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1、 1 第第一一讲讲 列方程解应用题列方程解应用题 益思互动益思互动 一、问题类型：和、差、倍、分问题一、问题类型：和、差、倍、分问题 （1）倍数关系，通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加到百分之几，增长率”来 体现. （2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现. 二、列一元一次方程解应用题步骤有哪些？二、列一元一次方程解应用题步骤有哪些？ （1）设未知数，一般问什么设什么； （2）寻找相等关系（画出来） ； （3）把各个数量关系用含有未知数的代数式表示出来； （4）根据相等关系列方程； （5）解方程； （6）写出答案. 益思练场益思练场 1. 三角形的一边长为
2、ba +，第二边比第一边长4b，第三边是第一边长的2倍，用代数式表示这个 三角形的周长. 2. 一辆汽车，每小时行驶a千米，上午行驶 4 小时，下午行驶了b千米. （1）用式子表示这辆汽车行驶的千米数. （2）当200,80=ba时，这辆汽车行驶了多少千米？ 3. 有甲、乙两缸金鱼，甲缸的金鱼条数是乙缸的一半，如从乙缸里取出 9 条金鱼放入甲缸，这样两缸 鱼的条数相等，求甲缸原有的金鱼多少条？ 4. 熊猫电视机厂生产一批电视机， 如果每天生产 40 台， 要比原计划多生产 6 天， 如果每天生产 60 台， 可以比原计划提前 4 天完成，求原计划的生产时间和这批电视机的总台数. 2 5. 甲仓
3、存粮 32 吨，乙仓存粮 57 吨，以后甲仓每天存入 4 吨，乙仓每天存入 9 吨，请问几天后乙仓存 粮是甲仓的 2 倍？ 益思精析益思精析 类型一：和、差、倍问题类型一：和、差、倍问题 【例例 1】11 3 减去一个数，所得差与 1.35 加上13 6 的和相等，求这个数. 【变式变式 1】某数的 1 2 比它的 21 8 倍少 11，求这个数. 【例例 2】甲有书的本数是乙有书的本数的 3 倍，甲、乙两人平均每人有 82 本书，求甲、乙两人各有书 多少本. 【变式变式 2】今年爸爸的年龄是小明的 4 倍，爷爷的年龄是小明的 7 倍，三人共 96 岁，则小明、爸爸、 爷爷今年多少岁？ 【例例
4、 3】一个两层书架，上层放的书是下层的 3 倍，如果把上层的书搬 60 本到下层，那么两层的书一 样多，求上、下层原来各有书多少本. 3 【例例 4】已知篮球、足球、排球平均每个 36 元，篮球比排球每个多 10 元，足球比排球每个多 8 元， 每个足球多少元？ 类型二：赢亏问题类型二：赢亏问题 【例例 5】妈妈买回一筐苹果，按计划天数，如果每天吃 4 个，则多出 48 个苹果，如果每天吃 6 个，则 又少 8 个苹果，问：妈妈买回苹果多少个？计划吃多少天？ 类型三：比例问题类型三：比例问题 【例例 6】一块长方形的地，长和宽的比是 5：3，长比宽多 24 米，这块地的面积是多少平方米？ 【变
5、式变式 6】某车间有 77 个工人，已知每个工人平均每天可以加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个，或丙 种零件 3 个，但加工 3 个甲种零件，1 个乙种零件和 9 个丙种零件才恰好配成一套，问：应安排生产甲、 乙、丙种零件各多少人时，才能使生产的三种零件恰好配套？ 第第二二讲讲 行程问题行程问题（一一） 益思互动益思互动 一、相遇类型一、相遇类型 甲从 A 地到 B 地，乙从 B 地到 A 地然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了 A，B 之间这段 路程，如果两人同时出发那么 相遇路程=甲走的路程+乙走的路程 =甲的速度相遇时间+乙的速度相遇时间 =(甲的速度+乙的速度)相遇时间 =速
6、度和相遇时间 一般地，相遇问题的关系式为：速度和相遇时间=路程和，即 和和 Stv= 4 二、追及类型二、追及类型 有两个人同时行走一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他， 这就产生了“追及问题” ，实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是 要计算两人走的路程之差（追及路程） ，如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内： 追及路程=甲走的路程-乙走的路程 =甲的速度追及时间-乙的速度追及时间 =（甲的速度-乙的速度）追及时间 =速度差追及时间. 一般地，追及问题有这样的数量关系：追及路程=速度差追及时间，即tvS 差差 =
7、 益思练场益思练场 1. 一列客车和一列货车同时从两个车站相对开出， 货车每小时行 35 千米， 客车每小时行 45 千米， 2.5 小时相遇，两车站相距多少千米？ 2. 甲、乙二人分别从相距 110 千米的两地相对而行，5 小时后相遇，甲每小时行 2 千米，问乙每小时 行多少千米？ 3. 两列火车同时从相距 650 千米的两地相向而行，甲列火车每小时行 50 千米，乙列火车每小时行 52 千米，4 小时后还差多少千米才能相遇？ 4. 某船在静水中的速度是每小时 20 千米，它从上游甲地顺流开往乙地共花去 6 小时，水速每小时 4 千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？ 益思精析益思精析 类型一
8、：一次相遇问题类型一：一次相遇问题 【例例 1】甲、乙两站相距 486 千米，两列火车同时从两站相对开出，5 小时相遇，第一列火车比第二 列火车每小时快 1.7 千米，两列火车每小时的速度各是多少？ 5 【变式变式 1】两个县城相距 52.5 千米，甲、乙二人分别从两城同时相对而行，甲每小时行 5 千米，乙每 小时比甲快 0.5 千米，几小时后相遇？ 类型二：二次相遇问题类型二：二次相遇问题 【例例 2】快慢两车同时从甲乙两站相对出发，快车每小时行 60 千米，慢车每小时行 48 千米，两车相 遇后又以原速前进， 到达对方站后立即返回， 两车再次相遇时快车比慢车多行 24 千米， 求甲乙两地距
9、离？ 类型三：环形相遇问题类型三：环形相遇问题 【例例 3】甲、乙两人同时从操场上一点 A 相背而行，甲的速度为 5m/s，乙的速度为 7m/s，他们从出 发到第一次相遇共用了 30s，求操场一圈的长？ 类型四：简单追及问题类型四：简单追及问题 【例例 4】弟弟以每分钟 50 米的速度从家步行去书店，10 分钟后哥哥从家出发骑自行车去追弟弟，结 果在离家 900 米处追上弟弟，求哥哥骑自行车的速度. 类型五：复杂追及问题类型五：复杂追及问题 【例例 5】A、B 两人跑步，若 B 先跑 20 米，则 A 跑 10 秒钟追上 B，若 B 先跑 4 秒钟，则 A 跑 8 秒钟 就能追上 B，A、B
10、二人的速度各是多少？ 6 【变式变式 5】快慢两列火车在双轨铁路上同时同向出发，快车每秒行 20 米，慢车每秒行 10 米，行 15 秒钟后，快车超过慢车；如果两列火车车尾相齐行进，则 10 秒钟后快车超过慢车，求两列火车的车长. 类型六：环形追及问题类型六：环形追及问题 【例例 6】甲乙两只兔子绕着圆形池塘玩耍，已知甲跑一圈要 15 分钟，乙跑一圈要 20 分钟，如果它们 分别从直径的两端同时出发，那么出发后多少分钟甲追上乙？ 【变式变式 6】A、B 两人骑车同时同地出发，沿着长 2000 米环形路行驶，如果他们反向而行，那么经过 4 分钟相遇，如果同向而行，那么每经过 20 分钟 A 就追
11、上 B，求两人骑车的速度？ 第第三三讲讲 行程问题行程问题（二二） 益思互动益思互动 在行程问题这个大家族中，除了我们常常研究的相遇与追及外，还有三大类我们妊须了解的问题：火 车过桥、流水行程和时钟问题，它们虽然也涉及速度、时间、路程这三个基本关系，但在应用中要兼顾考 虑一些其它因素，譬如：火车车长、水流速度等等其中火车过桥、流水行程是我们在以前的学习中已经 有所接触的内容在下面的学习中我们先巩固原有基本概念，而后相应的拓展提高! 一、火车过桥问题一、火车过桥问题 （1）火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时问因此火车的路程是桥长与车身长度之 和 （2）火车与人错身时忽略人本身的长度，
12、两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者 路程和则为两车身长度之和 （3）火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身长度那么他所看到 的错车的相应路程和是对面火车的长度 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这儿种类型的题 目在分析题目的时候一定得结合着图来进行 二、流水行船中的相遇与追及问题二、流水行船中的相遇与追及问题 （1）两只船在河流中相遇问题当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出它们单 位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和 7 这是因为：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）+（乙船速+水速）=甲船船
13、速+乙船 船速 这就是说，两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样与水速没有关系. （2）同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，也只有与路程差和船速 有关，与水速无关. 这是因为：甲船顺水速度乙船顺水速度= （甲船速+水速）（乙船速+水速）=甲船速乙船速. 也有：甲船逆水速度乙船逆水速度=（甲船速水速）（乙船速水速）= 甲船速乙船速. 这说明水中追及问题与在静水追及问题一样，由上述讨论知，解流水行船问题，更多地是把它转化为 已学过的相遇和追及问题来解答. 顺水速度=船速+水速， 水船顺 VVV+=， 逆水速度=船速水速， 水船逆 VVV=， （其中 船
14、 V为船在静水中的速度， 水 V为水流的速度）. 由上可知： 船速=（顺水速度+逆水速度）2； 水速=（顺水速度逆水速度）2. 益思练场益思练场 1. 一条隧道长 760 米，现有一列长 240 米的火车以每秒 25 米的速度经过这条隧道要用多少时间？ 2. 思齐夏令营的小同学们要过一座 296 米长的大桥，他们共有 162 人，排成两路纵队，每两个人前后 相距 0.5 米，队伍行进的速度是每分钟 56 米，问整个队伍过桥共需多少分钟？ 3. 甲乙二船航行 A、B 两个码头之间，全程 180 千米，甲顺水航行 3 小时，返回原地用 5 小时，乙船 顺水航行同一段水路用 4.5 小时，问乙船返回
15、原地比去时多用几小时？ 8 4. 一列火车通过 440 米的桥需要 40 秒， 以同样的速度通过 310 米的隧道需要 30 秒， 这列火车的速度 和车身长各是多少？ 益思精析益思精析 类型一：火车过桥问题类型一：火车过桥问题 【例例 1】一列火车通过一座长 1000 米的大桥需要用 65 秒种，如果以同样的速度穿过一条长 730 米的 隧道则要用 50 秒钟，求这列火车的车身长和速度. 类型二：火车行程问题类型二：火车行程问题 【例例 2】一人以每分钟 120 米的速度沿铁路边跑步，一列长 288 米的火车从对面开来，从他身边通过 用了 8 秒钟，求火车的速度. 类型三：流水问题（类型三：流水问题（1） 【例例 3】甲、乙两船在静水中分别为每小时 24 千米和每小时 32 千米，两船从某河边相距 336 千米的 A、B 两港同时相向而行，几小时相遇？如果同向而行，几小时后，乙船追上甲船？ 类型四：流水问题（类型四：流水问题（2） 【例例 4】小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎将头上的帽子掉进江中，当他们发现后调过船头 时，帽子与船已经相距 2 千米，假定小船的速度是每小
