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1、概率统计 知识要点知识要点 一、统计 1总体与样本：所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取 的一部分各题叫做总体的一个样本，样本中各题数目叫做样本的容量。 例如：全班同学的身高数据构成一个总体，其中每一个同学的身高叫做个体，现取出10个同学的 身高进行研究，这10个同学的身高数据就是全班同学身高数据这个总体的一个样本，10就是这个 样本的样本容量。 2众数，中位数 众数：一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数。 例如：10，11，15，11，13，12，15，10，11，11，15这一组数据中，11出现了4次，次数最多，所以11 就是这组数据的众数。 中位数：将
2、一组数据按从大到小的顺序依次排列，处在最中间位置的数据叫做中位数；需要注意 的是，如果数据的个数是偶数个，则中位数是中间两个数字的算术平均值。 例如：18，17，15，13，13，10这一组数据中，因为数据的个数是偶数个，所以中位数是中间两个数 的算术平均值，就是15和13的平均数14。 3求平均数的两个公式 （1）个数、的平均数为：；n 1 x 2 x n x 12n xxx x n （2）如果在个数中，出现了次，出现了次出现了n 1 x 1 f 2 x 2 f n x n f 次，则这组数据的平均数为：。 1 122 12 nn n x fx fx f x fff 4极差与方差 （1）一组
3、数据中，用这组数据的最大值减去最小值所得的差就是极差，极差是用来反映这组数据 的变化范围的统计量，即：极差=最大值-最小值； （2）一组数据的方差为： 222 2 12 1 n sxxxxxx n 方差是用来表示一组数据的集中程度的统计量。 5常用统计图 （1）扇形统计图：扇形统计图中的圆心角等于这部分所占总体的比例乘以360； （2）条形统计图 （3）折线统计图 频数和频率 频数：每个对象出现的次数 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值 频数、频率均能反映每个对象出现的频繁程度 二、概率 概率的定义 表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事物的概率，可记作“P” 可能还是确定 “不可能
4、”发生：指每次都完全没有机会发生，即发生的机会是 “必然”发生：指每次一定发生，即发生的机会是 可能发生：指有时会发生，有时不会发生，即发生的机会介于和之间，但不包括 和 “不太可能”：指发生的机会很小，可以小到很小，但仍然会发生，即它的可能性不是 估计随机事件发生的概率的方法 通过多次重复试验的方法； 通过逻辑分析用列举法（包括列表、画树状图）计算的方法 频率与概率的关系 频率与概率在实验可以非常接近，但不一定相等 实例 投针实验 投针实验力图使学生通过亲身的实验、统计过程获得用实验方法估计复杂事件发生的概率 的体验，使扎实的认识到当实验次数较大时实验频率稳定于理论概率，但在投针实验中须注意
5、要 从一定高度随意抛针，保证投针的随机性 游戏公平吗 看一个游戏是否公平，只要看游戏的双方是否各有赢的机会，如果不是，那么这个游戏 就是不公平的，要想使它变成公平，就要修改游戏规则 一个公平的游戏，出现双方可能性的机率是相等的 有的游戏可以通过试验，也可以用列表的形式进行穷举 典例解析典例解析 1. （2011广东广州市，22，12分）某中学九年级（3）班50名学生参加平均每周上网时间的调查，由调查 结果绘制了频数分布直方图（图6），根据图中信息回答下列问题： （1）求a的值； （2）用列举法求以下事件的概率：从上网时间在610小时的5名学生中随机选取2人，其中至 少1人的上网时间在810小时
6、 频数 （学生人数） 0 2 4 6 8 10 时间/小时 6 a 25 3 2 解：（解：（1） ）a=5062532=14 （ （2）设上网时间为）设上网时间为68小时的三个学生为小时的三个学生为A1， ，A2， ，A3，上网时间为，上网时间为810个小时的个小时的2名学生为名学生为B1， ，B2， 则共有 ， 则共有A1A2， ，A1A3， ，A1B1， ，A1B2， ， A2A3， ，A2B1， ，A2B2 A3B1， ，A3B2 B1B2 10种可能，其中至少种可能，其中至少1人上网时间在人上网时间在810小时的共有小时的共有7种可能，故种可能，故 P（至少（至少1人的上网时间在人的
7、上网时间在810小时）小时）=0.7 2. （2011四川南充市，16，6分） 在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4.随机地摸取出一张纸牌 然后放回，在随机摸取出一张纸牌. （1）计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率； （2）甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌 上数字之和为偶数，则乙胜。这 是个公平的游戏吗？请说明理由. 解：用树状图法 第一次： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 和 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 解法二：列表法 列表如
8、下： 甲 乙1234 12345 23456 .34567 45678 由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有16种，它们出现的可 能性相等. (1)两次摸取纸牌上数字之和为5（记为事件A）有4个，P(A)= 16 4 4 1 (2)这个游戏公平，理由如下： 两次摸出纸牌上数字之和为奇数（记为事件B）有8个，P(B)= 16 8 2 1 两次摸出纸牌上数字之和为偶数（记为事件C）有8个，P(C)= 16 8 2 1 两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平. 3. （2011宁波市，20，6分）在一个不透明的袋子中装有3个除颜色外完全相同的小
9、球，其中白球1个， 黄球1个，红球1个，摸出一个球记下颜色后放回，再摸出一个球，请用列表或树形图法求两次都 摸到红球的概率 【答案】解：树形图如下：解：树形图如下： 列表如下：列表如下： 白白黄黄 红红 白白 白 白 白 白 白 黄 白 黄 白 红 白 红 黄黄 黄 白 黄 白 黄 黄 黄 黄 黄 红 黄 红 红红 红 白 红 白 红 黄 红 黄 红 红 红 红 则则P（两次都摸到红球） （两次都摸到红球） 1 9 4. （2011浙江衢州，20,6分） 研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球于黄球.这样估算不同颜色球的 数量？ 操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中
10、，在进行摸球实验.摸球实验的要求：先搅拌 均匀，每次摸出一个球，放回盒中再继续. 活动结果：摸球实验活动一共做了50次，同级结果如下表： 无记号有记号球的颜色 红色黄色红色黄色 摸到的次数182822 推测计算：有上述的摸球实验可推算： 盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？ 盒中有红球多少个？ 解：（1）由题意可知；50次摸球实验活动中，出现红球20次，黄球30次， 所以红球所占百分比为205040 黄球所占百分比为305060 答：红球占黄球占4060 （2）由题意可知，50次摸球实验活动中，出现有记号的球4次，所以总球数为 50 8100 4 。所以红球数为。答：盒中红球有40个。
11、100 4040 跟踪训练跟踪训练 1. （2011广东东莞，4，3分）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从 中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A B C D 1 5 1 3 5 8 3 8 2. （2011福建福州，8，4分）从1,2,-3三个数中,随机抽取两个数相乘,积是正数的概率是（ ） A0 B C D 1 1 3 2 3 3. （2011山东滨州，4，3分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三 角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡 片正面图案是中心对称图形的概率为(
12、 ) A. B. C. D. 1 1 4 1 2 3 4 4. （2011山东日照，8，3分）两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正 四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为（ ） （A） （B） （C） （D） 4 1 16 3 4 3 8 3 5. （2011山东泰安，16 ，3分）袋中装有编号为1，2，3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号后，放 入袋中搅匀，再从袋中随机取出一球，两次所取球的编号相同的概率为 A. B. C. D. 1 9 1 6 1 3 1 2 6 （2011浙江金华，14，4分）从2，1，2这三个数中任取两
13、个不同的数作为点的坐标，该点在第四 象限的概率是 . 7. （2011浙江省舟山，12，4分）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概 率是 8. （2011福建福州，12，4分）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为:37 .如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上,则落在陆地上的概率是 . 9. （2011山东德州15,4分）在4张卡片上分别写有14的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一 张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是 10. （2011山东菏泽，13，3分）从2、1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程 的k值，则所得的方
14、程中有两个不相等的实数根的概率是 2 0 xxk 11. （2011山东济宁，14，3分）某校举行以“保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛经预赛，七、八年 级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入决赛前两名都是九年级同学的概率是 . 12. （2011山东泰安，24 ，3分）甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表，其中乙的第5次成 绩的个位数字被污损 则乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率是 。 第1次第2次第3次第4次第5次 甲9088879392 乙848785989 13. （2011山东烟台，15,4分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若
15、往圆面投掷飞镖 ，则飞镖落在黑色区域的概率是 . 14 （2011浙江温州，21，10分）一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色 外其余都相同 (1)求摸出1个球是白球的概率； (2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（ 要求画树状图或列表）； (3)现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n的值 5 7 15. （2011四川重庆，23，10分）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情 况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了 如下两幅不完整的统计图： (1)求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整； (2)某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法 或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率 16 （2011江西，18，6分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学 打第一场比赛， 请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率； 若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学
