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1、 三、解答题三、解答题 1设对于事件、有，ABC、)(AP4/1)()(CPBP0)()(BCPABP ，求、至少出现一个的概率。8/1)(ACPACB、 解：由于从而由性质 4 知，又由概率定义知，ABABC 0)()(ABPABCP ，所以 ，从而由概率的加法公式得0)(ABCP0)(ABCP )()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP 8 5 8 1 3 4 1 2设有 10 件产品，其中有 3 件次品,从中任意抽取 5 件，问其中恰有 2 件次品的概率是多 少？ 解：设表示：“任意抽取的 5 件中恰有 2 件次品” 。则。5 件产品中恰有 2A 5
2、10 )(Cn 件次品的取法共有种，即。于是所求概率为 2 3 C 3 7 C 2 3 )(CAn 3 7 C / P An An( )( ) / ( ) 2 3 C 3 7 C84/35 5 10 C 3一批产品共有 10 个正品 2 个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回） 。求： （1）第二次取出的是次品的概率； （2）两次都取到正品的概率； （3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。 解：设表示：“第 次取出的是正品” （ =1，2） ，则 i Aii （1）第二次取到次品的概率为 )( 2121 AAAAP 6 1 12 2 12 2 12 2 12 10 （2）两次都取到正品的
3、概率为 )( 21A AP)|()( 121 AAPAP 36 25 12 10 12 10 （3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为 )( 21A AP 36 5 12 2 12 10 4一批产品共有 10 个正品 2 个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回） 。求： （1）至少取到一个正品的概率； （2）第二次取到次品的概率； （3）恰有一次取到次品的概率。 解：设表示：“第 次取出的是正品” （ =1，2） ，则 i Aii （1）至少取到一个正品的概率 )(1 21A AP)|()(1 121 AAPAP 66 65 11 1 12 2 1 （2）第二次取到次品的概率为 )( 2
4、121 AAAAP)|()()|()( 121121 AAPAPAAPAP 6 1 11 1 12 2 11 2 12 10 （3）恰有一次取到次品的概率为 )( 2121 AAAAP)|()()|()( 121121 AAPAPAAPAP 33 10 11 10 12 2 11 2 12 10 5一批产品共有 10 件正品 2 件次品，从中任取两件，求： （1）两件都是正品的概率； （2）恰有一件次品的概率； （3）至少取到一件次品的概率。 解：设表示：“取出的两件都是正品是正品” ；表示：“取出的两件恰有一件次品” ； AB 表示：“取出的两件至少取到一件次品” ；则C （1）两件都是正品
5、的概率 )(AP 22 15 2 12 2 10 C C （2）恰有一件次品的概率 )(BP 33 10 2 12 1 2 1 10 C CC （3）至少取到一件次品的概率 )(CP 22 7 22 15 11)(1 2 12 2 10 C C AP 6一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是 0.6，乙机床和丙机床需 要照看的概率分别是 0.5 和 0.8。求在一小时中， （1）没有一台机床需要照看的概率； （2）至少有一台机床不需要照看的概率。 解：设表示：“没有一台机床需要照看” ；表示：“至少有一台机床不需要照看“；AB i C 表示：“第台机床需要照看” （=1，2，3
6、） 。则；。 ii 321 CCCA 321 CCCB )()( 321 CCCPAP)()()( 321 CPCPCP 04 . 0 )(1)(1)(1 ( 321 CPCPCP )()( 321 CCCPBP)( 321 CCCP)(1 321 CCCP 76 . 0 )()()(1 321 CPCPCP 7 在某城市中发行三种报纸、， 经调查， 订阅报的有 50%， 订阅报的有 30%，ACB、AB 订阅报的有 20%，同时订阅及报的有 10%，同时订阅及报的有 8%，同时订阅CABACB 及报的有 5%，同时订阅、报的有 3%，试求下列事件的概率：CACB、 （1）只订阅及报；（2）恰
7、好订阅两种报纸。 AB 解：（1） )()()(ABCABPCABPCABP )()(ABCPABP07 . 0 03 . 0 1 . 0 （2） )()()()(CBAPBCAPCABPCBABCACABP 14 . 0 05 . 0 02 . 0 07 . 0 8 一盒子中黑球、 红球、 白球各占 50%、 30%、 20%， 从中任取一球， 结果不是红球， 求 ： （1） 取到的是白球的概率； （2）取到的是黑球的概率。 解：设分别表示：“取到的是黑球、红球、白球” （=1，2，3） ，则问题（1）化为求Aii ；问题（2）化为求。由题意两两互不相容，所以，)|( 23 AAP)|( 2
8、1 AAPAAA 123 、 （1）。因此由条件概率公式得 )()()( 32323 APAAPAAP )|( 23 AAP )( )( 2 23 AP AAP 7 2 3 . 01 2 . 0 )( )( 2 3 AP AP （2）)()()( 12121 APAAPAAP )|( 21 AAP )( )( 2 21 AP AAP 7 5 3 . 01 5 . 0 )( )( 2 1 AP AP 9已知工厂生产产品的次品率分别为 1%和 2%，现从由的产品分别占 60%AB、AB、 和 40%的一批产品中随机抽取一件，求： （1） 该产品是次品的概率； （2） 若取到的是次品，那么该产品是工
9、厂的概率 。B 解：设表示“取到的产品是次品” ；“取到的产品是工厂的” ；CAA “取到的产品是工厂的” 。则 BB （1） 取到的产品是次品的概率为 )|()()|()()(BCPBPACPAPCP 500 7 100 2 100 40 100 1 100 60 （2）若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率为B )|()()|()( )|()( )( )( )|( BCPBPACPAP BCPBP CP BCP CBP 7 4 500 7 100 2 100 40 10有两个口袋，甲袋中盛有 4 个白球，2 个黑球 ； 乙袋中盛有 2 个白球，4 个黑球。由甲 袋任取一球放入乙袋，再从乙袋
10、中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。 解：设表示：“由甲袋取出的球是白球” ；A 表示：“由甲袋取出的球是黑球” ； B 表示：“从乙袋取出的球是白球” 。则 C )|()()|()()(BCPBPACPAPCP 21 8 16 2 6 2 16 12 6 4 11设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中 1/2 是第一家工厂生产的，其余两家各 生产 1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有 2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一 件产品，求： （1）取到的是次品的概率； （2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。 解：设事件表示：“取到的产品是次品” ；事件表示：“取到
11、的产品是第家工厂生A i Ai 产的” （） 。 则，且，两两互不相容，i 123， ，AAA 123 P Ai() 0AAA 123 、 （1）由全概率公式得 3 1 )|()()( i ii AAPAPAP 400 13 100 5 4 1 100 4 4 1 100 2 2 1 （2）由贝叶斯公式得 = P A A(| ) 1 3 1 11 )|()( )|()( j jj AAPAP AAPAP 13 4 400 13 100 2 2 1 12三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的 40%、25%、35%，其产品 的不合格率依次为 0.05、0.04、和 0.02。现从出厂
12、的产品中任取一件，求： （1）恰好取到不合格品的概率； （2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。 解：设事件表示：“取到的产品是不合格品” ；事件表示：“取到的产品是第家工A i Ai 厂生产的” （） 。 i 123， ， 则，且，两两互不相容，由全概率公式得 3 1i i AP Ai() 0 321 AAA、 （1） 3 1 )|()()( i ii AAPAPAP 1000/37 100 2 100 35 100 4 100 25 100 5 100 40 （2）由贝叶斯公式得 = )|( 2 AAP 3 1 22 )|()( )|()( j jj AAPAP AAPAP
13、 0.25 0.04 10/37 37/1000 13有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为 3/10、1/5、1/10、2/5， 而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为 1/4、1/3、1/12、1/8。求： ( 1 ) 此人来迟的概率； ( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。 解：设事件表示：“此人来迟了” ；事件分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞A i A 机来” （，4） 。则，且，两两互不相容i 123， ， 4 1i i AP Ai() 0 4321 AAAA、 （1）由全概率公式得 4 1 )|()()( i ii AAPAPAP 5 1 8 1
14、5 2 12 1 10 1 3 1 5 1 4 1 10 3 （2）由贝叶斯公式得 = P A A(| ) 1 4 1 11 )|()( )|()( j jj AAPAP AAPAP 31 3 104 1/58 14有两箱同类零件，第一箱 50 只，其中一等品 10 只，第二箱 30 只，其中一等品 18 只， 今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只（有放回） ，试求：（1）第一 次取到的是一等品的概率；（2）两次都取到一等品的概率。 解：设表示：“取到第箱零件”；表示：“第次取到的是一等品” i Ai()i 12， i Bi ；则 ()i 12， （1） )()( 21111 ABABPBP)()( 2111 ABPABP 5 2 30 18 2 1 50 10 2 1 （2）)()( 22112121 ABBABBPBBP)()( 21121 ABBPABBP 5 1 ) 30 18 ( 2 1 ) 50 10 ( 2 1 22 15设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以 0.03、0.04、0.06 的概 率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。 解 ： 设表示 ： “第个电子元件被损坏”（=1， 2， 3） ， 则有；Aiii03 . 0 )( 1 AP04 . 0 )( 2 AP 。依题意所求概率为06 .
