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1、 / 4 1 中考数学复习最短路径问题专项训练题 一、两条线段和最短 1、如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为 C(4，3)，且在 x 轴上截得 的线段 AB 的长为 6 （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 在 y 轴上，且使得PAC 的周长最小，求： 点 P 的坐标； PAC 的周长和面积； 2、使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点例如，对于函数 y=x1，令 y=0，可得 x=1，我们就说 1 是函数 y=x1 的零点 己知函数 y=x22mx2（m+3） （m 为常数） （1）当 m=0 时，求该函数的零点； （2）证明：无论 m 取何值，该函数总有两个零点； （3
2、）设函数的两个零点分别为 x1和 x2，且，此时函数图象与 x 轴的交点分别 为 A、B（点 A 在点 B 左侧） ，点 M 在直线 y=x10 上，当 MA+MB 最小时，求直线 AM 的函数解析式 y x B A O C / 4 2 二、三条线段和最短 3、 如图， 已知抛物线 yax 2bxc 与 y 轴交于点 A(0， 3)， 与 x 轴分别交于 B(1， 0)、 C(5， 0)两点 （1）求此抛物线的解析式； （2）若点 D 为线段 OA 的一个三等分点，求直线 DC 的解析式； （3）若一个动点 P 自 OA 的中点 M 出发，先到达 x 轴上的某点（设为点 E） ，再到达 抛物线
3、的对称轴上某点（设为点 F） ，最后运动到点 A求使点 P 运动的总路径最 短的点 E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长 三、线段的平移 4、如图，已知点 A（4，8）和点 B（2，n）在抛物线 yax 2上 （1）求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQQB 最短，求出点 Q 的坐标； （2）平移抛物线 yax 2，记平移后点 A 的对应点为 A ，点 B 的对应点为 B ，点 C（ 2，0）和点 D（4，0）是 x 轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时， ACCB 最短， 求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时
4、，是否存在某个位置，使四边形 ABCD 的周长最 短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由 5、 （2013泉州）如图 1，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 A（6，0） ，过点 E （2，0）作 EFAB，交 BO 于 F； （1） 过点 F 作直线 l 分别与直线 AO、 直线 BC 交于点 H、 G； 过点 G 作直线 GDAB， 交 x 轴于点 D，以圆 O 为圆心，OH 长为半径在 x 轴上方作半圆（包括直径两端点） ，使它 与 GD 有公共点 P如图 2 所示，当直线 l 绕点 F 旋转时，点 P 也随之运动，证明：= . （2）在（1）中，若点 M
5、（2，） ，探索 2PO+PM 的最小值 O y x A B C y O A 2 4 6 8 -2 -4 -2 -4 2 4 x B C D / 4 3 练习：1 （2013广安）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A、B、 C 三点，已知点 A（3，0） ，B（0，3） ，C（1，0） （1）求此抛物线的解析式 （2）点 P 是直线 AB 上方的抛物线上一动点， （不与点 A、B 重合） ，过点 P 作 x 轴的 垂线，垂足为 F，交直线 AB 于点 E，作 PDAB 于点 D 动点 P 在什么位置时，PDE 的周长最大，求出此时 P 点的坐标； 连接 P
6、A， 以 AP 为边作图示一侧的正方形 APMN， 随着点 P 的运动， 正方形的大小、 位置也随之改变 当顶点 M 或 N 恰好落在抛物线对称轴上时， 求出对应的 P 点的坐标 （结 果保留根号） 2如图（1）抛物线 y=ax2+bx+c（ao）的顶点为 C（1，4） ，交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，其中点 B 的坐标为（3，0） （1）求抛物线的函数解析式； （2） 如图 （2） T 是抛物线上的一点， 过点 T 作 x 轴的垂线， 垂足为点 M， 过点 M 作 MNBD， 交线段 AD 于点 N，连接 MD，若DNMBMD，求点 T 的坐标； （3）如图（3） ，过点
7、A 的直线与抛物线相交于 E，且 E 点的横坐标为 2，与 y 轴交于点 F； 直线 PQ 是抛物线的对称轴，G 是直线 PQ 上的一动点，试探究在 x 轴上是否存在一点 H， 使 D、G、H、F 四点围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点 G、H 的坐标； 若不存在，请说明理由 / 4 4 3 （2014宝安区二模）已知：如图 1，在平面直角坐标系中，P 的圆心 P（3，0） ，半径 为 5，P 与抛物线 y=ax2+bx+c （a0）的交点 A、B、C 刚好落在坐标轴上 （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 为抛物线的顶点，经过 C、D 的直线是否与P 相切？若相切，请证明；若
8、不相 切，请说明理由； （3）如图 2，点 F 是点 C 关于对称轴 PD 的对称点，若直线 AF 交 y 轴于点 K，点 G 为直 线 PD 上的一动点，则 x 轴上是否存在一点 H，使 C、G、H、K 四点所围成的四边形周长 最小？若存在，求出这个最小值及点 G、H 的坐标；若不存在，请说明理由 4 （2014黄冈二模）如图，菱形 ABCD 的边长为 6 且DAB=60，以点 A 为原点、边 AB 所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系 动点P从点D出发沿折线DCB 向终点 B 以 2 单位/每秒的速度运动，同时动点 Q 从点 A 出发沿 x 轴负半轴以 1 单位/秒的 速度运动，当点 P 到达终点时停止运动，运动时间为 t，直线 PQ 交边 AD 于点 E （1）求出经过 A、D、C 三点的抛物线解析式； （2）是否存在时刻 t 使得 PQDB，若存在请求出 t 值，若不存在，请说明理由； （3）设 AE 长为 y，试求 y 与 t 之间的函数关系式； （4）若 F、G 为 DC 边上两点，且点 DF=FG=1，试在对角线 DB 上找一点 M、抛物线 ADC 对称轴上找一点 N，使得四边形 FMNG 周长最小并求出周长最小值
