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1、新课标立体几何常考证明题汇总新课标立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形是空间四边形，分别是边的中点ABCD,E F G H,AB BC CD DA （1）求证：EFGH 是平行四边形 （2）若 BD=，AC=2，EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。2 3 证明：在中，分别是的中点ABD,E H,AB AD 1 /, 2 EHBD EHBD 同理，四边形是平行四边形。 1 /, 2 FGBD FGBD/,EHFG EHFGEFGH (2) 90 30 考点：证平行（利用三角形中位线） ，异面直线所成的角考点：证平行（利用三角形中位线） ，异面直线所成的角 2、如
2、图，已知空间四边形中，是的中点。ABCD,BCAC ADBDEAB 求证：（1）平面 CDE;AB （2）平面平面。 CDE ABC 证明：（1） BCAC CEAB AEBE 同理， ADBD DEAB AEBE 又 平面 CEDEE AB CDE （2）由（1）有平面AB CDE 又平面， 平面平面 AB ABCCDE ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定考点：线面垂直，面面垂直的判定 A H GF E D C B A E D B C 3、如图，在正方体中，是的中点， 1111 ABCDABC DE 1 AA 求证： 平面。 1 /ACBDE 证明：连接交于，连接，ACBDOEO 为的中
3、点，为的中点E 1 AAOAC 为三角形的中位线 EO 1 A AC 1 /EOAC 又在平面内，在平面外EOBDE 1 ACBDE 平面。 1 /ACBDE 考点：线面平行的判定考点：线面平行的判定 4、已知中,面,求证：面ABC90ACB SA ABCADSCAD SBC 证明： 90ACB BCAC 又面 SA ABCSABC 面 BCSAC BCAD 又面 ,SCAD SCBCC ADSBC 考点：线面垂直的判定考点：线面垂直的判定 5、已知正方体，是底对角线的交点. 1111 ABCDABC DOABCD 求证：() C1O面；(2)面 11 AB D 1 AC 11 AB D 证明
4、：（1）连结，设，连结 11 AC 11111 ACB DO 1 AO 是正方体 是平行四边形 1111 ABCDABC D 11 A ACC A1C1AC 且 11 ACAC 又分别是的中点，O1C1AO 且 1, O O 11, AC AC 11 OCAO 是平行四边形 11 AOC O 面，面 C1O面 111 ,C OAO AO 11 AB D 1 C O 11 AB D 11 AB D （2）面 1 CC 1111 ABC D 11! CCB D 又， 1111 ACB D 1111 B DACC 面 111 ACB D即 同理可证， 又 11 ACAD 1111 D BADD 面
5、1 AC 11 AB D 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） ，线面垂直的判定考点：线面平行的判定（利用平行四边形） ，线面垂直的判定 A 1 E D1 C 1 B1 D C B A S D C B A D1 O D BA C1 B1 A1 C N M P C B A 6、正方体中，求证：（1）；（2）. ABCDA B C DACB D DB 平面BDACB 平面 考点：线面垂直的判定考点：线面垂直的判定 7、正方体 ABCDA1B1C1D1中(1)求证：平面 A1BD平面 B1D1C； (2)若 E、F 分别是 AA1，CC1的中点，求证：平面 EB1D1平面 FBD 证明：(1)由
6、B1BDD1，得四边形 BB1D1D 是平行四边形，B1D1BD， 又 BD 平面 B1D1C，B1D1平面 B1D1C， BD平面 B1D1C 同理 A1D平面 B1D1C 而 A1DBDD，平面 A1BD平面 B1CD (2)由 BDB1D1，得 BD平面 EB1D1取 BB1中点 G，AEB1G 从而得 B1EAG，同理 GFADAGDFB1EDFDF平面 EB1D1平面 EB1D1平面 FBD 考点：线面平行的判定（利用平行四边形）考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 8、如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，PABC,PAPB CBPABMPCNAB 3ANNB （1）求
7、证：；（2）当，时，求的长。MNAB90APB 24ABBCMN 证明：（1）取的中点，连结，是的中点，PAQ,MQ NQM PB ， 平面 ， 平面 /MQBCCB PABMQ PAB 是在平面内的射影 ， 取 的中点， 连结 ， QNMNPABABDPD,PAPB ， 又， 来源:学科网PDAB3ANNBBNND ，由三垂线定理得/QNPDQNABMNAB （2），平面.，且90APB ,PAPB 1 2 2 PDAB1QN MQ PABMQNQ ， 1 1 2 MQBC2MN 考点：三垂线定理考点：三垂线定理 10、如图，在正方体中，、分别是、的中点.求证：平面 1111 ABCDABC
8、 DEFGABAD 11 C D 1 D EF 平面.BDG 证明：、分别是、的中点，EFABADEFBD 又平面，平面平面EF BDGBD BDGEFBDG 四边形为平行四边形， 1 DGEB 1 DGBE 1 D EGB 又平面，平面平面 1 D E BDGGB BDG 1 D EBDG A1 A B1 B C1 C D1 D G E F ，平面平面 1 EFD EE 1 D EFBDG 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） 11、如图，在正方体中，是的中点. 1111 ABCDABC DE 1 AA （1）求证：平面； 1 /ACBDE （2）
9、求证：平面平面. 1 A AC BDE 证明：（1）设， ACBDO 、分别是、的中点，EO 1 AAAC 1 ACEO 又平面，平面，平面 1 AC BDEEO BDE 1 ACBDE （2）平面，平面， 1 AA ABCDBD ABCD 1 AABD 又，平面，平面，平面平面BDAC 1 ACAAA BD 1 A ACBD BDEBDE 1 A AC 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） ，面面垂直的判定考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） ，面面垂直的判定 12、已知是矩形，平面，ABCDPA ABCD2AB 4PAAD 为的中点EBC （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的
10、角DE PAEDPPAE 证明：在中，ADE 222 ADAEDEAEDE 平面，平面，PA ABCDDE ABCDPADE 又，平面 PAAEA DE PAE （2）为与平面所成的角DPEDPPAE 在，在中，Rt PAD4 2PD Rt DCE2 2DE 在中，Rt DEP2PDDE 0 30DPE 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形考点：线面垂直的判定,构造直角三角形 13、如图，在四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面是等边三角形，PABCDABCD 0 60DABaPAD 且平面垂直于底面PADABCD （1）若为的中点，求证：平面；GADBG PAD （2）求证：；ADPB （3）
11、求二面角的大小ABCP 证明：（1）为等边三角形且为的中点，ABDGADBGAD 又平面平面，平面PADABCDBG PAD （2）是等边三角形且为的中点，PADGADADPG 且，平面，ADBG PGBGG AD PBG 平面，PB PBGADPB （3）由，ADPBADBCBCPB 又，BGADADBCBGBC 为二面角的平面角PBGABCP 在中，Rt PBGPGBG 0 45PBG 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法） 14、如图 1,在正方体中，为 的中点，AC
12、 交 BD 于点 O，求证：平面 MBD 1111 ABCDABC DM 1 CC 1 AO 证明：连结 MO，DB，DBAC， 1 AM 1 A A 1 A AACA DB平面，而平面 DB 11 A ACC 1 AO 11 A ACC 1 AO 设正方体棱长为，则，a 22 1 3 2 AOa 22 3 4 MOa 在Rt中 ， ， 11 AC M 22 1 9 4 AMa 222 11 AOMOAM 1 AOOM OMDB=O， 平面 MBD 1 AO 考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直 15、如图，在三棱锥BCD中，BCAC，A
13、DBD， 作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点，连结CF，DF ， ACBCCFAB ，ADBDDFAB 又，平面CDFCFDFFAB 平面CDF，CD CDAB 又，CDBE BEABB 平面ABE，CD CDAH ，AHCDAHBE CDBEE 平面BCDAH 考点：线面垂直的判定考点：线面垂直的判定 16、证明：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1C平面 BC1D D1 C1 A1 B1 D C A B 证明：连结 AC AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影 BDAC BD A C A C BC A CBC D 1 11 11 同理可证 平面
14、 考点：线面垂直的判定，三垂线定理考点：线面垂直的判定，三垂线定理 17、如图，过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90，求证： 平面 ABC平面 BSC 证明SB=SA=SC，ASB=ASC=60AB=SA=AC 取 BC 的中点 O，连 AO、SO， 则 AOBC，SOBC， AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又 BSC=90，BC= 2a， SO=2 2 a， AO2=AC2OC2=a22 1 a2=2 1 a2，SA2=AO2+OS2，AOS=90，从而平面 ABC 平面 BSC 考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）
