数总是单调函数，故导函数的判 别式，解得. 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查二次函数的性质，属于基础题. 三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分。解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。 17.已知曲线f(x)=x 3-2x2+x+1 (1)求该曲线在点（2，f （2） ）处的切线方程； (2)求该函数定义域上的单调区间及极值. 【答案】（1）； （ 2）递增区间为和，递减区间为；极大值为， 极小值为1. 【解析】 【分析】 （1）求得切点坐标，利用导
12、数求得切线的斜率，根据点斜式求出切线方程.（2）对函数求导，根据导数的 正负写出单调区间，由此求得函数的极值. 【详解】解： 由直线的点斜式方程，可知在点（2,3）处的切线方程为 即. (2)由（ 1） ，可知，令 解得或 当即或，函数单调递增； 当即，函数单调递减。 函数的单调增区间为和；单调减区间为 并且当时，函数有极大值；当时，函数有极小值. 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数求函数 的极值，属于基础题. 18.如图，在中，是边 的中点，且， （1）求的值； （2）求的值 【答案】（1） ； （ 2）。 【解析】 试题分析：本题主要考察
13、学生对三角函数的理解，根据三角形余弦定理其中的一个式子，带入对应条件即 可求出 A 的余弦；根据上问得出的结论，先求出A 的正弦值，再根据题中所给条件求出未知线段的长 度，最后根据正弦定理，带入数据，进行求解，即可得出结果。 试题解析：（ 1）在中， ； （2）由（ 1）知，且， 是边的中点， 在中， 解得由正弦定理得， 考点：正弦定理，余弦定理的综合运用 19.已知数列是等比数列， ，是和的等差中项 . （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）（） ； （2） 【解析】 【分析】 （1）根据等比数列通项的性质求出的表达式，利用等差中项列方程求得公比，然后求得数列的
14、通项公 式.（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和 【详解】解： （1）设数列的公比为， 因为，所以， 因为是和的等差中项，所以 即，化简得 因为公比，所以 所以（） （2）因为，所以 则， . 得 ， ， 所以 【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，等比数列通项公式的求解，考查等差中项的性质，考查 错位相减求和法求数列的前项和，属于中档题. 20.如图，在三棱柱中，平面. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小 . 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）由平面，所以，再由勾股定理，证得，利用线面垂直的判定定理，即可得 到平面. （2）以为原点，的方向为轴正方向，
15、建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量， 利用向量的夹角公式，即可求解。 【详解】（1）证明：因为平面，所以， 因为，所以， 又，所以平面. （2）以为原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 所以，取，则. 又平面，取平面的法向量， 所以. 由图可知，二面角为钝角，所以二面角为. 【点睛】本题考查了线面垂直判定与证明，以及二面角的计算问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑 推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推 理。同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，
16、利用向量的 夹角公式求解. 21.在直角坐标系 中，点 到两点的距离之和为4， 设点的轨迹为, 直线与 交于 两点。 （）写出的方程 ; （）若，求的值。 【答案】（ ）设 P（x，y） ，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以为焦点，长半轴为2 的椭圆它的短半轴，故曲线C 的方程为 （ ）设，其坐标满足 消去 y 并整理得，故 若，即而， 于是，化简得，所以 【解析】 试题分析： （1）根据椭圆的定义，可判断点的轨迹为椭圆，再根据椭圆的基本量，容易写出椭圆的方程， 求曲线的方程一般可设动点坐标为，然后去探求动点坐标满足的方程，但如果根据特殊曲线的定义， 先行判断出曲线的形状(如椭圆，圆，抛物线等)，则可直接写出其方程； （2）一般地，涉及直线与二
