工科概率统计课件

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1、工科概率统计,杨德保编,身边的概率,双色球中500万的概率是1/17721088 发生交通事故的概率： 高速公路13.7 普通公路（乡村公路）2.8 市区内公路（郊区）7.6 市区内公路（市中心）29.6 十字路口 45.5 乡村小路 0.8,概率论的诞生,1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢 局便算赢家, 若在一赌徒胜局X,另一赌徒胜局Y时便终止赌博,问应如何分赌本” 为题求教于帕斯卡, 帕斯卡与费马通信讨论这一问题, 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念,第一章 随机事件及其概率, 1.1 随机事件与样本空间,一、 随机现象,确定性现象：在一定条件下

2、一定发生或一定不发生的现象。 其中，在一定条件下一定发生的现象称为必然现象。 在一定条件下一定不发生的现象称为不可能现象。,随机现象：在一定的条件下，可能发生也可能不发生的现象。,在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象：确定性现象与随机现象。,随机现象其结果的发生呈现偶然性，但在一定条件下对其进行大量重复实验或观察，它的结果会出现某种规律性，这是随机现象所呈现的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。这正是概率论所研究的对象。,概率论的广泛应用几乎遍及所有的科学技术领域, 例如天气预报, 地震预报, 产品的抽样调查; 工农业生产和国民经济的各个部门,在通讯工程中可用以提高信号的抗干扰性,分辨

3、率等等.,随机试验的特点 1.可重复性: 可在相同条件下重复进行； 2.可观测性:试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果; 3.随机性:一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。 随机试验可表为E,二、 随机试验,我们把对随机现象进行一次试验或观察，统称为随机试验，简称为试验。,三、随机事件,定义1.1.1 随机试验E的每一种结果称为随机事件（简称事件）。 随机事件一般用大写字母A,B,C等表示。 随机事件中三种具有特殊意义的事件：必然事件、不可能事件与基本事件。 定义1.1.2 设试验E有多种可能的结果，若这些结果满足： （1）在任何一次试验中，至少有一个发生（这种性质称为完备性）； （

4、2）在任何一次试验中，至多有一个发生（这种性质称为互斥性）。 则称其中每一个结果为试验E的基本事件。 试验E的任何一个事件，都是由若干个基本事件构成的。,必然事件：随机试验中一定会发生的结果。用S表示。 不可能事件：随机试验中一定不发生的结果。用 表示。,四、样本空间 定义1.1.3 试验E的全部基本事件所组成的集合称为E的样本空间，记成S=. 例如： 的样本空间是 例1.1.1 设试验E是甲乙二人各对目标发出一发子弹，观察命中情况，写出E的样本空间。 例1.1.2 某圆柱形产品，只有长度和直径合格与否两个质量指标，试写出对这种产品质量检查情况的样本空间。, 1.2事件的关系与运算,在一个随机

5、试验中，一般有很多随机事件。为了通过对简事件的研究来掌握比较复杂的事件的规律，需要研究事件的关系及事件的运算。由于事件是样本空间的子集，因此事件的关系及运算与集合的关系及运算是相互对应的。,定义1.2.1 如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，或称事件A是事件B的子事件，记作,易知，对任意事件A，有,定义1.2.2 如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，称事件A与事件B相等，记作A=B。 事件A与事件B相等，表明A和B是样本空的同一子集。 例1.2.1 将一枚骰子抛掷一次，观察朝上的点数情况。 基本事件是： 样本空间是：,我们考虑几个复杂一点的事件

6、，记 B=“2点或4点” C=“偶数点” D=“能被2整除的点” F=“点数不大于4”,二、事件的积、和、差,定义1.2.3 由事件A与B都发生所构成的事件，称为A与B的积，记成 类似的，由 n个事件 都发生所构成的事件，称为 的积，记成,定义1.2.4 如果事件A和事件B至少有一个发生，则称这样的一个事件为事件A与事件B的和，记作 A B或A+B 类似的，由n个事件 中至少一个发生所构成的事件称为n个事件的和，记成,定义1.2.5如果事件A 发生而事件B 不发生，则称这样的一个事件称为事件A 与事件B 的差事件 ，记作AB。,例1.2.1 中C-B=“6点”,三、事件的互斥与对立,定义1.2

7、.6 如果事件A 和事件B满足AB = ，则称事件A 与事件B 是互不相容的 ，或称事件A与事件B互斥。 任何事件A与不可能事件互斥。,定义1.2.7 若事件A，B满足AB=S，且B=,则称A与B互为对立事件（或互逆）。 从定义可知，若试验E仅有两个互不相容的事件，则这两个事件构成对立事件。,A,7.事件的运算律:,交换律:,结合律:,对偶律:,分配律:,解,A,B,C,AB,AB,BA,AB,AC,1 2 3 4 5,5,2 4,1 3,1 3 5,1 2 3 4,2 4,1 2 3 4 5 6,下页,A1A2,解,前两次中至少有一次击中目标,A1A2A3,三次射击中至少有一次击中目标,A1

8、A2A3,三次射击都击中了目标,A1A2A1A3A2A3,三次射击中至少有两次击中目标,下页,例2：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,1.3 概率的概念,一、统计概率 （一）频率及其稳定性,定义1.3.2 设在相同条件下进行的n次试验中，事件A发生了 次，则称 为事件A发生的频数，称 为事件A发生的频率，记作 即,例： 把一枚质地均匀的硬币抛掷100次，事件A表示正面向上，A出现48次，则有,频率的性质,实践证明：当试验次数n增大时， 逐渐 趋向 一个稳定值。,调查新生婴儿中男孩出生的概率,男孩(或女孩)出生的频

9、率是稳定的,约为0.515(或0.485)。,表1.1列出了历史上通过投掷硬币的试验研究频率稳定性的试验记录,概率的这个定义，称为概率的统计定义，根据这一定义，可以把大量重复试验所得到的事件的频率作为事件概率的近似值。,定义1.3.2 在相同的条件下重复进行 次试验，如果当 增大时，事件A的频率 稳定地在某一常数p附近摆动，则称常数 p为事件A的概率，记为,（二）概率的统计定义,统计概率具有下面的性质：,(1) 非负性：对于任意事件A，有P(A)0; (2) 规范性：对于必然事件S， 有P(S)=1； (3) 可列可加性：对于两两互不相容的事件 ，有,统计概率只能给出概率的估算方法，下面我们给

10、出概率的数学定义。,二、概率的数学定义,定义1.3.4 若对随机试验E所对应的样本空间S中的每一事件A，均赋予一实数P(A)， P(A)满足条件： (公理1) 对任何事件A有，1 P(A) 0； (公理2) 对S有 P(S)1； (公理3）设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件， P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,三、古典概型,定义1.3.1 设试验E满足：,(1) 随机试验只有有限个可能结果； (2) 每一个可能结果发生的可能性相同。,则称这种试验为等可能概型或古典概型。古典概型曾经是概率发展初期的主要研究对象。,(二) 古典概型的例题,例1

11、.3.1 设试验为投掷一枚均匀对称的骰子，观察朝上的点数，试求“出现偶数点”事件的概率。,解：试验E的样本空间含有6个基本事件，每个基本事件在一次试验中出现是等可能的。满足古典概型条件。 记“出现偶数点”，因为“出现点”，“出现点”，“出现点”这三个基本事件的任何一个发生都导致事件的发生，事件的概率为,例1.3.2 某单位有男职工80名，女职工20名，今从该单位派出一名职工去参加某项活动，求被派者是女职工的概率。,解：试验E是从100名职工中任派一名，观察的特征是被派者的性别。在这个试验中基本事件共有100个。由于每个职工所处地位相同，即这100个基本事件的发生具有等可能性，满足古典概型条件，

12、记 B=“被派者是女职工” 因为B包含20个基本事件，所以被派者是女职工的概率为,乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法,复习：排列与组合的基本概念,加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。,有重复排列：从含有n个元素的集合中随机 抽取k 次，每次取一个，记录其结果 后放回，将记录结果排成一列，,共有nk种排列方式.,无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次， 每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1

13、)种排列方式.,组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有,种取法.,1、抽球问题 例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-取到一红一白,答:取到一红一白的概率为3/5,例1.3.3 从分别标有号码1，2，3，4，5，6，7，8，9的9件同型产品中任取3件，求取得的号码都是偶数的概率。,解：试验E从9件产品中任取3件，观察取得的号码数。基本事件共有,因为这些基本事件都处于相同的地位，可以认为具有等可性，故E满足 古典概型的条件。记C=“取得的3件都是偶数”，由于C所包含的基本事件只能从4个标有偶数号码的产品中任取3件，事件C包含的基本事件

14、共有,所以：,例1.3.4 从分别标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9件同型号产品中，有放回任取3件，求“取得的3件都是偶数”的概率。,解：试验E是从9件产品中，有放回的任取3件，观察所取得的产品号。E的基本事件数有,这些基本事件地位相同可以认为它们的出现具有等可能性。 记D=“取得3件产品的号码都是偶数” D包含的基本事件数,所以,例1.3.6 在100件同型产品中有5件次品，其余都是正品。今从100件中无放回的任取10件，求取得的产品中恰好有3件次品的概率。,解：试验E是从100件同型产品中无放回的任取10件，观察取得10件产品正次品情况。E的基本事件总数,记 F=“正好取得3件次

15、品”,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,求古典概率的一般方法 求出随机试验一共有多少种不同的结果n，如考虑顺序用排列数求，不考虑顺序用组合数求。 求出事件发生包含了多少种不同的结果k， 则 P(A)kn,1.4 概率的性质与概率的加法法则,一、概率的性质,性质1 对于不可能的事件，有P()=0。,性质 对任一事件A，有,证明 因为 ，且 ，由性质1.2.2得,移向即得,例1.4.1 在100件同型产品中，有8件次品，其余为正品，今从这100件产品中，任取10件，求至少取得一件次品的概率。,解：记,因,性质3 如果 ，则有,所以,由于P(

16、BA)0，因此,证明 因为 ，从而有 ，且 ， 由性质2得,二、概率的加法法则,性质1.2.7 对于任意两个事件A、B，有,证明 因为 ,且 ，由性质 2及性质3，可得,性质1.2.7中的第一个公式称为概率的加法公式。加法公式可以推广到任意有限个事件的情形：设 是n个随机事件，则有,例1.4.2 某保险盒内装有甲乙两根保险丝。根据以往经验，当电流超过额定值10%时，甲保险丝被烧断的概率为0.8，乙保险丝被烧断的概率为0.7，两保险丝同时被烧断的概率为0.5。求下次电流超过额定值10%时，至少一根被烧断的概率。,A=“甲保险丝被烧断” B=“乙保险丝被烧断” A+B=“甲、乙保险丝至少一根被烧断” AB=“甲乙两根保险丝都被烧断”,例 已知 ， ，